1、6垂直关系61垂直关系的判定1直线与平面垂直的判定(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直(2)直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直l2.平面与平面垂直的判定(1)二面角及其平面角半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面二面角的记法以直线AB为棱，半平面、为面的二面角，如图，记作：二面角-AB-二面角的平面角以二面角的棱上任一
2、点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角直二面角：平面角是直角的二面角叫作直二面角(2)平面与平面的垂直定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直画法：把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直(如图)，记作：两个平面互相垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面()(2)如果一条直线不垂直于一个平面，那么这条直线不垂直于这个平面
3、内的任意直线()(3)两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行()答案：(1)(2)(3)2直线l与平面内的两条直线都垂直，则直线l与平面的位置关系是()A平行B垂直C在平面内 D无法确定答案：D3已知PA矩形ABCD所在的平面(如图)，则图中互相垂直的平面有()A1对 B2对C3对 D5对解析：选D.因为DAAB，DAPA，所以DA平面PAB，同理BC平面PAB，又AB平面PAD，所以DC平面PAD，所以平面PAD平面AC，平面PAB平面AC，平面PBC平面PAB，平面PAB平面PAD，平面PDC平面PAD，共5对故选D.4如图P是二面角l内的点，PA，PB，垂足分别为A，B.若
4、APB80，则二面角l的大小为_答案：1001对直线与平面垂直的判定定理的三点说明(1)定理可表述为“线线垂直，则线面垂直”(2)“两条相交直线”是关键词，一定不要忽视这个条件，否则将导致结论错误即“线不在多，相交就行”(3)要证一条直线与一个平面垂直，只需在平面内找到两条相交直线都和该直线垂直即可，不必找所有的直线，至于这两条相交直线与已知直线是否有公共点无关紧要2对面面垂直的判定定理的两点说明(1)定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”，因此要证明平面与平面垂直，只需在其中一个平面内找另一个平面的垂线，即证“线面垂直”(2)两个平面垂直的判定定理，不仅仅是判定两个平面垂直的依据，而且是找出垂
5、直于一个平面的另一个平面的依据直线与平面垂直的判定如图，AB为O的直径，PA垂直于O所在的平面，M为圆周上任意一点，ANPM，N为垂足(1)求证：AN平面PBM；(2)若AQPB，垂足为Q，求证：NQPB.证明(1)因为AB为O的直径，所以AMBM.又PA平面ABM，所以PABM.又因为PAAMA，所以BM平面PAM.又AN平面PAM，所以BMAN.又ANPM，且BMPMM，所以AN平面PBM.(2)由(1)知AN平面PBM，PB平面PBM，所以ANPB.又因为AQPB，ANAQA，所以PB平面ANQ.又NQ平面ANQ，所以PBNQ.(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的“三个步骤”寻找：
6、在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直确定：确定这个平面内的两条直线是相交的直线判定：根据判定定理得出结论(2)线面垂直的三种判定方法用定义：证明l和平面内任意一条直线都垂直用定理：证明l与平面内“两条相交”的直线都垂直，即线线垂直线面垂直用推论：若m，证明lm，即可知l. 1.如图，在ABC中，ABC90，D是AC的中点，S是ABC所在平面外一点，且SASBSC.(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明：(1)因为SASC，D是AC的中点，所以SDAC.在RtABC中，ADBD，由已知SASB，所以ADSBDS，所以SDBD.又ACBDD，所以SD平面A
7、BC.(2)因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知SDBD，因为SDACD，所以BD平面SAC.平面与平面垂直的判定如图所示，ABC为正三角形，CE平面ABC，BDCE，且CEAC2BD，M是AE的中点(1)求证：DEDA；(2)求证：平面BDM平面ECA.证明(1)取EC的中点F，连接DF.因为CE平面ABC，所以CEBC.易知DFBC，所以CEDF.因为BDCE，所以BD平面ABC.在RtEFD和RtDBA中，EFCEDB，DFBCAB，所以RtEFDRtDBA.故DEDA.(2)取AC的中点N，连接MN，BN，则MNCF.因为BDCF，所以MNBD，所以N平面BDM.因为
8、EC平面ABC，所以ECBN.又因为ACBN，ECACC，所以BN平面ECA.又因为BN平面BDM，所以平面BDM平面ECA.若本例条件不变，如何证明平面DEA平面ECA呢？证明：因为DMBN，BN平面ECA.所以DM平面ECA.又因为DM平面DEA，所以平面DEA平面ECA.证明面面垂直的三种方法(1)定义法(2)判定定理法：在一个平面内找(或作)出一条直线，再证明该直线与另一个平面垂直(3)利用结论：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面 2.(1)空间四边形ABCD中，若ADBC，BDAD，那么有()A平面ABC平面ADCB平面ABC平面ADBC平面ABC平面D
9、BC D平面ADC平面DBC(2)如图，四边形ABCD是菱形，PA平面ABCD.求证：平面PBD平面PAC.解：(1)选D.因为ADBC，ADBD，BCBDB，所以AD平面BCD.又因为AD平面ADC，所以平面ADC平面DBC.(2)证明：因为底面ABCD是菱形，所以BDAC.因为PA底面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.又PAACA，所以BD平面PAC.又因为BD平面PBD，所以平面PBD平面PAC.二面角的求解问题已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，求二面角C1BDC的正切值解如图，连接AC，与BD相交于点O，连接OC1.由于ABCD是正方形，所以ACBD，即OCBD.
10、又因为C1BC1D，且O是BD的中点，所以C1OBD.因此C1OC就是二面角C1BDC的平面角在RtC1CO中，tanC1OC，而C1Ca，OCa，所以tanC1OC.求二面角平面角的常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角(3)垂线法：过二面角的一个平面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通用于求二面角的所有题目，具体步骤为：一找，二证，三求 3.如图，四棱锥SABCD的底
11、面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，求二面角PACD的大小解：(1)证明：连接BD，设AC交BD于O，连接SO.由题意知SOAC.在正方形ABCD中，ACBD，又SOBDO，所以AC平面SBD，得ACSD.(2)设正方形边长为a，则SDa，又ODa，所以SDO60.连接OP，由(1)知AC平面SBD，所以ACOP，且ACOD，所以POD是二面角PACD的平面角由SD平面PAC，知SDOP，所以POD30，即二面角PACD的大小为30.易错警示对定理理解不透彻致误设，为不重合的两个平面，给出下列说法：若内的两条相交直线分别平行
12、于平面，则平行于；若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；直线l与平面垂直的条件是l与内的两条直线垂直上面说法中正确的序号是_(写出所有的正确的序号)解析平面内的两条相交直线分别平行于平面，则两条相交直线确定的平面平行于平面，正确平面外一条直线l与内的一条直线平行，则l平行于，正确如图所示，l，a，al，但不一定有，错误直线l与垂直的条件是l与内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故错误综上所述，正确说法的序号为.答案本题易错选，错选是由al，a错误得出a垂直于平面；错选是忽视了“相交直线”这一前提条件一些常见的定理要认真领会
13、，抓住关键字或词，一些判断项中往往不是直接考查的定理而是对定理的拓展，故要仔细分析、推导，以防出错1如图，在立体图形DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDEC平面ABD平面BDCD平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE解析：选B.由ABCB，ADCD，E是AC的中点，可得DEAC，BEAC，AC平面BED，从而经过AC的面都与平面BED垂直2若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A平面OABB平面OACC平面OBC D平面ABC解析：选C.由于OAOB，OAOC，且OB
14、OCO，所以OA平面OBC.3.如图，P是二面角l的交线l上一定点，PA，PB，且PAl，PBl，BPA120，若点C是半平面上任意一点，则BPC的范围为()A(0，120)B(0，90)C(90，120 D90，120解析：选D.当PC与l重合时，BPC90，当PC与PA重合时，BPC120.故BPC的范围为90，1204.如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，E为BC的中点，把ABE和CDE沿AE、DE折起，使点B与点C重合于点P.求证：平面PED平面PAD.证明：由矩形ABCD知折起前ABBE，所以折起后APPE，同理PDPE，因为PDPAP，所以PE平面PAD，因为PE平面PED，所以
15、平面PED平面PAD.,学生用书P101(单独成册)A基础达标1垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A垂直B斜交C平行 D不能确定解析：选A.梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知选项A正确2以下命题正确的是()a；b；b.ABC D解析：选A.由线面垂直的判定定理可知结论正确；中b，的关系可以线面平行或直线在平面内；中直线可以与平面平行，相交或直线在平面内3如图，l，点A，C，点B，且BA，BC，那么直线l与直线AC的关系是()A异面 B平行C垂直 D不确定解析：选C.因为BA，l，l，所以BAl.同理BCl.又BABCB，所以l平面ABC.因为AC平面ABC，所
16、以lAC.4长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，CC1，则二面角C1BDC的大小为()A30 B45C60 D90解析：选A.如图，连接AC交BD于O，连接C1O.因为ABAD，所以底面为正方形，所以ACBD.又因为BCCD，所以C1DC1B，O为BD的中点，所以C1OBD.所以C1OC就是二面角C1BDC的平面角则在C1OC中，CC1，CO，tanC1OC，所以C1OC30.5在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持APBD1，则动点P的轨迹是()A线段B1CB线段BC1CBB1中点与CC1中点连成的线段DBC中点与B1C1中点连成的线段
17、解析：选A.如图，由于BD1平面AB1C，故点P一定位于B1C上6已知PA垂直于ABCD所在平面，若PCBD，则ABCD的形状是_解析：因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.又因为PCBD，PAPCP，所以BD平面PAC，所以BDAC，所以ABCD一定是菱形答案：菱形7.如图，平面CD，EA，垂足为A，EB，垂足为B，则CD与AB的位置关系是_解析：因为EA，CD，根据直线和平面垂直的定义，则有CDEA.同样，因为EB，CD，则有EBCD.又EAEBE，所以CD平面AEB.又因为AB平面AEB，所以CDAB.答案：CDAB8如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点
18、，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么给出下面四个结论：AH平面EFH；AG平面EFH；HF平面AEF；HG平面AEF.其中正确命题的序号是_解析：在这个空间图形中，AHHF，AHHE，HFHEH，所以AH平面EFH.答案：9.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1DB1C1.求证：(1)EF平面ABC；(2)平面A1FD平面BB1C1C.证明：(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知EFBC.因为EF平面ABC，BC平面ABC.所以EF平面ABC.(2)由三棱
19、柱ABCA1B1C1为直三棱柱知CC1平面A1B1C1.又A1D平面A1B1C1，故CC1A1D.又因为A1DB1C1，CC1B1C1C1，故A1D平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，所以平面A1FD平面BB1C1C.10在ABC中，BAC60，P是ABC所在平面外一点，PAPBPC，APBAPC90.(1)求证：PB平面PAC；(2)若H是ABC的重心，求证：PH平面ABC.证明：(1)如图，由题设易得ABAC，因为BAC60，所以ABC为等边三角形，所以ABBC.因为PAPBPC，所以PABPBC，所以BPCAPB90，即PBPC.又PBPA，PAPCP，所以PB平面PAC.(2)取B
20、C的中点D，连接AD，PD，因为PBPC，所以PDBC.同理可得ADBC，PDADD，所以BC平面PAD.因为AD是ABC的边BC上的中线，所以ABC的重心H在AD上，所以BCPH，同理可得ABPH.又ABBCB，所以PH平面ABC.B能力提升11已知三条相交于一点的线段PA、PB、PC两两垂直，且A、B、C在同一平面内，P在平面ABC外，PH平面ABC于点H，则垂足H是ABC的()A外心B内心C垂心 D重心解析：选C.易证AHBC，BHAC，CHAB，故点H为ABC的垂心12.如图所示，在矩形ABCD中，AB1，BCa(a0)，PA平面AC，且PA1，若BC边上存在点Q，使得PQQD，则a的
21、最小值为_解析：因为PA平面ABCD，所以PAQD.若BC边上存在一点Q，使得QDPQ，则有QD平面PAQ，从而QDAQ.在矩形ABCD中，当ADa2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQDQ.所以当a2时，才存在点Q，使得PQQD.所以a的最小值为2.答案：213.已知三棱锥PABC中，ACB90，BC4，AB20.D为AB的中点，且PDB为等边三角形，PAPC.(1)求证：平面PAC平面ABC；(2)求二面角DAPC的正弦值解：(1)证明：在RtACB中，D是斜边AB的中点，所以BDDA.因为PDB是等边三角形，所以BDDPBP，则BDDADP，因此APB为直角三角形，即
22、PABP.又PAPC，PCBPP，所以PA平面PCB.因为BC平面PCB，所以PABC.又ACBC，PAACA，所以BC平面PAC.因为BC平面ABC，所以平面PAC平面ABC.(2)由(1)知PAPB及已知PAPC，故BPC即为二面角DAPC的平面角由(1)知BC平面PAC，则BCPC.在RtBPC中，BC4，BPBD10，所以sinBPC，即二面角DAPC的正弦值为.14(选做题)如图1，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2.(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1
23、B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB，BC平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)证明：由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.因为DEA1D，DECD，所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE.所以A1FBE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由第二问知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.