1、第2讲不等式及线性规划一、选择题1.(2015天津卷)设xR，则“|x2|1”是“x2x20”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由|x2|1得1x3，由x2x20，得x2或x1，而1x3x2或x1，而x2或x11x3，所以，“|x2|1”是“x2x20”的充分而不必要条件，选A.答案A2.(2015临汾模拟)若点A(m，n)在第一象限，且在直线1上，则mn的最大值是()A.3 B.4 C.7 D.12解析因为点A(m，n)在第一象限，且在直线1上，所以m，nR，且1，所以()2，所以，即mn3，所以mn的最大值为3.答案A3.(2015广东卷
2、)若变量x，y满足约束条件则z3x2y的最小值为()A. B.6 C. D.4解析不等式组所表示的可行域如下图所示，由z3x2y得yx，依题意当目标函数直线l：yx经过A时，z取得最小值，即zmin312，故选C.答案C4.已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，则实数的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.4解析x0，y0，x2y2(当且仅当x2y时取等号).又由x2(xy)可得，而2，当且仅当x2y时，2.的最小值为2.答案B5.(2015衡水中学期末)已知约束条件表示的平面区域为D，若区域D内至少有一个点在函数yex的图象上，那么实数a的取值范围为()A.e，4) B.e，) C.1，3
3、) D.2，)解析如图：点(1，e)满足axy0，即ae.答案B二、填空题6.(2015福建卷改编)若变量x，y满足约束条件则z2xy的最小值等于_.解析如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z2xy可化为y2xz，由图形可知当y2xz过点时z最小，zmin2(1).答案7.(2015浙江卷)已知函数f(x)则f(f(3)_，f(x)的最小值是_.解析f(f(3)f(1)0，当x1时，f(x)x323，当且仅当x时，取等号；当x1时，f(x)lg(x21)lg 10，当且仅当x0时，取等号，f(x)的最小值为23.答案0238.(2015南昌模拟)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为
4、_.解析由已知，得xy9(x3y)，即3xy273(x3y)，令x3yt，则t212t1080，解得t6或t 18(舍)，即x3y6.答案6三、解答题9.已知函数f(x).(1)若f(x)k的解集为x|x3，或x2，求k的值；(2)对任意x0，f(x)t恒成立，求t的取值范围.解(1)f(x)kkx22x6k0.由已知x|x3，或x2是其解集，得kx22x6k0的两根是3，2.由根与系数的关系可知(2)(3)，即k.(2)因为x0，f(x)，当且仅当x时取等号.由已知f(x)t对任意x0恒成立，故t，即t的取值范围是.10.如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位
5、长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.解(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a0，所以炮弹可击中目标 存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立 关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0 a
6、6.所以当a不超过6千米时，可击中目标.11.已知函数f(x)ax3bx2(2b)x1在xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值，且0x11x22.(1)证明：a0；(2)若za2b，求z的取值范围.(1)证明求函数f(x)的导数f(x)ax22bx2b.由函数f(x)在xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值，知x1、x2是f(x)0的两个根，所以f(x)a(xx1)(xx2).当xx1时，f(x)为增函数，f(x)0，由xx10，xx20得a0.(2)解在题设下，0x11x22等价于即化简得此不等式组表示的区域为平面aOb上的三条直线：2b0，a3b20，4a5b20所围成的ABC的内部，其三个顶点分别为A，B(2，2)，C(4，2).z在这三点的值依次为，6，8.所以z的取值范围为.