1、4二项分布,二项分布如果进行n次试验满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1p(3)各次试验是相互独立的用X表示这n次试验中成功的次数，则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2，n)若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为XB(n，p)1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在连续抛掷三次骰子的试验中，每一次试验可能出现的结果有6种()(2)在连续抛掷三次硬币的试验中，每一次试验可能出现的结果有2种()(3)若XB，则X的取值有n1个()答案：(1)(2)
2、(3)2任意抛掷三枚硬币，恰有2枚正面朝上的概率为()A.B.C. D.解析：选B.抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为，则抛掷三枚硬币可以看作独立重复试验，故恰有2枚正面朝上的概率为PC.3已知随机变量X服从二项分布，B，则P(X2)_解析：P(X2)CC.答案：4某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现连续射击4次，则击中目标次数X的分布列为_解析：击中目标的次数X服从二项分布XB(4，0.8)，所以P(Xk)C(0.8)k(0.2)4k(k0，1，2，3，4)，即X的分布列为X01234P答案：X01234P1在相同条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重
3、复试验2n次独立重复试验的特征：(1)试验的次数不止一次，而是多次，即n次；(2)每次试验的条件是一样的，即概率相同的重复性试验；(3)每次试验的结果只有事件发生或不发生两种结果；(4)每次试验是相互独立的，试验的结果互不影响，同一试验的结果可以发生k次独立重复试验，二项分布概念的应用(1)下列试验为独立重复试验的是()依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；口袋装有5个白球，3个红球，2个黑球，从中依次抽取5个球，恰好抽出4个白球ABC D都不是(2)下列说法正确的是_某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是
4、一个随机变量，且XB(10，0.6)；某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且XB(8，p)；从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且XB.解析：(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验某人射击击中的概率是稳定的，因此是独立重复试验每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验(2)显然满足独立重复试验的条件，而虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义答案：(1)B(2)(1
5、)常见n次独立重复试验反复抛掷一枚质地均匀的硬币正(次)品率的抽样有放回抽样射手射击目标命中率已知的若干次射击 (2)判断一个随机变量是否服从二项分布的关键点对立性：即一次试验中，事件发生与否二者必居其一重复性：即试验独立重复地进行了n次独立性：每次试验的结果相互独立1.(1)下列事件：运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；在相同条件下，甲射击10次，5次击中目标其中是独立重复试验的是()A BC D(2)下列随机变量服从二项分布的个数为()依次投掷同一质
6、地均匀的硬币6次，正面向上的次数X；甲与乙进行围棋比赛，甲每次获胜的概率是p，在进行的五局比赛中，甲胜的次数X；在口袋中有5只红球，3只白球，2只黑球，现从中有放回地连续抽取4次，抽到红球的次数X.A0 B1C2 D3解析：(1)选D.符合互斥事件的概念，是互斥事件；是相互独立事件；是独立重复试验(2)选D.、中随机变量都服从二项分布，中XB；中XB(5，p)；中XB.二项分布问题某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X的分布列解：可视一位乘客是否在第
7、20层下电梯为一次试验，相当于做了5次独立重复试验，故XB(5，)，P(X0)C()0()5.P(X1)C()1()4.P(X2)C()2()3.P(X3)C()3()2.P(X4)C()4()1.P(X5)C()5.所以分布列为X012345P解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次 2.(1)袋中有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记住颜色后放
8、回，连续抽取4次，设X为取得红球的次数，求X的分布列(2)抛掷两枚正方体骰子，取其中一枚的点数为点P的横坐标，另一枚的点数为点P的纵坐标，求连续抛掷两枚骰子三次，点P在圆x2y216内的次数X的分布列解：(1)由题意可知XB，所以P(Xk)C(k0，1，2，3，4)，P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C，P(X4)C，所以X的分布列为X01234P(2)由题意可知，P点的坐标可能有6636(种)情况，而符合题意的点只有下列8个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，那么在抛掷两枚骰子一次时，点P在圆x2y216内的概率
9、为.由题意可知XB，所以P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C.故X的分布列为X0123P二项分布的综合应用甲、乙两队参加全民健身知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人正确与否相互之间没有影响用X表示甲队的总得分(1)求随机变量X的分布列；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)解：(1)由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，且P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C，所以X的分布列为Xk012
10、3P(Xk)(2)用C表示“甲队得2分乙队得1分”这一事件，用D表示“甲队得3分乙队得0分”这一事件，ABCD，且C，D互斥P(C)C.P(D).P(AB)P(C)P(D).二项分布的综合应用注意点(1)合理转化：对问题情境合理转化，判断是否为二项分布的关键是看试验是否为独立重复试验(2)正确计算：若服从二项分布，则确定对应的n，p的值，从而利用二项分布公式正确计算 3.(1)在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是.求油罐被引爆的概率；如果引爆或子弹打光则停止射击
11、，设射击次数为X，求X不小于4的概率(2)某校高三年级与高二年级进行篮球比赛，若高三年级获胜的概率为0.6，高二年级获胜的概率为0.4.若采用5场3胜制，求高三年级获胜的概率；若采用7场4胜制，求高三年级获胜的概率解：(1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为：C，所以所求的概率为1.当X4时记事件A，则P(A)C.当X5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B.则P(B)C，所以所求概率为：P(AB)P(A)P(B).(2)设“高三年级获胜”为事件B，则P(B)P(连胜3场)P(前3场负1场，第4场胜)P
12、(前4场负2场，第5场胜)0.63C0.620.40.6C0.620.420.60.682 56.设“高三年级获胜”为事件C，则P(C)P(连胜4场)P(前4场负1场，第5场胜)P(前5场负2场，第6场胜)P(前6场负3场，第7场胜)0.64C0.630.40.6C0.630.420.6C0.630.430.60.710 2.规范解答独立重复试验在实际中的应用(本题满分12分)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)这名学生在上学路上因遇到红灯
13、停留的总时间至多是4 min的概率解(1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为P(A).4分(2)设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min”为事件B，“这名学生在上学路上遇到k次红灯”的事件为Bk(k0，1，2)则由题意，得P(B0)，6分P(B1)C，P(B2)C.10分由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，所以事件B的概率为P(B)P(B0)P(B1)P(B2).12分(1)在处，体现了正确理解在第三个路口时首次遇到红灯的含义，
14、是解决本题的关键点，在处，易忽略没有遇到红灯的情形导致失误，是易失分点在处正确应用了n次独立重复试验公式，是解决本题的又一关键点.(2)防范措施：解概率问题要全面考虑在确定随机变量X的所有可能取值时，要全面考虑，不可漏解如本例容易忽略没有遇到红灯的情况，造成漏解在求分布列时，一定要将X的取值考虑全面，特别是X0的情形解决问题要抓住问题本质对于相互独立事件与n次独立重复试验问题一定要抓住其事件的本质特征进行区别以免发生失误如本例第(1)问，若对事件的本质把握不清，则容易造成求解失误1下面随机变量X的分布列不属于二项分布的是()A某事业单位有500名在职人员，人事部门每年要对在职人员进行年度考核，
15、2014年度考核中每人考核优秀的概率是0.15.设该单位在这一年里，个人年度考核是否优秀是相互独立的，考核优秀的人数为XB位于某汽车站附近的一个加油站，在每次汽车出站后，该汽车到这个加油站加油的概率是0.7，节日期间每天有50辆汽车开出该站，假设一天里汽车去该加油站加油是相互独立的，其加油的汽车数为XC某射手射击击中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，从开始射击到击中目标所需的射击次数为XD据某电视台报道，上周内在某网站下载一次数据，电脑被感染某种病毒，网站下载数据n次中被感染这种病毒的次数X解析：选C.对A，每人考核优秀的概率都是0.15，每人被考核优秀是相互独立的，故X服从二项分布；对
16、B，每辆汽车到这个加油站加油的概率是0.7，每辆汽车到这个加油站加油是相互独立的，故X服从二项分布；对C，若第k次击中目标，则Xk，也就是说前k1次都没有击中，显然，击中与击不中的概率是不一样的，故X不服从二项分布；对D，每次下载都被病毒感染，即概率为1，显然X服从二项分布2设XB(3，p)，且P(X2)，则概率p等于()A.B.C. D.解析：选A.由P(X2)Cp2(1p)，解得p.3将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k1次正面的概率，那么k的值为_解析：因为CC，所以2k4，所以k2.答案：24某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，
17、且申请其中任一个片区的房源是等可能的该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为_解析：设申请A片区房源的人数为，则B，可知P(2)C.答案： A基础达标1某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分已知他解题的正确率为，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是()ACBCCCCD1C解析：选C.该考生若被选中，必须解对4题或5题，解对4题，其概率为C；解对5题，其概率为C，故该生被选中的概率为CC.2某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是()A.B.C. D.解析：选C.由n次独立重复试验恰有k次发生的概率公式得：PC.3在4次独立重复试验中，事件
18、A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为()A. B.C. D.解析：选A.设事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1Cp0(1p)4，所以1p，p.4在4次独立重复的试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是()A0.4，1) B(0，0.4C(0，0.6 D0.6，1)解析：选A.由题知Cp(1p)3Cp2(1p)2，即4(1p)6p，所以p0.4，又0p1，所以0.4p1.5设随机变量B(2，p)，B(4，p)，若P(1)，则P(2)的值为()A. B.C. D.解析：选B.因为
19、随机变量B(2，p)，B(4，p)，又P(1)1P(0)1(1p)2，解得p，所以B，则P(2)1P(0)P(1)1C.6若XB，则P(X2)等于_解析：由XB可知P(X2)1P(X0)P(X1)1CC.答案：7一袋中装有4个白球，2个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次停止，设停止时，取球次数为随机变量X，则P(X5)_解析：X5表示前4次中有2次取到红球，2次取到白球，第5次取到红球则P(X5)C()2()2.答案：8张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯
20、要停留1分钟假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为_解析：如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟，所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P1(1)4.答案：9设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立求同一工作日至少3人需使用设备的概率解：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i0，1，2，B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备DA1BCA2BA2BC，P(B)0.6，P(C)0
21、.4，P(Ai)C0.52，i0，1，2，所以P(D)P(A1BCA2BA2BC)P(A1BC)P(A2B)P(A2BC)P(A1)P(B)P(C)P(A2)P(B)P(A2)P(B)P(C)0.31.10现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题，设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X0)C()0()2，P(X1)C()1()1C()0()2，P(X2)C()2()0C()1()1，P(X3)
22、C()2()0.所以X的分布列为X0123PB能力提升11位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则质点P移动五次后位于点(1，0)的概率是()A. B.C. D.解析：选D.依题意得，质点P移动五次后位于点(1，0)，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率等于C.12一个袋中有除颜色外完全相同的5个白球，3个红球，现从袋中每次取出1个球，取出后记下球的颜色后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数X是一个随机变量，则P(X12)_(写出表达式不必算出最后的结果)解析：记事
23、件A：“取到红球”，则：“取到白球”P(A)，P()，X12表示事件A在前11次试验中恰有9次发生且第12次试验也发生，所以P(X12)CC.答案：C13某军事院校招生要经过考试和体检两个过程，在考试通过后才有体检的机会，两项都合格则被录取，若甲、乙、丙三名考生通过考试的概率分别为0.4，0.5，0.8，体检合格的概率分别为0.5，0.4，0.25，每名考生是否被录取相互之间没有影响(1)求恰有一人通过考试的概率；(2)设被录取的人数为X，求X的分布列解：(1)设“恰有一人通过考试”为事件A.由独立事件同时发生的概率得P(A)0.40.50.80.34.即恰有一人通过考试的概率为0.34.(2
24、)由题意知甲被录取的概率为0.40.50.2，乙被录取的概率为0.50.40.2，丙被录取的概率为0.80.250.2.即三人被录取的概率均为0.2.所以XB(3，0.2)故P(Xk)C0.2k0.83k，(k0，1，2，3)所以P(X0)0.830.512，P(X1)C0.20.820.384，P(X2)C0.220.80.096，P(X3)0.230.008.所以X的分布列为：X0123P0.5120.3840.0960.00814.(选做题)甲、乙两人进行投篮比赛，两人各投3球，谁投进的球多谁获胜，已知每次投篮甲投进的概率为，乙投进的概率为，求：(1)甲投进2球且乙投进1球的概率；(2)在甲第一次投篮未进条件下，甲最终获胜的概率解：(1)甲投进2球的概率是C，乙投进1球的概率是C.所以甲投进2球且乙投进1球的概率为.(2)甲第一次未进最终获胜的情况有：甲后2球都投进，乙投进1球或都不进：P1.甲后2球进1球，乙都不进P2C，所以甲第一次投篮未进，最终获胜的概率为P1P2.
