1、第二部分 讲重点小题专练 第9讲 数列 热点调研【典例 1】(等差数列)(1)(2015江西九江一模)等差数列an中，a112 015，am1n，an1m(mn)，则数列an的公差为_调研一 等差、等比数列【解析】am12 015(m1)d1n，an12 015(n1)d1m，(mn)d1n1m，d 1mn.am12 015(m1)1mn1n，解得 1mn12 015，即 d12 015.【答案】12 015(2)(2015衡水调研)设 Sn 为等差数列an的前 n 项和，且 a12 010，S2 0142 014S2 0112 0113，则 a2()A2 008 B2 012C2 008 D
2、2 012【解析】设数列an的公差为 d，则Snn a1n12 d，数列Snn 是公差为d2的等差数列，由S2 0142 014S2 0112 0113，得d21，Snn 2 010(n1)2 011n，S24 018，a22 008.【答案】A【探究】本题要求考生掌握“若数列an是等差数列，则数列Snn 也是等差数列”这一结论，从而利用Snn 的通项公式求出数列an的通项公式(3)(2015湖北襄阳一调)等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S19为一确定常数，下列各式也为确定常数的是()Aa2anBa2a17Ca1a10a19Da1a10a19【解析】由 S1919a1a19219a10
3、 为一确定常数，又 a1a10a193a10 也为确定常数，故选 C.【答案】C【对点练 1】(1)(2015河北唐山模拟)数列an的前 n 项和为Sn(nN*)，2Snnann，若 S20360，则 a2_.【解析】2Snnann，当 n2 时，2Sn1(n1)an1n1，得(2n)an(n1)an11，(1n)an1nan1，2anan1an1(n2)，数列an为等差数列，当 n1 时，2S1a11，a11.S202020192d360，d2.a2121.【答案】1(2)(2015山东烟台诊断)已知两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为 An 和 Bn，且AnBn7n45n3，则使得a
4、nbn为整数的正整数 n 的个数是_【解析】由等差数列前n项和的性质知，anbnA2n1B2n114n382n27n19n1 7 12n1，故当 n1,2,3,5,11 时，anbn为整数，故使得anbn为整数的正整数 n 的个数是 5.【答案】5(3)(2015上海崇明模拟)在公差为 d，各项均为正整数的等差数列an中，若 a11，an51，则 nd 的最小值为_【解析】由题意得 1(n1)d51，即(n1)d50，且 d0.由(n1)d2 n1d2 50(当且仅当 n1d 时等号成立)，得 nd10 21，因为 n，d 均为正整数，所以 nd 的最小值为16.【答案】16(4)(2015江
5、苏重点高中联考)已知等差数列an的前 n 项和为Sn，若 S44，S515，则 a4 的最小值为()A6 B7C8 D9【解析】方法一 由 Snna1nn12d 及 S44，S515，得 2a13d2，a12d3.所以 a4a13d3(a12d)(2a13d)3327，当且仅当 a15，d4 时等号成立方法二 由 Snna1nn12d 及 S44，S515，得 2a13d2，a12d3，将上述两个条件看成约束条件，a4a13d看成目标函数，利用线性规划知识求解，可知当 a15，d4时，a4 取最小值 7.方法三 由 Snna1an2及 S44，S515，得 a1a42，a1a56，即 2a43
6、d2，a4d3，故 2a423d23(a43)，解得 a47.【答案】B【探究】本题与不等式相结合，考查等差数列的有关知识及基本方法由于等差数列前 n 项和的表达式有两种，因此解法也就较为灵活，既可以选择不同的基本量进行表示和求解，也可以采用不同的数学方法来思考【典例 2】(等比数列)(1)(2015山东二模)已知an是等比数列，a22，a514，则Sna1a2an 的取值范围是_【解析】因为an是等比数列，所以可设 ana1qn1.因为 a22，a514，所以a1q2，a1q414，解得a14，q12.所以 Sna1a2an4112n11288(12)n.因为 0(12)n12，所以 4Sn
7、1，1a2 1a33，a1a412，则 a3a4a5a6a7a8()A64 B31C32 D63【解析】因为 1a2 1a3a2a3a2a3 3，a2a3a1a412，所以 a2a332.所以 a2，a3 为方程 x232x120 的两个根又因为 q1，所以 a21，b1，且14lna，14，lnb 成等比数列，则 ab()A有最大值 e B有最小值 eC有最大值 eD有最小值 e【解析】14lna，14，lnb 成等比数列，11614lnalnb，即 lnalnb14.a1，b1，lna0，lnb0.14lnalnb(lnalnb2)2lnab24.ab 有最小值 e.故选 B.【答案】B(
8、2)(2015湖南长沙一中测试)已知an为等比数列，下面结论中正确的是()Aa1a32a2Ba21a232a22C若 a1a3，则 a1a2D若 a3a1，则 a4a2【解析】当 a10，q0 时，可知 a10，a30，所以A 选项错误；当 q1 时，C 选项错误；当 qa1，则 a3qa1qa40，于是a21q64，a1q58，解得a114，q2.an142n12n3.f(x)a12a2x3a3x210a10 x9，当 x12时，bnnan(12)n1n2n321nn4，f(12)1424104 1011214554.【答案】554【典例 3】(等差、等比综合)(1)(2015浙江)已知an
9、是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 Sn，若 a3，a4，a8 成等比数列，则()Aa1d0，dS40 Ba1d0，dS40，dS40 Da1d0【解析】因为an是等差数列，a3，a4，a8 成等比数列，所以(a13d)2(a12d)(a17d)a153d.所以 S42(a1a4)2(a1a13d)23d.a1d53d20，dS423d20(nN*)，公比 q(0,1)，且 a1a52a3a5a2a825，又 a3 与 a5 的等比中项为 2，bnlog2an，数列bn的前 n 项和为 Sn，则当S11 S22 Snn 最大时，n 的值等于()A8 B9C8 或 9 D17【解析】因
10、为 a1a52a3a5a2a825，所以 a232a3a5a2525.因为 an0，所以 a3a55.又 q(0,1)，所以 a3a5.而由题意得 a3a54，所以 a34，a51，所以 q12，a116，an16(12)n125n，bnlog2an5n，bn1bn1，所以bn是以 b14 为首项，1 为公差的等差数列，所以 Sn9nn22，所以Snn 9n2，所以当 n8 时，Snn 0；当n9 时，Snn 0；当 n9 时，Snn 0.tan3B4128，tanB20.A，B 均为锐角又tan(AB)3421342112 0，AB 为钝角，即 C 为锐角ABC 为锐角三角形【答案】B【对点
11、练 3】(1)(2015江西名校调研)已知等差数列an的前n 项和为 Sn，S918，S1352，bn为等比数列，且 b5a5，b7a7，则 b15 的值为()A64 B128C64 D128【解析】在等差数列an中，由 S918，S99a1a929a5，得 a52；由 S1352，S1313a1a13213a7，得 a74，故 b52，b74.又因为数列bn为等比数列，故 q22，b15b7q841664.【答案】C(2)(2015云南师大附中)在各项均为正数的等比数列an中，a2，12a3，a1 成等差数列，则a5a6a3a4的值为()A.1 52B.512C.3 52D.3 52【解析】
12、设an的公比为 q，因为 a2，12a3，a1 成等差数列，所以 a1a2212a3a3，即 a1a1qa1q2，所以 q2q10，解得 q1 52或 q1 520(舍去)，所以a5a6a3a4a3a4q2a3a4 q23 52，故选 C.【答案】C(3)(2015江西南昌联考)设 Sn 是公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和，S3a22，且 S1，S2，S4 成等比数列，则 a10()A15 B19C21 D30【解析】由 S3a22，得 3a2a22，故 a20 或 a23.由 S1，S2，S4 成等比数列可得 S22S1S4，又 S1a2d，S22a2d.S44a22d，故(2a2
13、d)2(a2d)(4a22d)，化简得 3d22a2d.又d0，a23，d2，an32(n2)2n1，a1019.【答案】B1在等差、等比数列中各有五个基本量，知其三可求余二，运用整体思想、方程思想可简化解题过程2判定数列an为等差数列的方法(1)定义法：anan1d(d 为常数，n2)an为等差数列；(2)等差中项法：2an1anan2an为等差数列；(3)通项法：andnb(d，b 均为常数)an为等差数列；(4)前 n 项和法：SnAn2Bn 或 Snna1an2.3等差数列的常见性质(1)anam(nm)d；(2)若 mnpq2t，则 amanapaq2at；(3)S2n1(2n1)a
14、n；(4)若下标成等差，则各项成等差；(5)Sn，S2nSn，S3nS2n，组成等差数列；(6)Snn 为等差数列4等比数列的性质(1)anamqnm；(2)an中各项及公比 q 都不为 0；(3)若 mnpq2t，则 amanapaq(at)2；(4)若下标成等差，则各项成等比；(5)Sn，S2nSn，S3nS2n，组成等比数列；(6)若 SnABqn，则 AB0.【典例 4】(通项)(1)已知数列an满足 a11，an12an3(nN*)，则 a11()A2103 B2113C2123 D2133调研二 数列的通项与求和【解析】a11，an12an3(nN*)，因此可知 an132(an3
15、)nN*)an3是公比为 2，首项为 4 的等比数列，因此 a112123，故选 C.【答案】C(2)(2015保定重点中学联考)已知数列an满足 a115，an1ann2，则ann 的最小值为()A7 B2 151C9 D.274【解析】an 1an2n，a2a121，a3a222，anan12(n1)，将以上 n1 个式子相加，得 ana12(123n1)2n11n12n2n，ann2n15，ann n15n 1，令 g(x)x15x 1，g(x)115x2x215x2，当 x0,3时，g(x)0，g(3)3517，g(4)4154 1274，故最小值为274，故选 D.【答案】D(3)已
16、知数列an满足：a11,2n1anan1(nN，n2)则数列an的通项公式为 an_.【解析】an anan1an1an2a3a2a2a1a1(12)n1(12)n2(12)2(12)1(12)12(n1)(12)nn12，an(12)nn12.【答案】(12)nn12【对点练 4】(1)(2015宝鸡二模)已知数列an的前 n 项和为Sn，且满足 4(n1)(Sn1)(n2)2an，则数列an的通项公式为an()A(n1)3B(2n1)2C8n2D(2n1)21【解析】当 n1 时，4(11)(a11)(12)2a1，解得 a18，当 n2 时，由 4(Sn1)n22ann1，得 4(Sn
17、11)n12an1n，两式相减得，4ann22ann1n12an1n，即 anan1n13n3，所以 an anan1an1an2a2a1a1n13n3n3n1333238(n1)3，经验证 n1 时也符合，所以 an(n1)3.【答案】A(2)(2015衢州质检)已知数列an满足13a1 132a2 13nan3n1，则 a1_；an_.【解析】由题意可得，当 n1 时，13a14，解得 a112.当 n2 时，13a1 132a2 13n1an13n2，所以 13nan3，n2，即 an3n1，n2，又当 n1 时，an3n1 不成立，所以 an12，n1，3n1，n2.【答案】12 12
18、，n13n1，n2(3)已知数列an满足 a10，an1an2 an11，则 a13()A143 B156C168 D195【解析】由 an1an2 an11，可知 an11an12 an11(an11)2，即 an11 an11，故数列 an1是首项为 1，公差为 1 的等差数列，所以 a131 a111213，则 a13168.故选 C.【答案】C【典例 5】(求和)(1)(2015江西六校联考)已知数列an满足 a11，a22，an2(1cos2n2)ansin2n2，则该数列的前 18 项的和为()A2 101 B2 012C1 012 D1 067【解析】当 n 为奇数时，an2an
19、1，即奇数项构成首项为 1、公差为 1 的等差数列；当 n 为偶数时，an22an，即偶数项构成首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以该数列的前 18 项和为 9982 212912 451 0221 067，故选 D.【答案】D(2)(2015南京一模)已知在数列an中，an0，a112，若 an1是 1 与2anan114a2n的等比中项，则 a1a222a332a442 a1001002的值是_【解析】因为 an1 是 1 与2anan114a2n的等比中项，所以 a2n12anan114a2n，化简得 4a2n1a2na2n12anan11(anan11)2，又an0，则 2an1a
20、nan11，即 an112an，又 a112，所以 a212a123，a312a234，a412a345，则归纳得 an nn1，所以ann21nn11n 1n1，则 a1a222a332 a1001002(112)(1213)(1314)(1100 1101)1 1101100101.【答案】100101(3)(2015黄山调研)已知函数 f(x)xn，数列an的通项公式为anf(2)，则数列an的前 n 项和 Sn_.【解析】依题意 anf(2)n2n1，从而 Sn120221322n2n1，故 2Sn121222323n2n，相减得Sn2021222n1n2n2n1n2n，即 Snn2n
21、2n1.【答案】n2n2n1【对点练 5】(1)(2015金华十校联考)已知 Sn 为数列an的前n 项和，且满足 a11，a23，an23an，则 S2 014()A231 0072 B231 007C.32 01412D.32 01412【解析】由 an23an 可得数列an的奇数项和偶数项分别构成等比数列，所以 S2 014(a1a3a2 013)(a2a4a2 014)131 00713 3131 00713(2)(131 007)231 0072，故选A.【答案】A(2)(2015贵阳一模)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a44，S410，则数列1anan1的前 2 015
22、项和为()A.2 0142 015B.2 0152 016C.2 0162 015D.2 0172 016【解析】设等差数列an的公差为 d，则 a4a13d4，S44a16d10，联立解得 a1d1，所以 ana1(n1)dn，1anan11nn11n 1n1，所以数列1anan1的前 2 015 项和为(112)(1213)(12 01512 016)112 0162 0152 016，故选 B.【答案】B(3)(2015石家庄二模)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)fxf2x12，数列an满足 anf2(n)f(n)，若其前 m(mN*)项和为3516，则 m 的值为()
23、A16 B17C18 D19【解析】由题意f(x1)122f(x)f2(x)，即 f2(x1)f(x1)14f(x)f2(x)，所以14f2(n)f(n)an0，所以 an114an，即 an1an14.若 m 为偶数，则其前 m 项和为14m23516，解得 m352 N*，所以 m 不可能是偶数，排除 A、C；若 m17，则 a17S17S163516148 31614，0，符合题意；若 m19，则 a19S19S183516149 1160，不符合题意，故排除 D，选择 B.【答案】B1求通项(1)对由 Sn 求 an 或 Tna1a2a3an 求 an 一定要注意分 n1，n2 两步(
24、2)对于由数列的递推公式求数列通项 an 的问题，一般有以下几种模型：递推模型 an1cand，可以通过待定系数法(an1)c(an)，化为等比数列；递推模型 an1anf(n)与 an1f(n)an，可以分别通过叠加、叠乘方法求得通项；递推模型 an1canan(ac)，可以通过待定系数法 an1anc(anan1)化为等比数列；递推模型 an1cancn，可以通过两边除以 cn 得an1cn ancn11，化为等差数列；递推模型 an1ancan1，可以通过取倒数 1an1c 1an，化为等差数列在解题时要注意两个重要的变形：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1；an anan1an1an2a2a1a1(an0)2裂项求和的几种常见类型(1)1nnk1k(1n 1nk)；(2)1nk n1k(nk n)；(3)12n12n112(12n112n1)；(4)1nn1n2121nn11n1n2；(5)若an是公差为 d 的等差数列，则1anan11d(1an 1an1)；(6)1a b 1ab(a b)；(7)Cm1nCmn1Cmn；(8)nn！(n1)！n！.