1、第2课时离散型随机变量的分布列,1离散型随机变量X的分布列设离散型随机变量X的取值为a1，a2，随机变量X取ai的概率为pi(i1，2，)，记作P(Xai)pi(i1，2，)，或把上式列成如下表格：Xaia1a2P(Xai)p1p2上述表格或上式称为离散型随机变量X的分布列并记为X.2离散型随机变量X的分布列的性质在离散型随机变量X的分布列中，(1)pi0，i1，2，3，；(2)p1p21.1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数()(2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和()(3
2、)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.()(4)已知两离散型随机变量X，Y，满足Y2X，则X，Y的分布列相同()答案：(1)(2)(3)(4)2下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是()A.X101PB.X012PC.X012P D.X101P解析：选D.A中，X的取值出现了重复性；B中，P(X0)0；C中，1；D中，1，故选D.3在射击试验中，令X如果射中的概率是0.9，则随机变量X的分布列为_解析：P(X1)0.9，P(X0)10.90.1，故随机变量X的分布列为X01P0.10.9答案：X01P0.10.91离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能
3、清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况2性质(1)是由概率的非负性所决定的；性质(2)是因为一次试验的各种结果是互斥的，而全部结果之和为一必然事件一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和离散型随机变量的分布列将一颗骰子掷2次，求下列随机事件的分布列(1)两次掷出的最小点数Y；(2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差X.解：设(i，j)表示掷两次骰子后出现的点数，i表示第一次的点数，j表示第二次的点数(1)Y的可能取值为1，2，3，4，5，6.当Y1时，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)
4、，(1，6)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)故P(Y1)，同理P(Y2)，P(Y3)，P(Y4)，P(Y5)，P(Y6).所以Y的分布列为Y123456P(2)X的可能取值为5，4，3，2，1，0，1，2，3，4，5.当X5时，出现的点数为(1，6)，P(X5).当X4时，出现的点数为(1，5)，(2，6)，P(X4).同理，P(X3)，P(X2)，P(X1)，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5).所以X的分布列为：X54321012345P(1)求离散型随机变量的分布列的关键是搞清离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事件，然后利
5、用排列、组合知识求出X取每个值的概率，最后列出分布列(2)求离散型随机变量X的分布列的步骤是：首先确定X的所有可能的取值；其次，求相应的概率P(Xxi)pi；最后列成表格的形式 1.(1)将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，求X的分布列(2)袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列解：(1)依题意可知，一个杯子中球的最多个数X的所有可能取值为1，2，3.当X1时，对应于4个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形；当X2时，对应于4个杯子中恰有一个杯子放两球的情形；当X3时，对应于4个杯子中恰有一个杯子放
6、三个球的情形P(X1)；P(X2)；P(X3).可得X的分布列为X123P(2)X的可能取值为1，2，3，4，5，则第1次取到白球的概率为P(X1)，第2次取到白球的概率为P(X2)，第3次取到白球的概率为P(X3)，第4次取到白球的概率为P(X4)，第5次取到白球的概率为P(X5).所以X的分布列是X12345P离散型随机变量的分布列的性质设随机变量X的分布列Pak(k1，2，3，4，5)(1)求常数a的值；(2)求P；(3)求P.解：(1)由Pak，k1，2，3，4，5，可知ka2a3a4a5a1，解得a.(2)由(1)可知P(k1，2，3，4，5)，所以PPPP(X1).(3)PPPP.
7、离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确(2)由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和 2.(1)袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X则X的分布列为_(2)若离散型随机变量X的分布列为：X01P9c2c38c则常数c_解析：(1)显然，P(X0)，所以P(X1)1，所以X的分布列是X01P(2)由随机变量分布列的性质可知：整理得解得c.答案：(1)X01P(2)随机变量函数的分布列已知随机变量的分布列为：2
8、10123P(1)求1的分布列；(2)求22的分布列解：(1)由1，由于不同的的取值可得到不同的1的值，虽然随机变量的数值已发生了变化，但其相应的概率并不发生变化，故1的分布列为1101P(2)由22，对于的不同取值2，2与1，1，2分别取相同的值4与1，即2取4时，其概率应是取2与2的概率之和，2取1时，其概率应是取1与1的概率之和，故2的分布列为20149P求随机变量的函数f()的分布列的方法(1)先求出随机变量的分布列(2)在求f()的分布列时，要做到f()的取值无重复，若f()取值有重复的，需把它们的概率相加，作为此随机变量的概率 3.已知随机变量X的分布列为：Xxi210123P(X
9、xi)若P(X2x)，则实数x的取值范围是_解析：由于P(X3)，所以P(2X2)1P(X3).所以P(X2x)中，X取2，1，0，1，2中所有的数且X不能取3，所以4x9.答案：(4，9规范解答随机变量分布列的综合应用(本题满分12分)一盒中有9个正品零件和3个次品零件，每次取出1个零件如果取出的是次品零件不再放回求在取得正品零件前已取出的次品数X的分布列，并求P的值解随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.2分X0表示第一次取到正品则P(X0).4分X1表示第一次取到次品，第二次取到正品则P(X1).同理求得P(X2)，P(X3).因此随机变量X的分布列为X0123P10分故PP(X0)
10、P(X1)P(X2).12分 (1)在处，准确地写出随机变量X的所有取值，是解决本题的关键点，若对题意理解不清，在处会误解为，是解决本题的易失分点，若对题意理解不清，在处会误解为，是解决本题的又一易失分点(2)防范措施：全面考虑变量的可能值在确定随机变量X的所有可能取值时要全面考虑，不可漏解如本例中易忽视X0的情形1设随机变量等可能取值1，2，3，n，若P(4)0.3，则n的值为()A3B4C10 D不确定解析：选C.的分布列为123nPP(4)P(1)P(2)P(3)0.3.所以n10.2若随机变量X的分布列为：X01P0.80.2令Y3X2，则P(Y2)_解析：因为Y3X2，Y2，所以X0
11、，所以P(Y2)P(X0)0.8.答案：0.83已知离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以“x”“y”(x，yN)代替，其表如下：Xi123456P(Xi)0.200.100.x50.100.1y0.20则P_解析：因为0.200.100.x50.100.1y0.201，所以x2，y5，所以PP(X2)P(X3)0.100.250.35.答案：0.354设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量X表示方程x2bxc0实根的个数(重根按一个计)(1)求方程x2bxc0有实根的概率；(2)求X的分布列解：(1)由题意知，设基本事件空间为，记“方程x2bxc0没有实根”为事件A
12、，“方程x2bxc0有且仅有一个实根”为事件B，“方程x2bxc0有两个相异实根”为事件C，则(b，c)|b，c1，2，6，A(b，c)|b24c0，b，c1，2，6，所以中的基本事件总数为36，A中的基本事件总数为17，B中的基本事件总数为2，C中的基本事件总数为17.又因为B，C是互斥事件，故所求概率PP(B)P(C).(2)由题意，X的可能取值为0，1，2，则P(X0)，P(X1)，P(X2)，故X的分布列为X012P A基础达标1设随机变量X的分布列如下，则p等于()X101PpA0B.C. D1解析：选B.根据离散型随机变量分布列的性质，P(X1)P(X0)P(X1)1，所以p1，解
13、得p.2某射手射击所得环数X的概率分布列如下表所示X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数不小于8”的概率为()A0.28 B0.88C0.79 D0.51解析：选C.P(X8)0.280.290.220.79.3若随机变量X的概率分布列为：P(Xn)(n1，2，3，4)，其中a是常数，则P(X)的值为()A. B.C. D.解析：选D.因为P(X1)P(X2)P(X3)P(X4)a(1)1，所以a.所以P(X)P(X1)P(X2)a(1).4随机变量X的分布列为P(Xk)，k1，2，3，其中c为常数，则P(X2)等于()A. B.
14、C. D.解析：选C.由P(Xk)，k1，2，3，可知1，解得c.故P(X2)1P(X1)11.5抛掷2枚骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X4)等于()A. B.C. D.解析：选A.X的分布列为X23456789101112P故P(X4)P(X2)P(X3)P(X4).6若某运动员投篮投中率为0.7，则一次投篮投中次数X的分布列为_解析：随机变量X的可能取值为0，1.该运动员投篮投中率为0.7，则未投中的概率为0.3.答案：X01P0.30.77设X是一个离散型随机变量，其分布列为Xxi123P(Xxi)13qq2则q的值为_解析：由分布列的性质得解得q.答案：8已知随机变量X的分
15、布列为P(Xk)，k1，2，则P(2X4)_解析：P(2X4)P(X3)P(X4).答案：9将一枚骰子投掷两次，设两次掷出点数的最大值为X，求X的分布列解：由题意知X可能取的值为1、2、3、4、5、6，则P(X1)；P(X2)；P(X3)；P(X4)；P(X5)；P(X6).故X的分布列为X123456P10.旅游公司为3个旅游团提供北京、上海、香港、哈尔滨4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条旅游线路(1)共有多少种不同的选法？(2)求选择北京这条旅游线路的旅游团数X的分布列解：(1)共有4364种不同的选法(2)X的可能取值为0，1，2，3；P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3).所
16、以X的分布列为：X0123PB能力提升11一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则P()A. B.C. D.解析：选D.由题意得的分布列为123P故PP(1).12已知某离散型随机变量只能取x1、x2、x3三个值，且其概率依次成等差数列，即的分布列为：x1x2x3Padaad则P(x3)的范围是_解析：由离散型随机变量的分布列基本性质知由得a，代入、解得d.故0ad.所以0P(x3).答案：13设离散型随机变量X的分布列为：X01234P0.20.10.10.3m试求：(1)2X1的分布列；(2)|X1|的分布
17、列解：由分布列的性质知0.20.10.10.3m1，所以m0.3.列表为：X012342X113579|X1|10123(1)2X1的分布列为：2X113579P0.20.10.10.30.3(2)|X1|的分布列为：|X1|0123P0.10.30.30.314(选做题)为了参加2017年贵州省高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级中选出12人组成男子篮球队代表所在地区参赛，队员来源及人数如下表：班级高三(7)班高三(17)班高二(31)班高二(32)班人数4233(1)从这12名队员中随机选出两名，求两人来自同一班级的概率；(2)该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军若要求选出两位队员代表冠军队发言，设其中来自高三(7)班的人数为X，求随机变量X的分布列解：(1)“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一班级”记作事件A，则P(A).(2)X的所有可能取值为0，1，2，则P(X0)，P(X1)，P(X2).所以X的分布列为：X012P