1、55三角恒等变换55.2简单的三角恒等变换第2课时辅助角公式及三角函数公式的综合应用课程目标 掌握辅助角公式，能利用三角恒等变换对三角函数式进行化简、求值，并能进行一些简单的应用 知识点辅助角公式1ya sin xb cos xsin (x)，其中cos _，sin _，tan _.2ya sin xb cos xcos (x)，其中sin _，cos _，tan _. 判断正误(请在括号中打“”或“”).(1)ysin xcos x的最大值为2.()(2)ycos xsin x2sin .()(3)y3sin x4cos x的最小值为5.()(4)ysin xcos x的值域是.()【解析】
2、 (1)ysin xcos xsin ，最大值为.(2)ycos xsin x22sin .(3)y3sin x4cos x55sin (x)，其中sin ，cos ，当x2k，kZ时，函数取得最小值5.(4)ysin xcos xsin (x)，其中sin ，cos ，函数的值域是. y3sin x3cos x的周期是_2_，最大值是_6_【解析】 y3sin x3cos x3(sin xcos x)66sin ，所以函数的周期T2，最大值为6. 活学活用化简：sin cos .解：原式sin sin . 已知函数f(x)2a sin x cos x2cos2x(a0，0)的最大值为2，设x
3、1，x2是函数f(x)的任意两个零点，|x1x2|的最小值为.(1)求a，的值；(2)若f()，求sin的值解：(1)f(x)a sin 2xcos 2xsin (2x)，其中tan ，由题意知 2，a0，则a1.因为|x1x2|的最小值为，所以f(x)的周期为，则，解得1.(2)由(1)知f(x)2sin .由f()知，2sin ，即sin ，所以sin sin cos 12sin212.活学活用已知函数f(x)sin x(2cos xsin x)cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若，且f()，求sin2的值解：(1)因为f(x)sin x(2cos xsin x)cos2
4、xsin2xsin2xcos2xsin2xcos 2xsin ，所以函数f(x)的周期是.(2)f()，即sin ，则sin .因为，所以2，所以cos ，所以sin 2sin sin cos . 如图所示，四边形ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在上，相邻两边CQ，CR分别落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值例3题图例3题答图解：如图所示，连接AP，设PAB(090)，延长RP交AB于点M，则AM90cos ，MP90sin ，所以PQMB1
5、0090cos ，PRMRMP10090sin ，所以S矩形PQCRPQPR(10090cos )(10090sin )10 0009 000(sin cos )8 100sin cos .令tsin cos ，t1，则sin cos ，所以S矩形PQCR10 0009 000t8 1004 050950.故当t时，S矩形PQCR的最小值为950 m2；当t时，S矩形PQCR的最大值为(14 0509 000)m2. 活学活用 如图，半圆的直径AB2，O为圆心，C，D为半圆上的点(1)请你确定点C的位置，使ABC的周长最大，并说明理由；(2)已知ADDC，设ABD，当为何值时，四边形ABCD的
6、周长最大？并求出最大值活学活用图活学活用答图解：(1)如图，当C在半圆中点位置时， ABC的周长最大理由如下：因为点C在半圆上，且AB是圆的直径，所以ACB，即ABC是直角三角形设BCa，ACb，ABC，又AB2，则a2cos ，b2sin ，ABC的周长ab22cos 2sin 22(cos sin )22sin 2.因为0，所以，所以当，即时， ABC的周长取得最大值22，此时C是半圆的中点(2)因为ADDC，所以ABDDBC，所以ADDCAB sin 2sin ，CBAB cos 22cos 2.设四边形ABCD的周长为p，则pADDCCBAB4sin 2cos 224sin 2(12s
7、in2)254.显然，所以当时，p取得最大值5.1sin xcos x等于(C)A2sin Bsin C2sin Dsin 【解析】 sin xcos x22sin .2函数ysin cos x的最大值为(B)A BC1 D【解析】 ysin cos xsin x cos cos xcos x sin cos xsin x cos xcos2xsin2xsin 2xcos 2xsin ，ymax.3函数f(x)sin2xsinx cos x1的最小正周期是(B)A2 BC D【解析】 由题意得f(x)sin ，所以最小正周期T.4要把半径为R的半圆形木料截成长方形，则长方形的截面面积的最大值是_R2_【解析】 如图所示，设圆心为O，长方形的截面面积为S，AOB，则ABR sin ，OBR cos ，SR sin 2R cos 2R2sin cos R2sin 2.当sin 2取到最大值，即sin 21时，长方形的截面面积最大此时，长方形的截面面积的最大值为R2.5在ABC中，若cos A，则sin2cos2A等于_【解析】 在ABC中，所以sin2cos2Asin2cos2Acos2cos2A2cos2A1211.
