1、第十一章第四节一、选择题1用数学归纳法证明11)时，第一步应验证不等式()A12 B12C13D11，n取的第一个数为2，左端分母最大的项为，故选B2某个命题与自然数n有关，若nk(kN*)时命题成立，则可推得当nk1时该命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，那么可以推得()An6时该命题不成立Bn6时该命题成立Cn4时该命题不成立Dn4时该命题成立答案C解析“若nk(kN*)时命题成立，则当nk1时，该命题也成立”，故若n4时命题成立，则n5时命题也应成立，现已知n5时，命题不成立，故n4时，命题也不成立点评可用逆否法判断3(2014河北冀州中学期末)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为
2、1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列an(nN*)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2013()A501B502C503D504答案D解析a1，a3，a5，a7，组成的数列恰好对应数列xn，即xna2n1，由于a11，a31，a52，a72，a93，所以x11，x32，x53，当n为奇数时，xn，所以a2013x1007504.4(2014安徽黄山联考)已知n为正偶数，用数学归纳法证明12()时，若已知假设nk(k2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假
3、设再证n()时等式成立()Ak1Bk2C2k2D2(k2)答案B解析nk为偶数，下一个偶数为nk2，故选B5用数学归纳法证明：1222n22212，第二步证明由“k到k1”时，左边应加()Ak2B(k1)2Ck2(k1)2k2D(k1)2k2答案D解析当nk时，左边1222k22212，当nk1时，左边1222k2(k1)2k22212，选D6(2014河南洛阳质检)已知f(n)，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)答案D解析f(n)的项数为n2(n1)
4、n2n1.二、填空题7用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)(nN*)的第二步中，当nk1时等式左边与nk时等式左边的差等于_答案3k2解析(k1)1(k1)2(k1)(k1)(k1)(k2)(kk)(k1)k(k1)(k1)(k1)3k2.8已知nN*，设平面上的n个椭圆最多能把平面分成an部分，则a12，a26，a314，a426，则an_.答案2n22n2解析观察规律可知anan1(n1)4，利用累加法可得an2n22n2.9(2014广东东莞模拟)观察下列不等式：1；，则第5个不等式为_答案解析212,623,1234，第n个不等式的左边有n项，分子都是1，分母依次为，右边为，即.
5、第5个不等式为231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当n1时，a12111，结论成立；假设当nk(k1且kN*)时结论成立，即ak2k1，则当nk1时，由g(x)(x1)21在区间1，)上单调递增知，ak1(ak1)2122k12k11，即nk1时，结论也成立由知，对任意nN*，都有an2n1.即1an2n.1()n1.一、解答题11已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN*)且点P1的坐标为(1，1)(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN*，点Pn都在(1)中的直线l上解析(1)由P1的坐标为(1，1)知a11，b11
6、.b2，a2a1b2.点P2的坐标为(，)直线l的方程为2xy1.(2)证明：当n1时，2a1b121(1)1成立假设nk(kN*，k1)时，2akbk1成立，则当nk1时，2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，当nk1时，命题也成立由知，对nN*，都有2anbn1，即点Pn在直线l上12已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明解析(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，所以f(3)
7、g(3)(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明当n1,2,3时，不等式显然成立假设当nk(k3，kN*)时不等式成立，即1，那么，当nk1时，f(k1)f(k)，因为0，所以f(k1)1时，对x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1时，存在x0，使(x)nln(n1)证明如下：证法一：上述不等式等价于，x0.令x，nN*，则ln.下面用数学归纳法证明当n1时，ln2，结论成立假设当nk时结论成立，即ln(k1)那么，当nk1时，ln(k1)ln(k1)lnln(k2)，即结论成立由可知，结论对nN*成立证法二：上述不等式等价于，x0.令x，nN*，则ln.故有ln2ln1，ln3ln2，ln(n1)lnn，上述各式相加可得ln(n1)，结论得证证法三：如图，dx是由曲线y，xn及x轴所围成的曲边梯形的面积，而是图中所示各矩形的面积和，dx(1)dxnln(n1)，结论得证