1、33幂函数课程目标 1.理解幂函数的概念；2.会画幂函数yx，yx2，yx3，yx1，yx的图象，结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质 知识点一幂函数的概念一般地，函数_yx_叫做幂函数，其中x是_自变量_，是常数. 判断正误(请在括号中打“”或“”).(1)一次函数和二次函数都是幂函数()(2)f(x)2x3是幂函数()(3)f(x)x5是幂函数()【解析】 (1)不一定如y2x5，yx22x分别为一次函数和二次函数，但它们都不是幂函数(2)f(x)2x3中x3的系数不是1，所以f(x)2x3不是幂函数 知识点二幂函数的图象与性质1五个幂函数的图象2五个幂函数的性质幂函数y
2、xyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，)时，_增_；x(，0时，_减_增增x(0，)时，_减_；x(，0)时，_减_公共点都经过点_(1，1)_3一般幂函数的图象及性质(1)所有幂函数在区间_(0，)_上都有定义，并且图象都通过点_(1，1)_(2)当0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间(0，)上_单调递增_当0时，幂函数在区间(0，)上_单调递减_，图象不通过原点，且在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象无限接近于_y_轴，当x趋向于正无穷时，图象无限接近于_x_轴. 判断正误(请在括号中打“”或
3、“”).(1)幂函数的图象不经过第四象限()(2)当为奇数时，幂函数是奇函数()(3)函数f(x)x2在(，0)上单调递增() 已知幂函数f(x)(m22m2)xm2m1的图象与坐标轴没有交点，则m_1_【解析】 依题意有，m22m21，即m22m30，解得m1或m3.当m3时，f(x)x11经过原点，与坐标轴有交点，不合题意，而m1时符合题意 活学活用已知幂函数f(x)xm的图象经过点，则f(6)_.【解析】 依题意有，()m3，所以1，m2，所以f(x)x2，所以f(6)62. 如图所示，C1，C2，C3为幂函数yx在第一象限内的图象，则解析式中的指数依次可以取(C)A ，2， B2，C2
4、， D ，2 活学活用幂函数yxm与yxn在第一象限内的图象如图所示，则(B)A1n0m1Bn1，0m1C1n1Dn1【解析】 此类题有一简捷的解决办法，在(0，1)内取x0，作直线xx0，与各图象有交点，根据“点低指数大”所以0m1，n1.规律方法解决幂函数的图象问题，需把握两个原则：(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)；在(1，)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”).(2)由图象确定幂指数与0，1的大小关系，需根据幂函数在第一象限内的图象来判断【迁移探究】已知函数f(x)若存在实数b，使方程f
5、(x)b0有两个根，则a的取值范围是_(，0)(1，)_【解析】 存在实数b，使方程f(x)b0有两个根存在实数b，函数yf(x)与yb的图象有两个交点当a1时，yf(x)在(，a)上单调递增，(a，)上也单调递增，所以存在实数b(a2，a3)，使函数yf(x)与yb的图象有两个交点综上可得，a(，0)(1，). 已知幂函数yf(x)的图象过点P.讨论yf(x)的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出草图解：设f(x)xn，由题意得4，所以2n22，得n2，所以f(x)x2，即f(x)，其定义域为(，0)(0，).因为x0，x20，所以f(x)0，即函数的值域为(0，).又f(x)f(x)，所以
6、f(x)是偶函数任取x1，x2(0，)，且x10，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0，)上单调递减因为f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所以f(x)在(，0)上单调递增作出函数的图象大致如图所示规律方法1幂函数f(x)x的单调性：如果0，幂函数在(0，)上单调递增， 如果0，幂函数在(0，)上单调递减. 2利用幂函数的单调性比较大小时要注意：比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小 活学活用已知幂函数f(x)xm22m3(mZ)的图象关于y轴对称，且在区间(0，)上单调递减，求函数f(x)的解析式，并画出它的草图解：因为幂函数f(x)xm22m3(mZ)在区
7、间(0，)上单调递减，所以m22m30，即1m3.又mZ，所以m0，1，2.因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，所以m22m3是偶数，将m0，1，2分别代入m22m3检验得，m1.此时f(x)x4，作出函数的图象如图所示【迁移探究1】已知幂函数yx3m9(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上单调递减，求满足(a1)(32a)的a的取值范围解：因为幂函数yx3m9在(0，)上单调递减，所以3m90，解得m3.又mN*，所以m1，2.又函数图象关于y轴对称，所以3m9为偶数，故m1，所以有(a1)32a0或0a132a或a1032a.解得a或a51，所以f(5)BD8.所以选项A正确4已知幂函数f(x)的图象过点(4，2)，则f_【解析】 设幂函数为yx(为常数).因为f(x)的图象过点(4，2)，所以24，得.所以yx，所以f.5若(a1)(2a2)，则实数a的取值范围是_(3，)_【解析】 因为幂函数yx在R上为增函数，且(a1)(2a2)，所以a13.