1、高考资源网（） 您身边的高考专家2016-2017学年内蒙古包头一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1下列有关命题的说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1”B“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件C命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D命题“x0R，x02+x0+10”的否定是：“xR，x2+x+10”2已知向量，满足|=|=|+|=1，则向量，夹角的余弦值为（）ABCD3下列向量中与向量=（2，3）垂直的是（）A =（2，3
2、）B =（2，3）C =（3，2）D =（3，2）4已知复数z=lgm+（lgn）i，其中i是虚数单位若复数z在复平面内对应的点在直线y=x上，则mn的值等于（）A0B1C10D5复数=（）A2+iB2iC1+2iD12i6设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R=（）ABCD7由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为（）AB4CD68用反证法证明“如果ab，那么”，假设的内容应是（）ABC且D或9已知双曲线=1（ab，b0）的离心
3、率为，则椭圆+=1的离心率为（）ABCD10在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，则点P到平面ABC的距离为（）ABCD11已知函数f（x）=，则（）ABCD12设函数f（x）在R上可导，其导函数为f（x），且函数y=（1x）f（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）C函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（2）D函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（2）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13已知函数f（x）=2f（1）lnxx，则f（1）的
4、值为14抛物线y=4x2的准线方程为15函数y=（1sinx）2的导数是16与双曲线共渐近线且过点的双曲线的标准方程是三、解答题（共6个小题，第17题10分，其余各12分，共70分）17用数学归纳法证明：，nN*18在边长为2的正方体ABCDABCD中，E是BC的中点，F是DD的中点（1）求证：CF平面ADE（2）求二面角EADA的平面角的余弦值19在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，PB与平面ABC成60的角，底面ABCD是直角梯形，ABC=BAD=90，AB=BC=AD（1）求证：平面PCD平面PAC；（2）设E是棱PD上一点，且PE=PD，求异面直线AE与PB所成角的余弦值20椭
5、圆C： +=1（ab0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1F1F2，|PF1|=，|PF2|=（）求椭圆C的方程；（）若直线l过点M（2，1），交椭圆C于A，B两点，且M恰是A，B中点，求直线l的方程21已知函数f（x）=x32ax2+bx+c（）当c=0时，f（x）的图象在点（1，3）处的切线平行于直线y=x+2，求a，b的值；（）当时，f（x）在点A，B处有极值，O为坐标原点，若A，B，O三点共线，求c的值22设函数f（x）=2lnxx2（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+x2x2a=0在区间1，3内恰有两个相异实根，求实数a的取值范围2016-
6、2017学年内蒙古包头一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1下列有关命题的说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1”B“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件C命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D命题“x0R，x02+x0+10”的否定是：“xR，x2+x+10”【考点】命题的真假判断与应用【分析】直接写出命题的否命题判断A；利用充分必要条件的判定方法判断B；由互为逆否命题的两个命题共真假判断C；写出特称命题的
7、否定判断D【解答】解：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x21，则x1”，故A错误；由x=1，得x25x6=0，反之，由x25x6=0，得x=1或x=6，则“x=1”是“x25x6=0”的充分不必要条件，故B错误；命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，则其逆否命题为真命题，故C正确；命题“x0R，x02+x0+10”的否定是：“xR，x2+x+10”，故D错误故选：C2已知向量，满足|=|=|+|=1，则向量，夹角的余弦值为（）ABCD【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】将|+|=1两边平方，结合已知条件可算出=，再用两个向量的夹角公式即可算出向量，夹角的余弦值【解答】解
8、：|+|=1，（+）2=2+2+2=1|=|=1，得2=2=1代入上式得：2=1， =因此，向量，夹角的余弦为cos=故选：B3下列向量中与向量=（2，3）垂直的是（）A =（2，3）B =（2，3）C =（3，2）D =（3，2）【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】由=4+9=5， =49=5， =66=0， =66=12，能求出与向量=（2，3）垂直的向量【解答】解：=4+9=5，=49=5，=66=0，=66=12，与向量=（2，3）垂直的是故选：C4已知复数z=lgm+（lgn）i，其中i是虚数单位若复数z在复平面内对应的点在直线y=x上，则mn的值等于（）A0B1C10D
9、【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】复数z=lgm+（lgn）i，复数z在复平面内对应的点（lgm，lgn）在直线y=x上，可得lgm=lgn，化简即可得出【解答】解：复数z=lgm+（lgn）i，复数z在复平面内对应的点（lgm，lgn）在直线y=x上，lgm=lgn，可得lg（mn）=0，可得mn=1故选：B5复数=（）A2+iB2iC1+2iD12i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解： =1+2i，故选：C6设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2
10、、S3、S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R=（）ABCD【考点】类比推理【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为 R=故选C7由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为（）AB4CD6【考点】定积分在求面积中的应用【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出
11、曲线y=，直线y=x2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为：S=故选C8用反证法证明“如果ab，那么”，假设的内容应是（）ABC且D或【考点】反证法与放缩法【分析】分析：反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立，所以只要考虑的反面是什么即可【解答】解：的反面是，即 =或故选D9已知双曲线=1（ab，b0）的离心率为，则椭圆+=1的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的离心率建立方程关系求出a，b的关系，然后结合椭圆离心率的定义进行求
12、解即可【解答】解：在双曲线中c2=a2+b2，双曲线的离心率为，=，即4a2+4b2=5a2，即a2=4b2，则c2=a2b2=4b2b2=3b2，则e2=，即e=，故椭圆的离心率是，故选：C10在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，则点P到平面ABC的距离为（）ABCD【考点】点、线、面间的距离计算【分析】取BC中点D，连结AD，作PO平面ABC，交AD于O，由此能求出点P到平面ABC的距离PO【解答】解：在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=a，AB=AC=BC=a，取BC中点D，连结AD，作PO平面ABC，交AD于O，则AD=，A
13、O=，点P到平面ABC的距离PO=故选：B11已知函数f（x）=，则（）ABCD【考点】定积分【分析】先根据条件可化为（x+1）2dx+dx，再根据定积分以及定积分的几何意义，求出即可【解答】解： （x+1）2dx+dx，（x+1）2dx=（x+1）3|=，dx表示以原点为圆心以1为为半径的圆的面积的四分之一，故dx=，（x+1）2dx+dx=，故选：B12设函数f（x）在R上可导，其导函数为f（x），且函数y=（1x）f（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）C函数f（x）有极大值f（2）和
14、极小值f（2）D函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（2）【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的图象【分析】利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值【解答】解：由函数的图象可知，f（2）=0，f（2）=0，并且当x2时，f（x）0，当2x1，f（x）0，函数f（x）有极大值f（2）又当1x2时，f（x）0，当x2时，f（x）0，故函数f（x）有极小值f（2）故选D二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13已知函数f（x）=2f（1）lnxx，则f（1）的值为1【考点】导数的运算【分析】求函数的导数，令x=1即可求出f（1）的值【解答】解：函数的导
15、数为f（x）=2f（1）1，令x=1得f（1）=2f（1）1，即f（1）=1，故答案为：114抛物线y=4x2的准线方程为【考点】抛物线的简单性质【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，p=抛物线方程开口向上，准线方程是y=故答案为：15函数y=（1sinx）2的导数是sin2x2cosx【考点】导数的运算【分析】利用导数的运算法则即可得出【解答】解：y=2（1sinx）（1sinx）=2（1sinx）（cosx）=sin2x2cosx故答案为：sin2x2cosx16与双曲线共渐近线且过点的双曲线的标准方程是【考点】
16、双曲线的简单性质【分析】与y2=1有相同的渐近线的方程可设为y2=0，再把点P的坐标代入即可【解答】解：依题设所求双曲线方程为y2=0，双曲线过点（，2），14=，=3，所求双曲线方程为故答案为：三、解答题（共6个小题，第17题10分，其余各12分，共70分）17用数学归纳法证明：，nN*【考点】数学归纳法【分析】利用数学归纳法的证明标准，验证n=1时成立，假设n=k是成立，证明n=k+1时等式也成立即可【解答】证明：（1）当n=1时，左边=，右边=，等式成立（2）假设当n=k时，等式成立，即+=那么，当n=k+1时，左边=+=+=，这就是说，当n=k+1时等式也成立根据（1）和（2），可知等
17、式对任何nN*都成立18在边长为2的正方体ABCDABCD中，E是BC的中点，F是DD的中点（1）求证：CF平面ADE（2）求二面角EADA的平面角的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；向量语言表述线面的垂直、平行关系【分析】（1）分别以DA，DC，DD为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出各顶点坐标后，进而求出直线CF的方向向量和平面ADE的法向量，根据两个向量的数量积为0，得到两个向量垂直后，进而得到CF平面ADE（2）结合正方体的几何特征，可得是面AAD的法向量，结合（1）中平面ADE的法向量为，代入向量夹角公式，即可求出二面角EADA的平面角的余弦值【解答】证明（1）：分别以D
18、A，DC，DD为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），则，设平面ADE的法向量是，则，取，所以，CF平面ADE解：（2）由正方体的几何特征可得是面AAD的法向量又由（1）中向量为平面ADE的法向量故二面角EADA的平面角满足；即二面角EADA的平面角的余弦值为19在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，PB与平面ABC成60的角，底面ABCD是直角梯形，ABC=BAD=90，AB=BC=AD（1）求证：平面PCD平面PAC；（2）设E是棱PD上一点，且PE=PD，求异面直线AE与PB所成角的余弦值【考
19、点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定【分析】（1）由AB，AD，AP两两垂直，建立空间直角坐标系Axyz利用向量法能证明平面PCD平面PAC（2）求出=（0，），=（1，0，），利用向量法能求出异面直线AE与PB所成的角的余弦值【解答】证明：（1）AB，AD，AP两两垂直，建立空间直角坐标系AxyzPA平面ABCD，PB与平面ABC成60，PBA=60PA=ABtan60=取AB=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，），D（0，2，0）=（1，1，0），=（0，0，），=（1，1，0），=1+1+0=0， =0ACCD，APCD，ACAP=A，CD
20、平面PAC又CD平面PCD，平面PCD平面PAC解：（2）=， =（0，2，），=+=（0，0，）+（0，2，）=（0，），E（0，），=（0，）又=（1，0，），=2cos=异面直线AE与PB所成的角的余弦值为20椭圆C： +=1（ab0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1F1F2，|PF1|=，|PF2|=（）求椭圆C的方程；（）若直线l过点M（2，1），交椭圆C于A，B两点，且M恰是A，B中点，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（）根据椭圆的定义，可得a的值，在RtPF1F2中，|F1F2|=，可得椭圆的半焦距c=，从而可求椭圆C的方程为=1
21、；（）设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），设过点（2，1）的直线l的方程为 y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程，利用A，B关于点M对称，结合韦达定理，即可求得结论【解答】解：（）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3在RtPF1F2中，|F1F2|=，故椭圆的半焦距c=，从而b2=a2c2=4，所以椭圆C的方程为=1（）设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）若直线l斜率不存在，显然不合题意从而可设过点（2，1）的直线l的方程为 y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k27=0因
22、为A，B关于点M对称，所以，解得k=，所以直线l的方程为，即8x9y+25=0经检验，0，所以所求直线方程符合题意 21已知函数f（x）=x32ax2+bx+c（）当c=0时，f（x）的图象在点（1，3）处的切线平行于直线y=x+2，求a，b的值；（）当时，f（x）在点A，B处有极值，O为坐标原点，若A，B，O三点共线，求c的值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）当c=0时，函数f（x）=x32ax2+bx依题意可得f（1）=3，f（1）=1，即可得到a，b的值；（）当时，f（x）=3x26x9，列表得到，当x=1时，f（x）极大值=5+c；当x=3时，f
23、（x）极小值=27+c又由A，B，O三点共线，则得到kOA=kOB，进而得到c的值【解答】解：（） 当c=0时，f（x）=x32ax2+bx则f（x）=3x24ax+b由于f（x）的图象在点（1，3）处的切线平行于直线y=x+2，可得f（1）=3，f（1）=1，即，解得；（）当时，f（x）=x33x29x+c所以f（x）=3x26x9=3（x3）（x+1）令f（x）=0，解得x1=3，x2=1当x变化时，f（x），f（x）变化情况如下表：x（，1）1（1，3）3（3，+）f（x）+00+f（x）5+c27+c所以当x=1时，f（x）极大值=5+c；当x=3时，f（x）极小值=27+c不妨设A（
24、1，5+c），B（3，27+c）因为A，B，O三点共线，所以kOA=kOB即，解得c=3故所求c值为322设函数f（x）=2lnxx2（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+x2x2a=0在区间1，3内恰有两个相异实根，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点【分析】求函数f（x）的导数，解f（x）0便得增区间要使关于x的方程f（x）+x2x2a=0在区间1，3内恰有两个相异实根，也就是让函数f（x）+x2x2a在1，3内有两个零点，令g（x）=f（x）+x2x2a=2lnxx2a，下面要做的就是考查g（x）在区间1，3内最值情况，若有最大值，则
25、限制最大值大于0，然后两个端点值都小于0，若有最小值，情况恰好相反【解答】解：（1）f（x）=，x0，x（0，1）时，f（x）0，所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1（2）将f（x）代人方程f（x）+x2x2a=0得2lnxx2a=0，令g（x）=2lnxx2a则g（x）=；x1，2）时，g（x）0；x（2，3时，g（x）0；g（2）是g（x）的极大值，也是g（x）在1，3上的最大值；关于x的方程f（x）+x2x2a=0在区间1，3内恰有两个相异实根；函数g（x）在区间1，3内有两个零点；则有：g（2）0，g（1）0，g（3）0，所以有：解得：2ln35a2ln24，所以a的取值范围是（2ln35，2ln24）2017年3月5日高考资源网版权所有，侵权必究！