1、第二部分 讲重点小题专练 第1讲 集合、复数、逻辑用语 选择、填空题(小题)占有高考试题的半壁江山，能迅速准确地做好小题是高考数学夺取高分的基石.热点调研【典例 1】(元素与集合之间的关系)(1)(2015河北邢台摸底)已知集合 AxN|x22x30，BC|CA，则集合 B 中元素的个数为()A2 B3C4 D5调研一 集合【解析】AxN|(x3)(x1)0 xN|3x10,1，共有 224 个子集，因此集合 B 中元素的个数为 4，故选 C.【答案】C(2)(2015贵阳监测)已知全集 Ua1，a2，a3，a4，集合 A 是集合 U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：若 a1A，则
2、a2A；若 a3A，则 a2A；若 a3A，则 a4A.则集合 A_.(用列举法表示)【解析】假设 a1A，则 a2A，则由若 a3A，则 a2A 可知，a3A，与题意不符，假设不成立；假设 a4A，则 a3A，则 a2A，且 a1A，与题意不符，假设不成立，故集合 Aa2，a3(经检验知符合题意)【答案】a2，a3(3)(2014湖北模拟)设全集 UR，已知集合 Ax|x22x30，Bx|xa，若(UA)B，则实数 a 的取值范围是()A(1，)B1，)C(3，)D3，)【解析】因为UAx|x22x30 x|1x3，Bx|x3.故选 C.【答案】C【对点练 1】(1)(2015广东珠海)设
3、P，Q 为两个非空实数集合，定义集合 PQab|aP，bQ，若 P0,2,5，Q1,2,6，则 PQ 中元素的个数是_【解析】由题知 011,022,066,213,224,268,516,527,5611，但是根据集合元素的互异性，元素 6 在写入集合时，只能写一次，所以元素的个数是 8.【答案】8(2)(2015景德镇测试)设 A 是整数集的一个非空子集，对于 kA，如果 k1A 且 k1A，那么 k 是 A 的一个“单一元”，给定 S1,2,3,4,5,6,7,8，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有_个【解析】符合题意的集合为1,2,3，2,3,4，3,4,
4、5，4,5,6，5,6,7，6,7,8，共 6 个【答案】6(3)设集合 Ax|x22x30，集合 Bx|x22ax10，a0若 AB 中恰含有一个整数，则实数 a 的取值范围是()A(0，34)B34，43)C34，)D(1，)【解析】Ax|x22x30 x|x1 或 x0，f(0)10，即44a10，96a10，所以a34，a43.即34a3，集合Bx|yx1x2，则 A(RB)()A(1,2)B(1,2C(1，)D1,2【解析】由题知集合 A 是|2x1|3 的解集，由绝对值不等式解法解得 A(，2)(1，)；集合 B 是函数 yx1x2的定义域，则x1x20，由实数运算的符号法则知不等
5、式可化为x1x20，x20，解得 B(，1(2，)利用数轴及补集的概念知RB(1,2，由数轴及交集的概念知 A(RB)(1,2，故选 B.【答案】B(2)(2015衡水调研)设集合 Ax|2x1x2 0，Bx|x|1，则AB()Ax|12x1 Bx|1x2Cx|1x2 且 x1 Dx|1x2【解析】易知 Ax|12x2，Bx|1x1，ABx|1x2【答案】D【对点练 2】(1)(2015天津测试)已知集合 Mx|x29y24 1，Ny|x3y21，则 MN()AB(3,0)，(2,0)C3,3 D3,2【解析】Mx|x29y241x|3x3，Ny|x3y21R，故 MNx|3x3【答案】C(2
6、)(2015山东临沂)已知集合 Ax|a4x2x110，Bx|2xx11，若 AB，则实数 a 的取值范围为()A(54，8 B54，8)C54，8 D(54，8)【解析】由 a4x2x110，得 a2x114x14x212x(12x1)21；由 2xx11，得 2xx110，2xx1x10，解得1x1.若 AB，则方程 a4x2x110 在1x1 上有解，当1x1 时，1212x2，54(12x1)218，故54a0，2m250，而此不等式组无解，所以复数 z 在复平面上对应的点不可能在第一象限，故选A.【答案】A1处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式
7、，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法2熟练掌握复数部分的一系列概念，对于求解复数题至关重要以下三点请注意：(1)对于复数 mni，若 m，nC(或没有明确界定 m，nR)，则不可想当然地判定 m，nR.(2)易误认为 y 轴上的点与纯虚数一一对应(3)对于 abi(a，bR)为纯虚数的充要条件，只注意了 a0而漏掉了 b0.3复数的几何意义(1)(其中 a，bR)(2)|z|表示复数 z 对应的点与原点的距离(3)|z1z2|表示两点的距离，即表示复数 z1 与 z2 对应的点的距离4复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用
8、i，的性质可简化运算注意下面结论的灵活运用：(1)(1i)22i；(2)1i1ii，1i1ii；(3)210，其中 12 32 i；(4)inin1in2in30(nN)；(5)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i.【典例 5】(命题)(1)(2015贵州监测)下列说法中正确的是()A命题“xR，ex0”的否定是“xR，ex0”B命题“已知 x，yR，若 xy3，则 x2 或 y1”是真命题C“x22xax 在 x1,2恒成立”“对于 x1,2，有(x22x)min(ax)max”D命题“若 a1，则函数 f(x)ax22x1 只有一个零点”的逆命题为真命题调研三 常用逻辑用语【解析】
9、全称命题“xM，p(x)”的否定是“xM，綈 p(x)”，故命题“xR，ex0”的否定是“xR，ex0”，A 项错误；命题“已知 x，yR，若 xy3，则 x2 或 y1”的逆否命题为“已知 x，yR，若 x2 且 y1，则 xy3”，是真命题，故原命题是真命题，B 项正确；“x22xax 在 x1,2上恒成立”“对于 x1,2有(x2)mina”，由此可知 C 项错误；命题“若 a1，则函数 f(x)ax22x1 只有一个零点”的逆命题为“若函数 f(x)ax22x1 只有一个零点，则 a1”，而函数 f(x)ax22x1 只有一个零点a0 或 a1，故D 项错误【答案】B(2)(2015河
10、南统考)已知命题 p：x0R，使 sinx0 52；命题 q：xR，都有 x2x10，给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“p(綈 q)”是假命题；命题“(綈 p)q”是真命题；命题“(綈 p)(綈 q)”是假命题其中正确的结论是()ABCD【解析】52 1，命题 p 是假命题x2x1(x12)234340，命题 q 是真命题，由真值表可以判断“pq”为假，“p(綈 q)”为假，“(綈 p)q”为真，“(綈 p)(綈 q)”为真，所以只有正确，故选 A.【答案】A(3)(2015江西测试)已知函数 f(x)x22x，g(x)ax2(a0)，若x11,2，x21,2，使得 f(x1)g(x2
11、)，则实数 a 的取值范围是()A(0，12 B12，3C(0,3 D3，)【解析】x11,2，x21,2使得 f(x1)g(x2)，则有 g(x)minf(x)min，g(x)maxf(x)max，而函数 f(x)在区间1,2上的最大值为 f(x)maxf(1)3，函数 f(x)在区间1,2上的最小值为f(x)minf(1)1，由于 a0，函数 g(x)ax2 在区间1,2上单调递增，则 g(x)maxg(2)2a2，g(x)ming(1)a2，于是有a21 且 2a23，解得 a3.【答案】D【对点练 5】(1)(2015山西质检)给定下列三个命题：p1：函数 yaxx(a0，且 a1)在
12、 R 上为增函数；p2：a，bR，a2abb20，且 a1)，当 a12时，f(0)(12)001，f(1)(12)111，所以 p1 为假命题；对于p2：因为 a2abb2(a12b)234b20，所以 p2 为假命题；对于p3，因为 coscos2k(kZ)，所以 p3 是真命题，所以綈 p2p3 为真命题，故选 D.【答案】D(2)(2015济南调研)下列命题中错误的是()A命题“若 x25x60，则 x2”的逆否命题是“若x2，则 x25x60”B若 x，yR，则“xy”是“xy(xy2)2”的充要条件C已知命题 p 和 q，若 pq 为假命题，则命题 p 与 q 中必一真一假D命题
13、p：x0R，x20 x010，则綈 p：xR，x2x10【解析】由逆否命题、否命题的概念可知，A，D 明显正确；对于 B，xy(xy2)2 可化为(xy)20，故 xy，故 B 正确；对于 C，pq 为假命题，则命题 p 与 q 都为假命题，故 C 错误【答案】C(3)(2015浙江模拟)已知命题 p：“存在 xR，使 4x2x1m0”，若“非 p”是假命题，则实数 m 的取值范围是()A(，0)B(，1)C(0，)D(1，)【解析】“非 p”是假命题，则 p 为真命题，问题转化为方程 4x2x1m0 有解问题，分离参数 m(4x2x1)，m 的取值范围为函数 y(4x2x1)的值域，利用换元
14、法可求得其值域为(，0)【答案】A(4)(2015山东德州)不等式组xy1，x2y4的解集记为 D，有下面四个命题：p1：(x，y)D，x2y2，p2：(x，y)D，x2y2，p3：(x，y)D，x2y3，p4：(x，y)D，x2y1，其中的真命题是()Ap2，p3 Bp1，p4Cp1，p2 Dp1，p3【解析】画出不等式组xy1，x2y4的可行域 D，如图阴影部分：两直线交点为 A(2，1)，设直线 l0 的方程为 x2y0.由图像知，(x，y)D，x2y0.故 p1 为真命题，p2 为真命题，p3，p4 为假命题【答案】C【典例 6】(充要条件)(1)(2015河北五校联考)设 a，b 为
15、两个非零向量，则“ab|ab|”是“a 与 b 共线”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】设 a，b 的夹角为.由 ab|ab|，得|a|b|cos|a|b|cos|，|a|b|(cos|cos|)0，即|a|b|0 或 cos0，所以由ab|ab|/a 与 b 共线，反过来，当 ab 时，虽然“a 与 b 共线”，但是“ab|ab|”不成立，所以“ab|ab|”是“a 与 b共线”的既不充分也不必要条件故选 D.【答案】D(2)(2015陕西西安模拟)若 f(x)是 R 上的增函数，且 f(1)4，f(2)2，设 Px|f(xt)13，Qx|
16、f(x)4，若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，则实数 t 的取值范围是()A(，1 B(1，)C3，)D(3，)【解析】Px|f(xt)13x|f(xt)2x|f(xt)f(2)，Qx|f(x)4x|f(x)f(1)，因为函数 f(x)是 R 上的增函数，所以 Px|xt2x|x2t，Qx|x1，要使“xP”是“xQ”的充分不必要条件，则有 2t3，故选 D.【答案】D(3)(2015河北唐山)命题“x1,2)，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()Aa4 Ba4Ca1 Da1【解析】因为命题“x1,2)，x2a0”为真命题，所以 a4，所以“a4”是“a4”的充分不必要条件，故
17、选 B.【答案】B【对点练 6】(1)(2015陕西八校联考)“x13 且 x23”是“x1x26 且 x1x29”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】x13，x23x1x26，x1x29；反之不成立，例如 x112，x220.故选 A.【答案】A(2)(2015山东德阳)已知“命题 p：(xm)23(xm)”是“命题 q：x23x40”成立的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围为_【解析】将两个命题化简得，命题 p：xm3，命题 q：4x1.因为 p 是 q 成立的必要不充分条件，所以 m34 或 m1，故 m 的取值范围是(，71，)【答案】
18、(，71，)(3)(2015洛阳统考)设等比数列an的公比为 q，则“0q1”是“an是递减数列”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】an1ana1qna1qn1a1qn1(q1)，而 a1 的正负性未定，故无法判断数列an的单调性，因此“0q1”是“an是递减数列”的既不充分也不必要条件【答案】D1四种命题中真命题的个数一定是偶数 0,2,4 其中的一个2全、特称命题的真假判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合 M 的一个 xx0，使得 p(x0
19、)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)(2)要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合 M 中，至少能找到一个 xx0，使 p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题3“pq”“pq”“綈 p”形式命题真假的判断步骤：(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题 p，q 的真假；(3)确定“pq”“pq”“綈 p”形式命题的真假4充要条件的判断方法(1)定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断 pq 及 qp 的真假；第三步，下结论(2)等价法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题一般地，这类问题由几个充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真假(3)集合法：写出集合 Ax|p(x)及 Bx|q(x)，利用集合之间的包含关系加以判断5利用转化的方法理解充分必要条件若綈 p 是綈 q 的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则 p是 q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件