1、第四节 指 数 函 数 1.根式(1)根式的概念 若_,则x叫做a的n次方根,其中n1且nN*.式子 叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.a的n次方根的表示:xn=a x_(nnN*),x_(nnN*).当 为奇数且时当 为偶数且时n an an axn=a(2)根式的性质 =a(nN*).nn(a)nn_,naa,a0,_n.a,a0,为奇数，为偶数a|a|2.有理数指数幂(1)分数指数幂的意义 正分数指数幂：=_(a0,m,nN*,且n1);负分数指数幂：=_=_(a0,m,nN*,且n1)；0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂_.mnamn amnamn1amn1a没有意义(
2、2)有理数指数幂的运算性质 aras=_(a0,r,sQ);(ar)s=_(a0,r,sQ);(ab)r=_(a0,b0,rQ).上述有理数指数幂的运算性质,对于无理数指数幂也适用.3.指数函数的概念(1)解析式:y=_.(2)自变量:_.(3)定义域:_.ar+s ars arbr ax(a0且a1)x R 4.指数函数的图象与性质 a10a10a0时,_;当x0时,_;当x1 0y1 0y1 增函数 减函数 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)=-4.()(2)()(3)函数y=a-x是R上的增函数.()(4)函数y=(a1)的值域是(0，+).()(5)函数y=2x-1
3、是指数函数.()444（）2142111.（）（）2x1a【解析】(1)错误.没有意义.(2)错误.底数为负数时，指数不能约分.(3)错误.当a1时函数是R上的减函数，当0a1时函数是R上的增函数.(4)错误.因为x2+11，所以ya，即值域为a，+).(5)错误.y=2x-1=2x,不符合指数函数的定义.答案:(1)(2)(3)(4)(5)44121.化简 -(-1)0的结果为()(A)-9 (B)7 (C)-10 (D)9【解析】选B.2.化简 (x0，y0)得()(A)2x2y (B)2xy (C)4x2y (D)-2x2y【解析】选D.162(2)1160622(2)(1)(2)18
4、17.844 16x y844244224416x y2(x)y2x|y|2x y.3.当a0且a1时,函数f(x)=ax-2-3的图象必过定点 .【解析】由a0=1知,当x-2=0,即x=2时,函数f(x)的图象恒过定点.此时,f(2)=-2,即图象必过定点(2,-2).答案:(2,-2)4.指数函数y=(2-a)x在定义域内是减函数,则a的取值范围是 .【解析】由题意知,02-a1,即1a0.答案:(0,+)12考向 1 指数幂的化简与求值【典例1】化简：(1)(2)【思路点拨】将根式化为分数指数幂,负分数指数幂化为正分数指数幂,底数为小数的化成分数,然后运用幂的运算性质进行计算.3223
5、111143342a baba0b0.a bab，（）1111010.25334273(0.008 1)3()81(3)10 0.027.88【规范解答】(1)原式=1213233211233a b a bab ab（）3 111111212 6333abab.11141113 342112333(2)3 1310 102103112310103331010130.33原式（）（）（）（）（）（）【拓展提升】指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,
6、先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.【提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.【变式训练】(1)计算下列各题:【解析】原式=原式=933713332aaaa;1713931333222a aaa（）（）113232aaaa1.（）（）112322725711 0009 （）（）（）10549145.33 11203217(0.027)()(2)(21).79(2)已知【解析】331122221122mmmm4.mm，求11122mm4,mm216,1331112222111122221mm14,mm(m
7、m)(mm1)mmmmmm114 115.考向 2 指数函数图象的应用 【典例2】已知函数y=()|x+1|.(1)作出图象.(2)由图象指出其单调区间.(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值.【思路点拨】将函数写成分段函数的形式,作出函数的图象,由图象可求单调区间及最值.13【规范解答】(1)由已知可得,其图象由两部分组成：一部分是：y=()x(x0)y=()x+1(x-1)；另一部分是：y=3x(x0)y=3x+1(x-1).图象如图所示.x 1|x 1|x 11(),x11y()333,x1.，131向左平移个单位131向左平移个单位(2)函数在(-,-1上是增函数,在-1,+)上是减
8、函数.(3)当x=-1时,函数y=()|x+1|取最大值1,无最小值.13【拓展提升】1.指数型函数的性质问题的求解思路 对指数型函数的性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.2.指数型方程、不等式的求解思路 一些指数型方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.【变式训练】若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a0,a1)的图象有 两个公共点，求实数a的取值范围.【解析】分底数0a1两种情况，分别在同一直角坐标系 中作出两函数的图象，如图：从图中可以看出，只有当0a1，且02a0且a1)
9、.(1)讨论f(x)的奇偶性.(2)求a的取值范围,使f(x)0在定义域上恒成立.【思路点拨】先求函数的定义域,再判断奇偶性,对于恒成立问题,可借助函数的奇偶性,只讨论x0的情况.x11a12【规范解答】(1)由于ax-10,则ax1,得x0,所以函数f(x)的定义域为x|x0,xR.对于定义域内任意x，有 f(-x)=3x11()(x)a12x3x3x3xa1()(x)1 a211(1)(x)a1211()xf(x).a12f(x).是偶函数(2)由(1)知f(x)为偶函数，只需讨论x0时的情况.当x0时，要使f(x)0，即()x30，即ax-10，ax1，axa0.又x0，a1.因此a1时
10、，f(x)0在定义域上恒成立.x11a12xxx11a100a122 a1即，即，（）【拓展提升】利用指数函数的性质可求解的问题及其解题思路(1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小.(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法,与前面所讲一般函数的求解方法一致,只需根据条件灵活选择即可.【变式训练】(1)函数f(x)=的单调递减区间为_，值域为_.【解析】令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,由于g(x)在(-,-2)上 单调递增,在(-2,+)上单调递减,而y=在R上为单调递减,所以f(x)在(-,-2)上单调递减.又g(x)=-(x
11、+2)2+77,f(x)()7=3-7.答案:(-,-2)3-7,+)2x4x 313（）t13（）13(2)已知函数f(x)=(a0且a1)，求f(x)的定义域；讨论f(x)的奇偶性；讨论f(x)的单调性.【解析】f(x)的定义域是R.f(-x)=-f(x)，f(x)是奇函数.xxa1a1xxxxa11 aa11 af(x)=设x1,x2是R上任意两个实数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1x2,当a1时,0,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的增函数.当0a1时,0,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的减函数.xxxa12
12、21,a1a1（）122112xxxxxx222 aa.a1a1(a1)(a1)（）21xxaa1212xxxxa1 0,a1 0,aa0,从而12xxaa1212xxxxa1 0,a1 0,aa0,从而【易错误区】忽略讨论及验证致误 【典例】(2012山东高考)若函数f(x)=ax(a0，a1)在-1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)=(1-4m)在0，+)上是增函数，则a=_.【误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面:(1)误以为a1,未进行分类讨论从而求得错误答案.(2)对条件“g(x)在0，+)上是增函数”不会使用，求得结 果后未进行检验得到两个答案.x【规范解答】若a1
13、，有a2=4，a-1=m，此时a=2，m=，此时 g(x)=为减函数，不合题意.若0a1，有a-1=4，a2=m，故a=，m=，检验知符合题意.答案:12x1411614【思考点评】1.指数函数的底数不确定时应分类讨论 指数函数的底数不确定时,单调性不明确,从而无法确定其最值,故应分a1和0ay1y2 (B)y2y1y3(C)y1y3y2 (D)y1y2y3【解析】选C.y1=21.8,y2=21.44,y3=21.5,1.81.51.44,21.821.521.44,y1y3y2.123.(2013合肥模拟)函数y=的值域为()(A)(-，1)(B)(，1)(C)，1)(D)，+)【解析】选
14、C.x2+11,0 1.y=()x在R上是减函数，y1.21x112（）12121221x112124.(2012上海高考)方程4x-2x+1-3=0的解是 .【解析】方法一:原方程4x-2x+1-3=0可化为(2x)2-22x-3=0,即(2x-3)(2x+1)=0,由于2x0,xR,2x-3=0,即x=log23.方法二:令t=2x,则t0,原方程可化为t2-2t-3=0,解得t=3或t=-1(舍去),即2x=3,x=log23.答案:x=log23 1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=1-2-x，则不等式f(x)-的解集是()(A)(-，-1)(B)(-，-1(
15、C)(1，+)(D)1，+)12【解析】选A.当x0时，f(x)=1-2-x0，又f(x)是R上的奇函数，所以f(x)-的解集和f(x)(x0)的解集关于原点对 称，由1-2-x 得2-x =2-1，即x1，则f(x)-的解 集是(-，-1).12121212122.若关于x的方程a2x+(1+)ax+1=0(a0且a1)有解，则m的 取值范围是()(A)(-，-(B)-，0)(0，1(C)-，0)(D)1，+)【解析】选C.令t=ax，则t0，方程a2x+(1+)ax+1=0有解等 价于方程t2+(1+)t+1=0有正根，则有 解得-m0.1m1313131m1m22m10m(m1)40m，13