1、南宫一中2016届高三理科实验班第五次周模拟测试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，所以,则选A.2若集合,则所含的元素个数为( )A0 B1 C2 D3【答案】C 【解析】由集合A中的不等式变形得：212x+223，得到1x+23，解得：1x1，且x为整数，A=0，1；由集合B中的不等式变形得：x（x2）0，解得：x2或x0，即B=（，0）（2，+），RB=0，2，A（RB）=0，1，即元素有2个故选C3. 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么. . . . 【
2、答案】A 【解析】均为单位向量，它们的夹角为60,|=1，|=1，=cos60,|=,故选A4某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 A. 3种B. 6种C. 9种D.18种【答案】C 【解析】可分以下2种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C21C32种不同的选法；A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C31种不同的选法根据分类计数原理知不同的选法共有C21C32+C22C31=6+3=9种故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种故选：C5.已知 是定义在R上的奇函数，且当x0对， (A) (B) (C
3、) (D) 【答案】C 【解析】因为，所以，故选 C. 6、已知等比数列中，则的值为（ ）A2 B4 C8 D16【答案】B 【解析】因为，所以，即，则，故选B.7、运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则的取值范围为（ ）A、 B、 C、 D、【答案】B 【解析】依次执行循环体得，第一次执行:n=2,x=2t,a=1; 第二次执行:n=4,x=4t,a=3, 第三次执行:n=6,x=8t,a=3,此时输出的值为，若，则，所以选B.8. 已知，A是由曲线与围成的封闭区域，若向上随机投一点，则点落入区域A的概率为A. B. C. D.【答案】D 【解析】区域A的面积S，而表示的区域的面
4、积为4，所以落入区域A的概率为,故选D. 9、设是等差数列的前n项和，且成等比数列，则等于（ ）A1 B1或2 C1或3 D3【答案】C 【解析】设等差数列的公差为d，则有，得d=0或d=，若d=0,则，若d=，则，所以选C.10在区间和上分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为 （ ）A B C D 【答案】B 【解析】表示焦点在x轴上且离心率小于，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为，故选B11函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是 【答案】B 【解析】观察图象可知，该函数在（2，3）上为连续可导的增函数
5、，且增长的越来越慢所以各点处的导数在（2，3）上处处为正，且导数的值逐渐减小，所以故f（2）f（3），而f（3）-f（2）=，表示的连接点（2，f（2）与点（3，f（3）割线的斜率，根据导数的几何意义，一定可以在（2，3）之间找到一点，该点处的切线与割线平行，则割线的斜率就是该点处的切线的斜率，即该点处的导数，则必有：0f(3)f(2)故选：B12.已知椭圆C:的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】D 【解析】6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称。不妨设P在第
6、一象限，当时，即2c2a2c，解得，又因为e1，所以；当时，即2a2c2c且2cac，解得，综上可得或，故选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13. 已知，则_.【答案】 【解析】设,则,解得,所以,故答案为.14. 若函数在区间上是单调减函数，且函数值从减小到，则_.【答案】【解析】由题意可得，函数的周期为 2（）=，即=，=2，f（x）=sin（2x+）再由sin（2 +）=1，|可得 =，f（x）=sin（2x+），f()=sin（+）=cos=。15. 设函数的定义域为，若对于任意的，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心.研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可
7、得到 【答案】 【解析】由题意可得对于函数，有时，恒有，所以，故答案为.16. 若关于的函数（）的最大值为，最小值为，且，则实数的值为 .【答案】2【解析】，设：，因为是奇函数，所以函数的最大值与最小值互为相反数，所以，所以t=2.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. (本小题满分12分)在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知 （1）求证：成等差数列； （2）若 求.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由正弦定理得：即 2分即 4分 即成等差数列。 6分（2） 8分又 10分由（1）得： 即 12分18、（本小题满分12分） 已知等差数列的前项和为，
8、为等比数列，且，。（1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和。【答案】 (1) an=2n+1，,;(2) Tn=， 【解析】(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由题意可得： 3分解得q=2或q=(舍)，d=2 数列an的通项公式是an=2n+1，6分数列bn的通项公式是 7分（2）Tn= 2Tn=9分-Tn=Tn=，12分.19（本小题满分12分）据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力
9、”问题进行了问卷调查统计，结果如下表： 态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100人120人人社会人士600人人人而且已知在全体样本中随机抽取人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为。（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数的分布列和数学期望.【答案】（1）72（2）见解析 【解析】（1）抽到持“应该保留”态度的人的概率为，解得，持“无所谓”态度的人数共有，应在“无所谓”态度抽取人；- 4分 （2）由（1）知持“应该保
10、留”态度的一共有人，在所抽取的人中，在校学生为人，社会人士为人，于是第一组在校学生人数，.，- 10分即的分布列为：.- 12分20.（本小题满分12分） 设椭圆C：，F1，F2为左、右焦点，B为短轴端点，且SBF1F24，离心率为,O为坐标原点 （I）求椭圆C的方程， （B）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M,N,且满足？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由【答案】 () （）存在圆心在原点的圆满足条件.【解析】（1）因为椭圆,由题意得, ，所以解得所以椭圆的方程为 4分（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,因为，所以
11、有,设，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为，解方程组得,即, 则=,即 6分要使,需,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为, 10分此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆满足条件. . 12分21（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，求实数的取值范围。【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1），令当单增，单减（2）令，即恒成立，而，令在上单调递增，当时，在上单调递增，符合题意；当时，在上单调递减，与题意不合；当时，为一个单调递增的函数，而，由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，当时，从而在上单调递减，从而，与题意不合，综上所述：的取值范围为22.(本小题满分10分)如图所示，交圆于两点，切圆于，为上一点且，连接并延长交圆于点，作弦垂直，垂足为.（I）求证：为圆的直径；（II）若，求弦的长.【答案】（I）略（II）【解析】证明：（I）因为，所以.由于为切线，故，2分又因为，所以，所以，从而.4分又所以，所以，故为圆的直径5分（II）连接 由于是直径，故.在中，从而得，于是. 7分又因为，所以，故. 8分因为所以为直角，9分所以为直径，又由(1)知为圆的直径，所以.10分