1、 A基础达标1函数yf(x)在x2和x3处的导数的大小关系是()Af(2)f(3)Bf(2)f(3)Cf(2)f(3)D大小关系不确定解析：选A.因为，所以y|x2，即f(2)，y|x3，即f(3)，因为，所以f(2)f(3)，故选A.2曲线yex在点(2，e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()Ae2B2e2Ce2 D解析：选D.因为yex，所以切线的斜率ke2，所以切线方程为ye2xe2，它与两坐标轴的交点坐标分别为(0，e2)，(1，0)，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.3直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b的值为()A2 Bln 21Cln 21
2、Dln 2解析：选C.因为yln x的导数y，所以令得x2，所以切点为(2，ln 2)代入直线yxb得bln 21.4设曲线yxn1(nN)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1x2xn的值为()A. B.C. D.1解析：选B.由题意得xn，则x1x2xn，故选B.5已知点P在曲线y2sincos上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D.因为y2sincossin x，所以ycos x，设P(x0，y0)由题意，知切线的斜率存在，则曲线在点P处的切线的斜率ktan cos x0，所以1tan 1.因为0，所以，故选D.6若指数函数f
3、(x)ax(a0，a1)满足f(1)ln 27，则f(1)_.解析：f(x)axln a，f(1)aln a3ln 3，所以a3，故f(1)31ln 3.答案：7已知f(x)x2，g(x)ln x，若f(x)g(x)1，则x_解析：因为f(x)x2，g(x)ln x，所以f(x)2x，g(x)且x0，f(x)g(x)2x1，即2x2x10，解得x1或x(舍去)故x1.答案：18设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2 018(x)_解析：由已知f1(x)cos x，f2(x)sin x，f3(x)cos x，f4(x)sin x，
4、f5(x)cos x，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为3，则f2 018(x)f2(x)sin x.答案：sin x9已知f(x)cos x，g(x)x，求适合f(x)g(x)0的x的值解：因为f(x)cos x，g(x)x，所以f(x)(cos x)sin x，g(x)x1.由f(x)g(x)0，得sin x10，即sin x1，但sin x1，1，所以sin x1，所以x2k，kZ，所以x的取值为.10设函数f(x)D是由x轴和曲线yf(x)及该曲线在点(1，0)处的切线所围成的封闭区域，求zx2y在D上的最大值解：由题意知，f(x)在(1，0)处的切线方程为yx1，如图，可行域为阴
5、影部分，易求出目标函数zx2y的最优解(0，1)，即z的最大值为2.B能力提升11若函数yf(x)的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质下列函数中具有T性质的是()Aysin x Byln xCyex Dyx3解析：选A.设函数yf(x)的图像上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1f(x1)，k2f(x2)，若函数具有T性质，则k1k2f(x1)f(x2)1.对于A选项，f(x)cos x，显然k1k2cos x1cos x21有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f(x)(x0)，显
6、然k1k21无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，f(x)ex0，显然k1k2ex1ex21无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f(x)3x20，显然k1k3x3x1无解，故该函数不具有T性质故选A.12函数yx2(x0)的图像在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak1，k为正整数，a116，则a1a3a5_解析：因为y2x，所以过点(ak，a)处的切线方程为ya2ak(xak)，又该切线与x轴的交点坐标为(ak1，0)，所以ak1ak，即数列ak是等比数列，首项a116，其公比q，所以a34，a51，所以a1a3a521.答案：2113已知点P是曲线yex上任一点，求点P到直线yx的最小距离解：设平行于直线yx的直线与曲线yex相切于点(x0，y0)，该切点即为与yx距离最近的点，如图，则曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率为1，即y|xx01.因为y(ex)ex.所以ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(0，1)利用点到直线的距离公式得d.故点P到直线yx的最小距离为.14(选做题)求证：曲线y(a为非零常数)上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为定值证明：设曲线上任意一切点为P，因为y，所以k，过P点的切线方程为y(xx0)，切线与两坐标轴的交点为(2x0，0)，显然三角形的面积为|2x0|2a2，为常数，故命题得证