1、和平区2021届高三下学期第一次质量调查（一模）数学试题一选择题1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 某校高三年级全体学生参加体育测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，.若低于60分的人数是90，则该校高三年级的学生人数是（ ）A. 270B. 300C. 330D. 3604. 函数在的图象大致为（ ）A. B. C. D. 5. 设，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 6. 已知正方体的棱长为2，则三棱锥的体积为（ ）A. B. C. 4D.
2、67. 已知抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 8. 设函数，给出下列结论：的最小正周期为；在区间内单调递增；将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象.其中所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 9. 已知，设函数，若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二填空题10. 设i是虚数单位，复数的虚部等于_.11. 在的展开式中，的系数是_.12. 已知直线与圆相交于，两点，则线段长度为_.13. 甲乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次
3、投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是_.14. 已知，则的最小值为_.15. 如图，四边形中，分别是线段，上的点，且，则的最大值为_.三解答题16. 在中，内角，所对的边分别为，.（1）求的值；（2）求；（3）求值.17. 如图，在四棱柱中，已知侧棱底面，侧面是正方形，与交于点，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若点在线段上，且，求二面角的正弦值.18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设经过点的直线不与坐标轴垂直，直线与椭圆相交于点，且线段的中点为，经过坐标原点作射线与椭圆交于点，若四边
4、形为平行四边形，求直线的方程.19. 已知等比数列的前项和为，是等差数列，.（1）求和的通项公式；（2）设的前项和为，.当是奇数时，求的最大值；求证：.20. 已知函数，.（1）当时，直线与相切于点，求的极值，并写出直线的方程；若对任意的都有，求的最大值；（2）若函数有且只有两个不同的零点，求证：.和平区2021届高三下学期第一次质量调查（一模）数学试题 答案版一选择题1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C2. 设，则“”是“”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A3. 某校高三年级全体学生参加体育测试，成绩的频率分
5、布直方图如图，数据的分组依次为：，.若低于60分的人数是90，则该校高三年级的学生人数是（ ）A. 270B. 300C. 330D. 360【答案】B4. 函数在的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D5. 设，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C6. 已知正方体的棱长为2，则三棱锥的体积为（ ）A. B. C. 4D. 6【答案】B7. 已知抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D8. 设函数，给出下列结论：的最小正周期为；在区间内单调递增；将函数的图象向左平移个单位长度，可得到
6、函数的图象.其中所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A9. 已知，设函数，若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D二填空题10. 设i是虚数单位，复数的虚部等于_.【答案】11. 在的展开式中，的系数是_.【答案】-1512. 已知直线与圆相交于，两点，则线段长度为_.【答案】13. 甲乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是_.【答案】14. 已知，则的最小值为_.【答案】215. 如图，四边形中，分别
7、是线段，上的点，且，则的最大值为_.【答案】三解答题16. 在中，内角，所对的边分别为，.（1）求的值；（2）求；（3）求值.【答案】（1）；（2）；（3）.17. 如图，在四棱柱中，已知侧棱底面，侧面是正方形，与交于点，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若点在线段上，且，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设经过点的直线不与坐标轴垂直，直线与椭圆相交于点，且线段的中点为，经过坐标原点作射线与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.19. 已知等比数列的前项和为，是等差数列，.（1）求和的通项公式；（2）设的前项和为，.当是奇数时，求的最大值；求证：.【答案】（1）的通项公式为，的通项公式为；（2）最大值为；证明见解析.20. 已知函数，.（1）当时，直线与相切于点，求的极值，并写出直线的方程；若对任意的都有，求的最大值；（2）若函数有且只有两个不同的零点，求证：.【答案】（1）极小值为，没有极大值，线方程为；最大值为；（2）证明见解析.