1、学案11函数与方程导学目标： 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值自主梳理1函数零点的定义(1)对于函数yf(x) (xD)，把使_成立的实数x叫做函数yf(x) (xD)的零点(2)方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_2函数零点的判定如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数yf(x)在区间_内有零点，即存在c(a，b)，使得_，这个_也就是f(x)0的根我们不妨把这一结论称为零点存在性定理3二次函数yax2bxc
2、 (a0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点_，_无交点零点个数_4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间a，b，验证_，给定精确度；第二步，求区间(a，b)的中点c；第三步，计算_：若_，则c就是函数的零点；若_，则令bc此时零点x0(a，c)；若_，则令ac此时零点x0(c，b)；第四步，判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步自我检测1(2010福建)f(x)的零点个数为 ()A0B1C2D32若函数yf(x)在R上递增，则函数yf(x)的零点()A至少有一个B至多有一个C有且只有一个D可能有无数个3如图所示的函数图
3、象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()ABCD4设f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3x80在x(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.25)0，则方程的根所在的区间是()A(1,1.25)B(1.25,1.5)C(1.5,2)D不能确定5(2011福州模拟)若函数f(x)的零点与g(x)4x2x2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()Af(x)4x1Bf(x)(x1)2Cf(x)ex1Df(x)ln(x0.5)探究点一函数零点的判断例1判断函数yln x2x6的零点个数变式迁移1(2011烟台模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(
4、x)，且当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是()A多于4个B4个C3个D2个探究点二用二分法求方程的近似解例2求方程2x33x30的一个近似解(精确度0.1)变式迁移2(2011淮北模拟)用二分法研究函数f(x)x3ln的零点时，第一次经计算f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_以上横线上应填的内容为()A. B(0,1)fC. D. 探究点三利用函数的零点确定参数例3已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a，如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，求a的取值范围变式迁移3若函数f(x)4xa2xa1在(，)上存在零点，求实数a的取值范围1全面认识
5、深刻理解函数零点：(1)从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数x；(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；(3)若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；(4)若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点2求函数yf(x)的零点的方法：(1)(代数法)求方程f(x)0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f(a)f(b)0表明：用二分法求函
6、数的近似零点都是指变号零点3有关函数零点的重要结论：(1)若连续不间断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点；(2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2010天津)函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是 ()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)2(2011福州质检)已知函数f(x)log2xx，若实数x0是方程f(x)0的解，且0x1x0，则f(x1)的值 ()A恒为负B等于零C恒为正D不小于零3下列函数图象与x轴均有公共点
7、，其中能用二分法求零点的是 ()4函数f(x)(x2)(x5)1有两个零点x1、x2，且x1x2，则 ()Ax12,2x22，x25Cx15D2x155(2011厦门月考)设函数f(x)，g(x)log2x，则函数h(x)f(x)g(x)的零点个数是 ()A4B3C2D1题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)2 006xlog2 006x，则在R上，函数f(x)零点的个数为_7(2011深圳模拟)已知函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是_8(2009山东
8、)若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_三、解答题(共38分)9(12分)已知函数f(x)x3x2.证明：存在x0(0，)，使f(x0)x0.10(12分)已知二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间1,1内至少存在一个实数c，使f(c)0，求实数p的取值范围11(14分)(2011杭州调研)设函数f(x)ax2bxc，且f(1)，3a2c2b，求证：(1)a0且3；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则|x1x2|.答案 自主梳理1(1)f(x)0(2)x轴零点2.f(a)f(b)0(a，
9、b)f(c)0c3.(x1,0)(x2,0)(x1,0)两个一个无4.f(a)f(b)0f(c)f(c)0f(a)f(c)0f(c)f(b)0时，令2ln x0，解得xe2，所以已知函数有两个零点2B3.B4.B5.A课堂活动区例1解题导引判断函数零点个数最常用的方法是令f(x)0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数yf(x)就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧解方法一设f(x)ln x2x6，yln x和y2x6均为增函数，f(x)也是增函数又f(1)026
10、40，f(x)在(1,3)上存在零点又f(x)为增函数，函数在(1,3)上存在唯一零点方法二在同一坐标系画出yln x与y62x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数yln x2x6只有一个零点变式迁移1B由题意知f(x)是偶函数并且周期为2.由f(x)log3|x|0，得f(x)log3|x|，令yf(x)，ylog3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y轴右边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x0，xR的范围内共4个例2解题导引用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，
11、有时也可利用数轴来表示这一过程；在确定方程近似解所在的区间时，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的区间a，b长度尽可能小，且满足f(a)f(b)0；求方程的近似解，所要求的精确度不同得到的结果也不同，精确度，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，直到|ab|时，可停止计算，其结果可以是满足精确度的最后小区间的端点或区间内的任一实数，结果不唯一解设f(x)2x33x3.经计算，f(0)30，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x33x30在(0,1)内有解取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解，如此继续下去，得到方程的一个实数
12、解所在的区间，如下表.(a，b)(a，b)的中点f(0,1)0.5f(0.5)0(0.5,0.75)0.625f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.687 5)0(0.687 5,0.75)|0.687 50.75|0.062 50.1至此，可以看出方程的根落在区间长度小于0.1的区间(0.687 5,0.75)内，可以将区间端点0.687 5作为函数f(x)零点的近似值因此0.687 5是方程2x33x30精确度0.1的一个近似解变式迁移2D由于f(0)0，而f(x)x3ln中的x3及ln在上是增函数，故f(x)在上也是增函数，故f(x)在上存在零点，所以x0，第二
13、次计算应计算0和在数轴上对应的中点x1.例3解若a0，f(x)2x3，显然在1，1上没有零点，所以a0.令48a(3a)8a224a40，解得a.当a时，f(x)0的重根x1,1，当a时，f(x)0的重根x1,1，yf(x)恰有一个零点在1,1上；当f(1)f(1)(a1)(a5)0，即1a5时，yf(x)在1,1上也恰有一个零点当yf(x)在1,1上有两个零点时，则，或，解得a5或a1或a.变式迁移3解方法一(换元)设2xt，则函数f(x)4xa2xa1化为g(t)t2ata1 (t(0，)函数f(x)4xa2xa1在(，)上存在零点，等价于方程t2ata10，有正实数根(1)当方程有两个正
14、实根时，a应满足，解得：1a22；(2)当方程有一正根一负根时，只需t1t2a10，即a1；(3)当方程有一根为0时，a1，此时方程的另一根为1.综上可知a22.方法二令g(t)t2ata1 (t(0，)(1)当函数g(t)在(0，)上存在两个零点时，实数a应满足，解得1a22；(2)当函数g(t)在(0，)上存在一个零点，另一个零点在(，0)时，实数a应满足g(0)a10，解得a1；(3)当函数g(t)的一个零点是0时，g(0)a10，a1，此时可以求得函数g(t)的另一个零点是1.综上(1)(2)(3)知a22.课后练习区1B因为f(1)30，所以f(x)在区间(1,0)上存在零点2A3C
15、能用二分法求零点的函数必须在给定区间a，b上连续不断，并且有f(a)f(b)0.A、B中不存在f(x)1时，函数f(x)x24x3与g(x)log2x的图象有1个交点，可得函数h(x)有1个零点，函数h(x)共有3个零点63解析函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)0，当x0时，f(x)2 006xlog2 006x在区间(0，)内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为3.7x1x2x3解析令x2x0，即2xx，设y2x，yx；令xln x0，即ln xx，设yln x，yx.在同一坐标系内画
16、出y2x，yln x，yx，如图：x10x21，所以x1x21解析设函数yax(a0，且a1)和函数yxa，则函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，就是函数yax(a0，且a1)与函数yxa有两个交点，由图象可知当0a1时，因为函数yax(a1)的图象过点(0,1)，而直线yxa所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a1.9证明令g(x)f(x)x.(2分)g(0)，g()f()，g(0)g()0的否定是：对于区间1,1内的任意一个x都有f(x)0.(4分)此时，即，解得：p或p3.(10分)二次函数f(x)在区间1,1内至少存在一个实数c，使f(c)0的实数p的取值范围是3p2c2b，3a0,2b0，b2c2b，3a3a2b2b.a0，30时，a0，f(0)c0且f(1)0，f(1)0，函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点综合得f(x)在(0,2)内至少有一个零点(10分)(3)x1，x2是函数f(x)的两个零点，则x1，x2是方程ax2bxc0的两根x1x2，x1x2.|x1x2|.(12分)3，|x1x2|.(14分)