1、第2讲等差数列及其前n项和一、填空题1在等差数列an中，a3a737，则a2a4a6a8_.来源解析 a2a4a6a82(a3a7)74.答案 742设等差数列an的前n项和为Sn，若1，则公差为_解析 依题意得S44a1d4a16d，S33a1d3a13d，于是有1，由此解得d6，即公差为6.来源:学,科,网答案 63在等差数列an中，a10，S4S9，则Sn取最大值时，n_.解析因为a10，S4S9，所以a5a6a7a8a90，所以a70，所以从而当n6或7时Sn取最大值答案6或74在等差数列an中，若a1a4a739，a3a6a927，则S9_.解析a1a4a739，a3a6a927，3
2、a439,3a627，a413，a69.a6a42d9134，d2，a5a4d13211，S99a599.答案995设等差数列an的公差为正数，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13_.解析由15a1a2a33a2，得a25.所以又公差d0，所以所以d3.所以a11a12a133a123(a111d)3(233)335105.答案1056已知数列an的前n项和为Sn2n2pn，a711.若akak112，则正整数k的最小值为_解析因为a7S7S62727p2626p26p11，所以p15，Sn2n215n，anSnSn14n17(n2)，当n1时也满足于是由akak18k3
3、012，得k5.又kN*，所以k6，即kmin6.答案67已知数列an满足递推关系式an12an2n1(nN*)，且为等差数列，则的值是_解析由an12an2n1，可得，则，当的值是1时，数列是公差为的等差数列答案18已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，a7a54，a1121，Sk9，则k_.解析 a7a52d4，d2，a1a1110d21201，Skk2k29.又kN*，故k3.答案 39设等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有，则的值为_解析 an，bn为等差数列，.，.答案 10已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，yR，都有f(xy)x
4、f(y)yf(x)成立数列an满足anf(2n)(nN*)，且a12.则数列的通项公式an_.解析由an1f(2n1)2f(2n)2nf(2)2an2n1，得1，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以n，ann2n.答案n2n二、解答题11已知等差数列an的前三项为a1,4,2a，记前n项和为Sn.(1)设Sk2 550，求a和k的值；(2)设bn，求b3b7b11b4n1的值解 (1)由已知得a1a1，a24，a32a，又a1a32a2，(a1)2a8，即a3.a12，公差da2a12.由Skka1d，得2k22 550，即k2k2 5500，解得k50或k51(舍去)a3，k50.(2)
5、由Snna1d得Sn2n2n2n.bnn1，bn是等差数列，则b3b7b11b4n1(31)(71)(111)(4n11).b3b7b11b4n12n22n.12已知数列an的通项公式为an2n，若a3，a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和Sn.解 a38，a532，则b38，b532.设bn的公差为d，则有解得从而bn1612(n1)12n28.所以数列bn的前n项和Sn6n222n.13在等差数列an中，公差d0，前n项和为Sn，a2a345，a1a518.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(nN*)，是否存在一个非零常数c，使数列bn也为等差数列
6、？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由解(1)由题设，知an是等差数列，且公差d0，则由得解得an4n3(nN*)(2)由bn，c0，可令c，得到bn2n.bn1bn2(n1)2n2(nN*)，数列bn是公差为2的等差数列即存在一个非零常数c，使数列bn也为等差数列14在数列an中，a11，an11，bn，其中nN*.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)设cn() bn，试问数列cn中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由(1)证明因为bn1bn2(nN*)，且b12所以，数列bn以2为首项，2为公差的是等差数列(2)解由(1)得cn()bn2n，假设cn中存在三项cm，cn，cp(其中mnp，m，n，pN*)成等差数列，则22n2m2p，所以2n12m2p,2nm112pm.因为mnp，m，n，pN*，所以nm1，pmN*，从而2nm1为偶数，12pm为奇数，所以2nm1与12pm不可能相等，所以数列cn中不存在可以构成等差数列的三项.