1、江西省八校2020-2021学年高二年级下学期第四次联考文科数学试卷分值：150分 时间：120分钟 考试日期：2021.5.8上午8:00-10:00一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合，则的一个充分不必要条件是（ ）ABCD2若复数，为虚数单位，则（ ）ABCD3已知实数，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4若某群体中的成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为（ ）ABCD5函数的图象的一条对称轴为，则的最小值为（ ）ABCD
2、6已知等差数列的前项和为，且满足，则的值为（ ）ABCD7如图，网格纸上小正方形边长为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体表面积为（ ）ABCD8函数的部分图象大致为（ ）ABCD9如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合已知某类果蔬的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（，为常数），若该果蔬在的保鲜时间为小时，在的保鲜时间为小时，且该果蔬所需物流时间为天，则物流过程中果蔬的储藏温度（假设物流过程中恒温）最高不能超过（ ）ABCD10已知，分别是双曲线的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为（ ）ABCD11已知三棱
3、锥满足：，是边长为的等边三角形三棱锥的外接球的球心满足：，则该三棱锥的体积（ ）ABCD12已知函数是定义域为的奇函数，且当时，函数，若关于的函数恰有个零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为 14在数列中，已知， 15已知边长为的正的三个顶点都在球的表面上，且与平面所成的角为，则球的表面积为 16点在曲线上移动，若曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共70分；其中第17题10分，第18-22题每题12分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在中，角，的对边分别
4、为，已知（1）若，求的值；（2）若角是钝角，且，求的值18已知数列中，前项和为，若（，且）（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和19如图所示，三棱柱中，（1）求证：；（2）若，问为何值时，三棱柱体积最大，并求此最大值20近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年（天）内天的空气中指数的检测数据，统计结果如下：指数空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数记某企业每天由空气污染造成的经济损失为（单位：元），指数为当在区间内时对企业没有造成经济损失；当在区间时对企业造成的经济损失成直线模型（当指数为时造成的经济损失为元，当指数为时，造成的经济损失为元）；当指数大于时造成的
5、经济损失为元（1）试写出的表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于元且不超过元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有天是在供暖季，其中有天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计附：，其中21已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点的直线（与轴不重合）与椭圆交于，两点是否存在一定点，使得轴上的任意一点（异于点，）到直线，的距离相等？若存在，求出的值；若不存在，说明理由22已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若在上恒成立，求整数的最
6、大值江西省八校2020-2021学年高二年级下学期第四次联考文科数学答案一、选择题题号123456789101112答案DBABCBBABACC13 14 15 1617答案B根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥，正方体的棱长为，为棱的中点底面的面积为：，侧面的面积为：，侧面的面积为：，侧面的面积为：，侧面的面积为：，故表面积10答案A双曲线中，圆半径为，（当且仅当，共线且在之间时取等号）当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号的最小值是11答案C已知三棱锥满足：，是边长为的等边三角形，所以，三棱锥为正三棱锥，由于正三棱锥的外接球的球心满足：，则为正的重心，即为正中心，所以，平面，由正
7、弦定理可得，因此，12答案C，或，时，时，递减，时，递增，的极小值为，又，因此无解此时要有两解，则，又是奇函数，时，仍然无解，要有两解，则综上有15【解析】设正的外接圆圆心为，易知，在中，故球的表面积为16切点，因为，所以，代入切点横坐标，得到切线斜率，所以，因为为切线的倾斜角，所以，所以得17【解】（1）由正弦定理得，所以，所以，即，所以，由正弦定理得，所以（2）由（1）知，因为，所以，因为是钝角，所以，所以，所以，所以18【答案】（1）数列中，（，且）又（，且），可得：，则数列是以为首项，公差为的等差数列，则，则，当时，也符合该式，则（2）由（1）的结论得，则；则，两式相减，可得，19解：
8、（1）证明：由知又，故平面，所以又，所以（2）过作的垂线，垂足为，连接由，得平面，故又，所以，得设在中，从而三棱柱的体积因为，所以当，即时，体积取到最大值20解：（1）依题意，可得（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于元且不超过元”为事件，由，得，频数为，（3）根据题中数据得到如下列联表：非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计的观测值，所以有的把握认为空气重度污染与供暖有关21【详解】由椭圆的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形，得，又，则设椭圆又椭圆过点，所以，解得，所以椭圆的方程为：（2）当直线的斜率不存在时，即，由椭圆对称性可知，轴上的任意一点（异于点，）到直线，的距离相等
9、当直线的斜率存在时，设直线的方程，联立方程得：，化简整理得设，则，由题意知，轴平分，则直线，的倾斜角互补，即，则（当或时不符合题意）将，代入上式可得所以，化简整理得即，得，所以综上，存在点，使得轴上的任意一点（异于点，）到直线，的距离相等22（1）解：若，函数的定义域为，得设，则故在上单调递减，且，故当时，即，单调递增；当时，即，单调递减综上，的单调递增区间为，单调递减区间为（2）解法1：原不等式等价于，即在上恒成立设，则，设，则所以在上单调递增又，根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为，则，且，即当时，即，故在上单调递减；当时，即，故在上单调递增；所以，由题意可知，又，得，因为所以整数的最大值为解法2：（2）原不等式等价于在上恒成立设，则（）当时，在上恒成立，所以在上单调递增故在上恒成立（）当时，令，得；当时，故在上单调递减；当时，故在上单调递增要在上恒成立，只需令，则，所以在上单调递减又，所以在上存在唯一的零点且，从而的解为因为，所以整数的最大值为