1、1归纳与类比11归纳推理1归纳推理的含义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性将这种推理方式称为归纳推理利用归纳推理得出的结论不一定是正确的2归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)统计学中，从总体抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理()(2)归纳推理得到的结论正确()(3)对于数列an，an(n25n5)2有a1a2a3a41，所以an1.()答案：(1)(2)(3) 将奇数1，3，5，7，9，11，进行如下分组：1，3，5，7，9，11，试观察每组内各数之和，则第n组内各数的和等于
2、()An2Bn3Cn4 Dn(n1)解析：选B.每组内各数的和分别为1，23，33，显然B正确 如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如此继续下去，得图(3)试用n表示出第(n)个图形的边数an_.解析：观察图形可知，a13，a212，a348，故an是首项为3，公比为4的等比数列，故an34n1.答案：34n1归纳推理的四个特点(1)前提：几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包括的范围(2)结论：具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明
3、的工具(3)步骤：先搜集一定的事实资料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行(4)作用：具有创造性的推理，通过归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段 数、式中的归纳推理已知数列an满足a11，an12an1(nN)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想数列an的通项公式【解】(1)当n1时，a11，由an12an1，得a23，a37，a415，a531.(2)由a11211，a23221，a37231，a415241，a531251，可归纳猜想出an2n1(nN)若把本例中an1与an的关系式改为“an1(n
4、N)”结果又如何？解：(1)a2，a3，a4 ，a5.(2)由a2，a3，a4，a5，可归纳猜想出an(nN)归纳推理的一般步骤归纳推理的思维过程大致是：实验、观察概括、推广猜测一般性结论该过程包括两个步骤(1)通过观察个别对象发现某些相同性质(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想) (1)给出下面的等式：19211，1293111，123941 111，1 2349511 111，12 34596111 111，猜想123 45697等于()A1 111 110B1 111 111C1 111 112 D1 111 113(2)观察下列式子：11，1，12，则仿照上面的规
5、律，可猜想此类不等式的一般形式为_解析：(1)由几组数据观察可知，等号左边变化的依次为1和2，12和3，123和4，1 234和5，12 345和6，等号右边依次为2个1，3个1，4个1，5个1，6个1，因此猜测当等号左边为123 456和7时，对应等号右边为7个1.(2)观察式子可得规律：不等号的左侧是1，共(2n11)项的和；不等号的右侧是(nN)故猜想此类不等式的一般形式为1(nN)答案：(1)B(2)1(nN)几何图形中的归纳推理如图，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，同时将圆分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画
6、四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分那么：(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？(2)猜想：圆内两两相交的n(n2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？【解】设圆内两两相交的n条线段彼此最多分割成的线段为f(n)条，将圆最多分割为g(n)部分(1)f(1)112，g(1)2；f(2)422，g(2)4；f(3)932，g(3)7；f(4)1642，g(4)11；所以n5时，f(5)25，g(5)16.(2)根据题意猜测：圆内两两相交的n(n2)条线段，彼此最多分割为f(n)n2条线段，将圆最多分割为g(n)部分
7、解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化 2.(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有阴影的正六边形的个数是()A26B31C32 D36(2)根据下图中线段的排列规则，试猜想第个图形中线段的条数为_解析：(1)有阴影的正六边形个数如下表：图案123个数61116由表可以看出有阴影的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有阴影的正六边形的
8、个数是65(61)31.(2)分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形到中线段的条数分别为1，5，13，29，因为1223，5233，13243，29253，因此可猜想第个图形中线段的条数应为2813509.答案：(1)B(2)509易错警示对归纳推理的特征掌握不准确致误对任意正整数n，猜想2n与n2的大小关系是_【解析】当n1时，2112；当n2时，2222；当n3时，2352；当n6时，2662；所以可以猜想当n3时，2nn2；当nN且n3时，2nn2.【答案】当n3时，2nn2；当nN且n3时，2nn2本题易错解为n3时2nn2，错因是只列出了n1，2，3时的情况，列出的
9、数据太少，没能得到准确的猜想防范措施：在进行归纳推理时，为避免出现以偏概全的情形，对于特殊项要多验证几项，再作猜想，以掌握更多归纳特征，同时要根据变化规律和趋势作判断.1在数列an中，已知a13，a26，且an2an1an，则a33为()A3B3C6 D6解析：选A.由题意可得，a13，a26，a33，a43，a56，a63，a73，a86，归纳出每6项一个循环，则a33a33.2观察下列数的特点：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，第100项是()A10 B13C14 D100解析：选C.由规律可得：数字相同的数的个数依次为1，2，3，4，n，由100，得13n14，且nN，当n13时，
10、共有91项，则第92项至第105项均为14，所以应选C.3经计算发现下列正确的不等式：2，2，0，b0，ab20时，有0，b0，ab20，则1时，f(2)f(1)613，f(3)f(2)623，f(4)f(3)633，f(n)f(n1)6(n1)3，将上面(n1)个式子相加，得：f(n)f(1)6123(n1)3(n1)63(n1)3n23，所以f(n)3n2，当n1时，f(1)3，符合上式，所以f(n)3n2.10已知f(x)，分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论解：f(x)，所以f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3
11、).归纳猜想一般性结论：f(x)f(x1).证明如下：f(x)f(x1).B能力提升11观察下列数表规律则数2 015的箭头方向是()解析：选D.因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列，若2 015在上行，则2 0153(n1)4n504N.故2 015在上行，又因为在上行奇数的箭头为an ，故选D.12已知数对如下：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，则第60个数对是_解析：由前面的几个数对不难发现，数对中两数之和为2的有1个，为3的有2个，为4的有3个，为11的有10个，则根据数对
12、规律可推出第56个数对为(1，11)，往下的数对依次为(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，(6，6)，.所以第60个数对是(5，7)答案：(5，7)13观察下面两式：(1)tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 101；(2)tan 5tan 10tan 10tan 75tan 75tan 51.分析上面两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论解：猜想：如果，都不为，则tan tan tan tan tan tan 1.证明如下：因为，所以，所以tan()tan，所以tan tan tan tan tan tan tan tan (tan
13、 tan )tan tan tan tan()(1tan tan )tan tan tan (1tan tan )tan tan tan 1tan tan 1.14(选做题)如图所示为m行m1列的士兵方阵(mN，m2)(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2，3，4，5，时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为an，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知an9 900，问an是数列第几项？解：(1)当m2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m3，4，5，时的士兵人数分别为12，20，30，.故所求数列为6，12，20，30，.(2)因为a123，a234，a345，所以猜想an(n1)(n2)，nN.(3)a101112132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n1)(n2)9 900，所以n98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列
