1、第4讲二次函数与幂函数一、填空题1函数yax2bx与ylog|x(ab0，|a|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是_解析 令ax2bx0得x0或x，由抛物线的图象可知1，ylog|x应为单调增函数，错由抛物线的图象可知，01，ylog|x应为单调减函数，对答案 2已知点在幂函数yf(x)的图象上，点在幂函数yg(x)的图象上，则f(2)g(1)_.解析设f(x)xm，g(x)xn，则由2m得m1，由(2)n，得n2，所以f(2)g(1)21(1)2.答案3当a_时，函数f(x)x22axa的定义域为1,1，值域为2,2解析f(x)(xa)2aa2.当a1时，f(x)在1,1上为增函数，所以a
2、1(舍去)；当1a0时，a1；当0a1时，a不存在；当a1时，f(x)在1,1上为减函数，所以a不存在综上可得a1.答案14二次函数yf(x)满足f(3x)f(3x)(xR)且f(x)0有两个实根x1，x2，则x1x2_.解析 由f(3x)f(3x)，知函数yf(x)的图象关于直线x3对称，应有3x1x26.答案 65f(x)x22axa2b，当f(x)在区间(，1上为减函数时，a的取值范围为_；若xR，恒有f(x)0，则b的取值范围为_；若f(x)为偶函数，则a_.解析 f(x)在(，1上递减，则xa1，即a1；若xR，f(x)0恒成立，则0，故b0；若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)，
3、故a0.答案 a1b006. 某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：万元)与营运年数x(xN*)为二次函数的关系如图所示，则每辆客车营运_年，使其营运年平均利润最大解析由题设ya(x6)211，过点(4,7)，得a1.y(x6)211，则每年平均利润为121012，当且仅当x5时，取“”答案57已知函数f(x)x21的定义域为a，b(ab)，值域为1,5，则在平面直角坐标系内点(a，b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形面积为_解析由题意，得或所以动点(a，b)的轨迹与两坐标轴围成的图形是边长为2的正方形，面积为4.答案48已知二次函数yf(x)的
4、顶点坐标为，且方程f(x)0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是_解析设二次函数的解析式为：f(x)a249(a0)，方程a2490的两个根分别为x1，x2，则|x1x2|2 7.a4，故f(x)4x212x40.答案f(x)4x212x409若函数f(x)，则不等式f(x)的解集为_解析 函数f(x)和函数f(x)的图象如图所示，从图象上可以看出不等式的解集是两个无限区间当x0时，是区间(，3，当x0时，是区间1，)，故不等式f(x)的解集为(，31，)来源:Z.xx.k.Com答案 (，31，)10已知函数f(x)x(01，则f(x)1；若0x1，则0f(x)0时，若f(x1)f(
5、x2)，则x1x2；若0x1x2，则.其中正确的命题序号是_解析 作出yx(01)在第一象限内的图象，如图所示，可判定正确，又表示图象上的点与原点连线的斜率，当0x1.故错答案 二、解答题11若二次函数f(x)ax2bxc(a0)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间1,1上，不等式f(x)2xm恒成立，求实数m的取值范围解 (1)由f(0)1得，c1，f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2xa(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x，.因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，要使
6、此不等式在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m10得，m0的解集是(0,4)，且f(x)在区间1,5上的最大值是12，求f(x)的解析式解 设f(x)ax2bxc，由f(x)0的解集是(0,4)可知f(0)f(4)0，且二次函数的图象开口向下，对称轴方程为x2，再由f(x)在区间1,5上的最大值是12可知f(2)12.即解得f(x)3x212x.13设二次函数f(x)ax2bxc(a0)在区间2,2上的最大值、最小值分别是M，m，集合Ax|f(x)x(1)若A1,2，且f(0)2，求M
7、和m的值；(2)若A1，且a1，记g(a)Mm，求g(a)的最小值解(1)由f(0)2可知c2.又A1,2，故1,2是方程ax2(b1)x20的两实根所以解得a1，b2.所以f(x)x22x2(x1)21，x2,2当x1时，f(x)minf(1)1，即m1.当x2时，f(x)maxf(2)10，即M10.(2)由题意知，方程ax2(b1)xc0有两相等实根x1.所以即所以f(x)ax2(12a)xa，x2,2，其对称轴方程为x1.又a1，故1.所以Mf(2)9a2.mf1.g(a)Mm9a1.又g(a)在区间1，)上单调递增，所以当a1时，g(a)min.14已知幂函数f(x)x(m2m)1(mN*)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围解 (1)m2mm(m1)(mN*)，而m与m1中必有一个为偶数m(m1)为偶数，函数f(x)x(m2m)1(mN*)的定义域为0，)，并且在定义域上为增函数(2)函数f(x)经过点(2，)，2(m2m)1，即22(m2m)1，m2m2，解得：m1或m2.又mN*，m1.由f(2a)f(a1)得，解得1a.a的取值范围为.