1、2020年高考热身训练数学试题本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解对数不等式得集合，再由交
2、集定义求解【详解】由题意，故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，考查对数函数的性质，属于基础题2. 若双曲线（，）的一条渐近线过点，则其离心率为（ ）A. 3B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线渐近线过得到a、b数量关系，结合双曲线各参数的关系及离心率求值【详解】由双曲线公式，其渐近线为由，知：过点的渐近线为，即故选：B【点睛】本题考查了双曲线，结合双曲线的几何性质及各参数的关系求离心率3. 已知函数（），记，.则m，n，p的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先得出，再由函数的单调性可得选项.【详解】因为，所以，又，所以单调递减，所以，故选：
3、C.【点睛】本题考查指数式，对数式比较大小，以及由函数的单调性比较大小，属于中档题.4. 设i为虚数单位，“复数是纯虚数“是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先化简z，求出a，再判断即可.【详解】复数是纯虚数，则，是的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本小题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.5. 公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体得到的（如图所示）.设石凳的体积为，正方体的体积为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答
4、案】C【解析】【分析】设正方体的棱长为2a，求出正方体的体积，再由正方体的体积减去8个三棱锥的体积得石凳的体积，则答案可求【详解】设正方体的棱长为2a，则正方体的体积由题意可得，石凳的体积为V18a3-故选：C【点睛】本题考查正方体与棱锥体积的求法，属于基础题6. 函数的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据函数为奇函数排除D,再根据函数在上的符号排除A,B，进而得答案.【详解】解：函数的定义域为，所以函数为奇函数，故排除D，因为，在上成立，在上成立，故函数在上有，在上有，所以排除A,B，故C正确.故选：C.【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象问题，考查用
5、解析式研究函数的性质，是中档题.7. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用（万元）销售额（万元）根据上表可得回归直线方程为，下列说法正确的是（ ）A. 回归直线必经过样本点、B. 这组数据的样本中心点未必在回归直线上C. 回归系数的含义是广告费用每增加万元，销售额实际增加万元D. 据此模型预报广告费用为万元时销售额为万元【答案】D【解析】【分析】计算出样本中心点的坐标，代入回归直线方程，求出的值，进而可判断各选项的正误.【详解】由表格中的数据可得，将点的坐标代入回归直线方程得，解得，所以回归直线方程为.对于A选项，当时，A选项错误；对于B选项，这组数据的样本中心点必在回归直线上，
6、B选项错误；对于C选项，回归系数的含义是广告费用每增加万元，销售额约增加万元，C选项错误；对于D选项，当时，所以，据此模型预报广告费用为万元时销售额为万元，D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查回归直线方程的应用，要注意回归直线过样本的中心点这一结论的应用，考查计算能力，属于基础题.8. 已知等差数列，公差不为0，若函数对任意自变量x都有恒成立，函数在上单调，若，则的前500项的和为（ ）A. 1010B. 1000C. 2000D. 2020【答案】B【解析】【分析】由已知得函数关于对称，因为，则，再由等差数列性质求得前500项的和.【详解】对任意自变量x都成立，函数对称轴为因为，故选：B【
7、点睛】本题考查函数对称性及利用等差数列性质求和.属于基础题.函数 对任意自变量x都有，则函数对称轴为， 为等差数列，若，则 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 如图是2018年10月2019年10月中国钢铁同比增速及日均产量统计图，则下列陈述中正确的是（ ）A. 2019年6月同比增速最大B. 2019年3月5月同比增速平稳C. 2019年10月钢材总产量约10264万吨D. 2019年8月钢材总产量比2019年9月钢材总产量低【答案】ABC【解析】【分析】从条形统计图和折线图观
8、察产量、增速等的变化规律，判断各选项【详解】从折线图知2019年6月同比增速最大，A正确；2019年3月5月同比增速平稳，B正确；从条形图知2019年10月钢材总产量为331.13110264.1万吨，C正确；2019年8月钢材总产量为万吨2019年9月钢材总产量为万吨，所以2019年8月钢材总产量超过2019年9月钢材总产量，D错故选：ABC【点睛】本题考查统计图表，考查条形图与折线图，考查学生的数据处理能力，属于基础题10. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边上的一点为（），则下列各式一定为负值的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】由终边上一点的坐
9、标，根据m与0的大小关系分类讨论坐标所在象限，应用同角三角函数的坐标表示，可得正、余弦及正切函数值，进而判断选项的正误【详解】由题意知：(1)若m 0时，有(2)若m 0时，有综上，知：一定为负值的有、故答案为：AB【点睛】本题考查了同角三角函数，根据已知角终边上一点结合分类讨论的方法确定各函数值、应用二倍角余弦公式求值，最后判断由它们组成的三角函数的符号11. 一圆柱形封闭容器内有一个棱长为2的正四面体，若该正四面体可以绕其中心在容器内任意转动，则容器体积可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】先求出正四面体的外接球的半径，由该正四面体可以绕其中心在容器内任意转动，则
10、需该正四面体的外接球在圆柱形的封闭容器内即可，计算圆柱形封闭容器的最小体积，可得出选项.【详解】由已知得：要使该正四面体可以绕其中心在容器内任意转动，则需该正四面体的外接球在圆柱形的封闭容器内即可，作出正四面体与其外接球的位置关系如下图所示，是球的直径，与面交于点，连接，则由正弦定理得，解得，又，所以由勾股定理得，所以，即，所以，所以外接球半径为，所以圆柱形封闭容器的体积，又因为，所以容器体积可以为，.故选：BD【点睛】本题考查正四面体的外接球的体积计算，圆柱的体积计算，属于中档题.12. 在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点（
11、其中A在B的上方），过线段的中点M且与x轴平行的直线依次交直线，l于点P，Q，N.则（ ）A. B. 若P，Q是线段的三等分点，则直线的斜率为C. 若P，Q不是线段的三等分点，则一定有D. 若P，Q不是线段的三等分点，则一定有【答案】AB【解析】【分析】设直线方程为，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得，从而可表示出点坐标，然后求出点坐标，判断各选项【详解】抛物线的焦点为，设直线方程为，由得，直线方程为，共线，同理，即，A正确；若P，Q不是线段的三等分点，则，又，解得（），B正确；由得，又，当时，C错；由图可知，而，只要，就有，D错故选：AB【点睛】本题考查抛物线的焦点弦的性质，通过确定直线与
12、抛物线中的线段长考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数，则函数在处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】先求函数在处的导数，再求函数值，利用点斜式求出方程即可.【详解】由已知得且，则切线方程为，即.故答案：【点睛】本题考查在曲线上某点处的切线方程的求法，属于简单题.14. 今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果, 功不可没.“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方,若某医生从“三药三方”中随机选出2种,则恰好选出1药1方的概率是_.【答案】【解析】
13、【分析】根据组合的方法结合古典概型的概率公式求解即可.【详解】从“三药三方”中随机选出2种共个基本事件,其中1药1方的事件数有个.故概率P.故答案为：【点睛】本题主要考查了利用组合的方法解决随机事件的概率问题,属于基础题.15. 如图,ABC为等边三角形,分别延长BA,CB,AC到点D,E,F,使得ADBECF若,且DE,则的值是_【答案】【解析】【分析】设ADx,再在BDE中根据余弦定理求解得出,再利用数量积公式求解即可.【详解】易知DEF也为等边三角形,设ADx,则BD3x,BDE中,由余弦定理得：,解得x1,故BD3,则故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量数量积以及余弦定理的运用,属
14、于基础题.16. 某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为，的两个同心圆的圆心，等腰的顶点A在外圆上，底边的两个端点都在内圆上，点O，A在直线的同侧.若线段与劣弧所围成的弓形面积为，与的面积之和为，设.当时，_；经研究发现当的值最大时，纪念章最美观，当纪念章最美观时，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】结合弓形面积公式及三角形的面积公式分别求出S2，S1，即可求解；利用导数研究单调性可求最值【详解】由题意可知，BOC2（0，），故，S1sincos，S2sin2sin22sin，当时，S1，S2，故S2S1（cm2），S2S12sin+sin2，令f（）2sin+sin
15、2，则，令0可得，cos（舍负），记cos0，当（0，0）时，0，函数单调递增，当时，0，函数单调递减，故当0时，即cos时，f（）取得最大值，即S2S1取得最大值故答案为：；.【点睛】本题主要考查了利用导数求解与三角有关的函数的最值问题，体现了转化思想的应用，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 2019年底某汽车店为跟踪调查该店售后服务部的当年的服务质量，兑现奖惩，从购买该品牌汽车的顾客中随机抽出100位顾客对售后服务部的服务质量打分（5分制），得到如图所示的柱状图.（1）从样本中任意选取3名顾客，求恰好有1名顾客的打分不低于4分的
16、概率；（2）若以这100位顾客打分的频率作为概率，在该店随机选取2名顾客进行打分（顾客打分之间相互独立），记X表示两人打分之差的绝对值，求X的分布列和.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）从样本中选3人，共有种不同选法，恰好有1名顾客的打分不低于4分选法有，再求概率即可；（2）根据题意，每名顾客打分为2,3,4,5分的概率分别为，再写出X的可能取值为0，1，2，3，根据独立事件的概率计算求解即可.【详解】（1）设“从样本中任意选取3名顾客，恰好有一名顾客的打分不低于4分”为事件A，从样本中选3人，共有种不同选法，恰好有1名顾客的打分不低于4分选法有，则（2）根据题意，每名顾
17、客打分为2,3,4,5分的概率分别为，X的可能取值为0，1，2，3；则.，.，X的分布列如下：X0123P0.260.420.24008的数学期望为.【点睛】本题考查概率的计算，独立事件的概率分布列等，考查分析解决问题的能力，是中档题.18. 如图，在中，点D为内一点，满足，且.（1）求的值；（2）求.【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）利用已知余弦关系得出，即，然后在和中应用正弦定理后两式相除可得；（2）分别求出和，利用这两个余弦是相反数求得长，即得【详解】（1）设，因为，所以，所以.又，A为三角形的内角，所以，从而.在中，所以同理，所以，所以.（2）在中，同理，由（1）可得，解
18、得，所以.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力19. 如图，在平面五边形中，是梯形，是等边三角形.现将沿折起，连接、得如图的几何体.（1）若点是的中点，求证：平面；（2）若，在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在；.【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可得出结论；（2）取中点，连接、，推导出、两两垂直，然后以点为原点，分别以射线、为、轴正半轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法结合二面角的余弦值为可求得的值，进而可求得的
19、值，由此可得出结论.【详解】（1）取中点，连接、，则是的中位线，且，且，且，则四边形是平行四边形，又平面，平面，平面；（2）取中点，连接、，易得，在中，由已知，.，所以，、两两垂直，以为原点，分别以射线、为、轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系，则、，则，假设在棱上存在点满足题意，设，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，得平面的一个法向量，又平面的一个法向量，由已知，整理得，解得（舍去），因此，在棱上存在点，使得二面角的余弦值为，且.【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用二面角的余弦值解决动点问题，考查计算能力与推理能力，属于中等题.20. 已知是各项均为正数的无穷数列，数列满足（）
20、，其中常数为正整数.（1）设数列前n项的积，当时，求数列的通项公式；（2）若是首项为，公差为整数的等差数列，且，求数列的前项的和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根据前项积与通项公式的关系求解（），再验证时满足，进而得（），再求时，；（2）先根据题意求得，再结合和为等差数列分析得，故，再用裂项求和法求和即可得答案.【详解】解：（1）因为，所以（），两式相除，可得（），当时，符合上式，所以（），当时，；（2）因为，且，所以，所以，因为是各项均为正数的无穷数列，是首项为1，公差d为整数的等差数列，所以d，k均为正整数，所以，所以，所以，解得，所以，即.所以，即，解得，所以，则，记的
21、前n项和为，则所以；【点睛】本题考查前项和的积与通项公式的关系，裂项求和法等，考查分析问题与解决问题的能力，数学运算能力，是中档题.21. 已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交于A、B两点，点P满足（）证明：点P在C上；（）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上【答案】（）见解析（）见解析【解析】【分析】（）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可（）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后
22、将第四点坐标代入验证即可【详解】证明：（）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：，则直线AB的方程为：yx+1 联立方程可得4x22x10，则x1+x2，x1x2则y1+y2（x1+x2）+21设P（p1，p2），则有：（x1，y1），（x2，y2），（p1，p2）；（x1+x2，y1+y2）（，1）；（p1，p2）（）（，1）p的坐标为（，1）代入方程成立，所以点P在C上（）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上设线段AB的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y（x），即yx；P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的
23、中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：yx；联立方程组，解之得：x，y的交点就是圆心O1（，），r2|O1P|2（）2+（1）2故过PQ两点圆的方程为：（x）2+（y）2，把yx+1 代入，有x1+x2，y1+y21A，B也是在圆上的A、P、B、Q四点在同一圆上【点睛】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键22. 已知函数满足，（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间；（3）当且时，求证：【答案】（1）；（2）当时，函数的单调递增区间为，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）详见解析
24、.【解析】【分析】（1）由已知中，可得，进而可得，进而得到函数的解析式； （2）由（1）得：，即，对a进行分类讨论，可得不同情况下函数的单调区间；（3）令，然后利用导数研究各自单调性，结合单调性分类去掉和的绝对值，再构造差函数，利用导数证明大小.【详解】（1），即，又，所以，所以；（2），当时，恒成立，函数在R上单调递增； 当时，由得，当时，单调递减，当时，单调递增，综上，当时，函数的单调递增区间为，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）令，当且时，由得在上单调递减，所以当时，当时，而，所以在上单调递增，则在上单调递增，当时，所以在上单调递减，当时，所以，所以递减，综上， 【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查分析和转化能力，属于难题.