1、圆锥曲线中存在点关于直线对称问题对于此类问题有第一种通法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为1）和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的产生，下面举例说明：例1：已知椭圆C：3x24y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4xm，椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.解：设存在两点A（x1,y1）、B(x2,y2)关于l对称，中点为C（x0,y0），则AB所在直线为y=xb.与椭圆联立得：x22bx4b212=0， x0= = ,y0= = = . C在y=4xm上,= 4m, b= .又 =4b24 (4b212)=4b252b213120,故 b2
2、,即 ，解得：m.由此解题过程不难归纳出步骤如下：1假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程.2联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标.3把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式.4利用联立后方程的求出其中需求参数的范围.利用此通法、步骤可解决以下类似问题：1已知双曲线x2 =1,双曲线存在关于直线l：y=k x4的对称点，求k的取值范围.注：对于此类求斜率k范围要考虑k=0和k0，因为要用到 .2k为何值时，抛物线y2=x上总存在两点关于直线l：y=k（x1）1对称.在此通法体现的解题思路上总结得到下面的第二种通法，不过首先说明以下两个
3、问题：1o弦中点位置问题椭圆 双曲线 抛物线弦中点在内部 弦中点在（交点在同一支上） 弦中点在抛物线“内部”或（交点不在同一支上）2o范围问题椭圆 =1 双曲线 抛物线M（x0，y0）为中点，则 M（x0，y0）为中点，则 M（x0，y0）为中点，则 1或 0 y22px0) (焦点在x轴上) y22px0) 1或 0 x22py0) （焦点在y轴上） x22py0)在此基础上用第二种通法来解例1： 已知椭圆C：3x24y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4xm，椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.解：设存在两点A（x1,y1）、B(x2,y2)关于l对称，中点为C（x,y），则3x124y12=12,3x224y22=12, 得 = = = , y=3x.联立y=4xm,解的x=m,y=3m,M在椭圆内部，1,即m0，即 40，a.这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中点关系求出两根之和、两根之积，构造方程，利用求出参数范围. 当然，不管是两种通法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两点关于直线对称所产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.版权所有：中华资源库
