1、第3讲 二项式定理一、填空题1已知展开式的第4项等于5，则x等于_解析 由T4Cx45得x.答案 2在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是_答案 73在6的二项展开式中，x2的系数为_解析在6的展开式中，第r1项为Tr1C6rrC6rx3r(2)r，当r1时为含x2的项，其系数是C5(2).答案4已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是_解析由题意知C(a)41 120，解得a2，令x1，得展开式各项系数和为(1a)81或38.答案1或385设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若MN240，则展开式中x的系数为_解析由已
2、知条件4n2n240，解得n4，Tr1C(5x)4rr(1)r54rCx4，令41，得r2，T3150x.答案1506 的展开式中x2的系数为70，则a_答案 17若(2x3)3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，则a0a12a23a3_答案 58 (1x)(1x)2(1x)3(1x)6的展开式中，含x2项的系数为_解析 含x2项的系数为CCCCCCC35.答案 359设二项式6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B4A，则a的值是_解析对于Tr1Cx6rrC(a)rx6r，BC(a)4，AC(a)2.B4A，a0，a2.答案210 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开
3、式中常数项为_解析令x1，由已知条件1a2，则a1.5C(2x)5C(2x)4C(2x)32C(2x)23C(2x)4532x580x380x4010，则常数项为40.答案40二、解答题11已知n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项解(1)CC2C，n221n980.n7或n14，当n7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.T4的系数为C423，T5的系数为C32470，当n14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.T8的系数为C7273 432.(2)CCC7
4、9，n2n1560.n12或n13(舍去)设Tk1项的系数最大，1212(14x)12，9.4k10.4，k10.展开式中系数最大的项为T11，T11C2210x1016 896x10.12在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和(1)试用组合数表示这个一般规律；(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和；(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是345，并证明你的结论第0行1第1行 11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561解(1)CCC.(2)12222n2n11.(3)设C
5、CC345，由，得，即3n7r30，由，得，即4n9r50解联立方程组得，n62，r27，即CCC345.13把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i行共有2i1个正整数，设aij(i，jN*)表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数(1)求a69的值；(2)用i，j表示aij；(3)记Ana11a22a33ann(nN*)，求证：当n4时，Ann2C.123456789101112131415(1)解a6925(91)40.(2)解数表中前(i1)行共有12222i2(2i11)个数，则第i行的第一个数是2i1，aij2i1j1.(3)证明aij2i1
6、j1，则ann2n1n1(nN*)，An(12222n1)012(n1)2n1，当n4时，An(11)n1CCCC1n2C.14从函数角度看，组合数C可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是r|rN，rn(1)证明：f(r)f(r1)；(2)利用(1)的结论，证明：当n为偶数时，(ab)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大证明(1)f(r)C，又f(r1)C，f(r1).则f(r)f(r1)成立(2)设n2k，f(r)f(r1)，f(r1)0，.令f(r)f(r1)，1.则rk(等号不成立)r1,2，k时，f(r)f(r1)成立反之，当rk1，k2，2k时，f(r)f(r1)成立f(k)C最大即(ab)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大.