1、第十章 圆锥曲线与方程第1讲 椭圆 一、填空题1已知椭圆y21的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且0，则点M到y轴的距离为_解析 由题意，得F1(，0)，F2(，0)设M(x，y)，则(x，y)(x，y)0，整理得x2y23.又因为点M在椭圆上，故y21，即y21.来源:学_科_网将代入，得x22，解得x.故点M到y轴的距离为.答案 2方程为1(ab0)的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个端点，若32，则该椭圆的离心率为_解析 设点D(0，b)，则(c，b)，(a，b)，(c，b)，由32得3ca2c，即a5c，故e.答案 3如图，已知点P是以F1、F
2、2为焦点的椭圆1(ab0)上一点，若PF1PF2，tanPF1F2，则此椭圆的离心率是_解析 由题得PF1F2为直角三角形，设PF1m，tanPF1F2，PF2，F1F2m，e.答案 4如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且OF，若MFOA，则椭圆的方程为_解析 设所求的椭圆方程为1(ab0)，则A(a,0)，B(0，b)，C，F(，0)依题意，得，FM的直线方程是x，所以M.由于O，C，M三点共线，所以，即a222，所以a24，b22.所求方程是1.答案 15已知F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上
3、，且PF1tPF2，则t的值为_解析 设N为PF1的中点，则NOPF2，故PF2x轴，故PF2，而PF1PF22a4，PF1，t7.答案 76设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则PMPF1的最大值为_解析 PF1PF210，PF110PF2，PMPF110PMPF2，易知M点在椭圆外，连结MF2并延长交椭圆于P点，此时PMPF2取最大值MF2，故PMPF1的最大值为10MF21015.答案 157在ABC中，ABBC，cos B，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e_.解析 如图所示，设ABBCx，由cos B及余弦定理得AC2AB2
4、BC22ABBCcos Bx2x22x2，AC2x2，ACx.椭圆以A、B为焦点，焦距为2cABx.又椭圆经过点C，ACBCxx2a，2ax，e.答案 8已知F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆1(ab0)的两个焦点，P为椭圆上一点且c2，则此椭圆离心率的取值范围是_解析设P(x，y)，则(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2将y2b2x2代入式解得x2，又x20，a22c2a23c2，e.答案9点M是椭圆1(ab0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是_解析由条件MFx轴，其半径大小为椭圆通径的一半，R，圆心
5、到y轴距离为c，若PMQ为钝角，则其一半应超过，从而，则2acb2，即2ac(a2c2)，两边同时除以a2，则e22e0，又0e1，0eb0)的左、右焦点分别为F1、F2.点P(a，b)满足|PF2|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x1)2(y)216相交于M，N两点，且|MN|AB|，求椭圆的方程解(1)设F1(c,0)，F2(c,0)，(c0)，因为|PF2|F1F2|，所以2c.整理得2210，得1(舍)，或.所以e.(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc)A、B两点的坐
6、标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.得方程组的解为不妨设A，B(0，c)，所以|AB| c.于是|MN|AB|2c.圆心(1，)到直线PF2的距离d.因为d2242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520.得c(舍)，或c2.所以椭圆方程为1.13. 如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都是e.直线lMN， l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.(1)设e，求BC与AD的比值；(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由解(1)因为C
7、1，C2的离心率相同，故依题意可设C1：1，C2：1(ab0)设直线l：xt(|t|a)，分别与C1，C2的方程联立，求得A，B.当e时，ba，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知BCAD.(2)当t0时的l不符合题意，当t0时，BOAN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即，解得ta.因为|t|a，又0e1，所以1，解得e1.所以当0e时，不存在直线l，使得BOAN；当e1时，存在直线l，使得BOAN.14已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M(2，t)(t0)在椭圆的准线上(1)求椭圆的标准方程(2)求以OM为直径且被直线3x4y50截得的弦长为2的圆的方程；(
8、3)设点F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线FH，且与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值解(1)由2b2，得b1.又由点M在准线上，得2.故2.所以c1.从而a.所以椭圆的方程为y21.(2)以OM为直径的圆的方程为x(x2)y(yt)0，即(x1)221.其圆心为，半径r .因为以OM为直径的圆被直线3x4y50截得的弦长为2，所以圆心到直线3x4y50的距离d.所以，解得t4.故所求圆的方程为(x1)2(y2)25.(3)法一由平面几何知ON2OHOM.直线OM：yx，直线FN：y(x1)由得xH.所以ON2 |xH|xM|22.所以线段ON的长为定值.法二设N(x0，y0)，则(x01，y0)，(2，t)，(x02，y0t)，(x0，y0)因为，所以2(x01)ty00.所以2x0ty02.又，所以x0(x02)y0(y0t)0.所以xy2x0ty02.所以|为定值.