1、32双曲线的简单性质第1课时双曲线的简单几何性质双曲线的几何性质类型1(a0，b0)1(a0，b0)图像性质焦点(c，0)(0，c)焦距2c2c范围xa或xaya或ya对称性以坐标轴为对称轴，以原点为对称中心的对称图形顶点(a，0)(0，a)轴实轴A1A2，虚轴B1B2离心率e1渐近线yxyx 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)双曲线x2y2m(m0)的离心率为，渐近线方程为yx.()(2)平行于渐近线的直线与双曲线相交，且只有一个交点()(3)双曲线的弦的两个端点不一定在双曲线的同一支上()答案：(1)(2)(3) 若双曲线1的离心率为，则实数k的值为()AB.C6D6解析：选C.
2、由题意可知k0，a，b，c，所以e，得k6. 双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于_解析：双曲线的标准方程可写为y21，a1，b，故222，得m.答案： 已知双曲线C与椭圆1的焦点相同，且离心率为2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)求双曲线的渐近线方程解：(1)椭圆的焦点坐标为(4，0)，(4，0)，所以c4.设双曲线方程为1(a0，b0)因为e2，所以a2.所以b2c2a212.所以双曲线C的标准方程为1.(2)由(1)，知双曲线的渐近线方程为0，即yx.1对双曲线渐近线的四点说明(1)随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点(2)由渐近线方程可确定
3、a与b或b与a的比值，但无法确定焦点位置 (3)求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mxny0，求双曲线的方程，常把双曲线的方程设为(0)求解(4)与双曲线1(a0，b0)共渐近线的双曲线系的方程可设为(0，a0，b0)注意渐近线是双曲线特有的几何性质，它决定着双曲线张口的开阔与否2离心率对双曲线开口大小的影响以双曲线1(a0，b0)为例e，故当的值越大，渐近线yx的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大3在双曲线方程1(a0，b0)中，如果ab，那么方程可化为x2y2a2.
4、此时，双曲线的实轴长和虚轴长都等于2a，且两条渐近线互相垂直实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线等轴双曲线的渐近线方程是yx，离心率e.由几何性质求双曲线的标准方程求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：(1)离心率e，且过点(5，3)；(2)过点P(2，1)，渐近线方程是y3x.解(1)因为e，所以ca，b2c2a2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为1，把点(5，3)代入，得a216，所以所求双曲线的标准方程为1；当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为1，把点(5，3)代入，得a216，不合题意综上可知，所求双曲线的标准方程为1.(2)由渐近线方程是3xy0，可设
5、所求双曲线方程为y2(0)，(*)将点P(2，1)的坐标代入(*)，得35，所以所求双曲线方程为1.(1)若已知双曲线的渐近线方程为mxny0，求双曲线方程，渐近线相同的双曲线有无数多条，焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，要分情况进行讨论现依据渐近线方程，设出双曲线方程为m2x2n2y2(0)，求出即可(2)与1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为(0)(3)与双曲线1(a0，b0)有相同焦点的双曲线方程可设为1(b2a2) 1.(1)已知双曲线1(a0，b0)的实轴长为4，顶点到渐近线的距离为，则此双曲线的方程为_；(2)与双曲线1共渐近线且过A(2，3)点的双曲线方程为_解析：(1)因
6、为实轴长为4，所以a2，其渐近线方程为yx，(2，0)为其一顶点，bx2y0为其一条渐近线，则(2，0)到bx2y0的距离为，得b24.故此双曲线的方程为1.(2)设与双曲线1共渐近线的双曲线方程为(0)因为点A(2，3)在双曲线上，所以.所以所求双曲线方程为，即1.答案：(1)1(2)1求双曲线的离心率(或范围)(1)若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A.B.C.D.(2)已知双曲线1(a0，b0)的渐近线与圆x2y24x20有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是_解析(1)由双曲线的渐近线过点(3，4)知，所以.又b2c2a2，所以，即e21，所以e2，所以e
7、.(2)将圆的方程配方，得(x2)2y22.双曲线的渐近线方程为bxay0.由于双曲线1(a0，b0)的渐近线与圆x2y24x20有公共点，所以，又c2a2b2，所以c22a2，即e，所以离心率的取值范围为(1， 答案：(1)D(2)(1， (1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e；二是依据条件建立参数a，b，c的关系式一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e 求离心率(2)若求离心率e的取值范围，则应由题意寻求a，b，c的不等关系，由此得出关于e的不等式，再进行求解 2.已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点
8、，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是()A. B2C.1D3解析：选C.因为F1F2M为正三角形，|PM|F1P|，所以F2PPF1，所以|F1F2|2c2|PF1|，即|PF1|c，|PF2|c，由双曲线定义：|PF2|PF1|(1)c2a，故e1.双曲线的渐近线及其应用(1)设双曲线1(a0，b0)的虚轴为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()AyxBy2xCyxDyx(2)若双曲线1的渐近线方程l为yx，则双曲线焦点F到渐近线l的距离为()A2 B.C2D.解析(1)由题意得b1，c，所以a，故双曲线的渐近线方程为yxx.(2)该双
9、曲线的渐近线方程为yxx，故m5.所以c.所以F到l的距离为.答案(1)C(2)D求渐近线方程的两种方法(1)当已知标准方程的焦点所在坐标轴时，用公式法yx(焦点在x轴)或yx(焦点在y轴)求解(2)把双曲线标准方程右端的“1”换为“0”即得渐近线方程 3.(1)若双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ay2xByxCyxDyx(2)设双曲线1的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A. B5C.D.解析：(1)选D.因为e，所以e213，所以，又焦点在x轴上，所以渐近线方程为yx.(2)选D.双曲线的渐近线方程为yx，不妨考虑yx，将其代入yx21整
10、理得：x2x10，40，得b24a2c2a2，故e.易错警示忽视双曲线焦点位置致误已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率e为_解析当双曲线的焦点在x轴上时，因为一条渐近线方程为yx，所以，所以离心率e .当双曲线的焦点在y轴上时，因为一条渐近线方程为yx，所以，这时.所以离心率e .故双曲线的离心率为或.答案或(1)本例易主观认为焦点在x轴上，忽略考虑焦点在y轴上的情况而漏解.(2)一般情况下若只给出渐近线方程、焦距、离心率等条件，要注意焦点位置的讨论，如本例中分焦点在x轴上或在y轴上两种情况讨论1双曲线5的一条渐近线方程是()A2x3y0B3x2y0
11、C9x4y0D4x9y0解析：选B.法一：因为该双曲线的标准方程为1，所以该双曲线的焦点在y轴上，故该双曲线的渐近线为yxx，即3x2y0.法二：把5换为0，得0，解得yx，故该双曲线的渐近线为yx，即3x2y0.2已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1D.1解析：选A.该双曲线的渐近线方程为yx，即，c2a，可知此双曲线的左焦点(2a，0)在y224x的准线x6上，即2a6得a3，b3.故双曲线方程为1.3双曲线2x2y28的实轴长是_解析：该双曲线的标准方程为1，a2，故实轴长为2a4.答案：44已
12、知双曲线1(a0，b0)的右焦点与抛物线y24x的焦点F重合，点A是两曲线的一个交点，且AFx轴，则该双曲线的离心率为_解析：设双曲线的左焦点为F1，A在x轴上方，由题意得：F的坐标为(1，0)，F1(1，0)，A(1，2)，由|AF1|AF|222a得a1，故双曲线的离心率e1.答案：1 A基础达标1已知双曲线的渐近线为yx，焦点坐标为(4，0)，(4，0)，则双曲线方程为()A.1B.1C.1D.1解析：选D.因为焦点在x轴上，c4，c242a2b2a2(a)24a2，所以a24，b212.所以双曲线方程为1.故选D.2中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2)，则它的离
13、心率为()A. B.C.D.解析：选D.由题意知，过点(4，2)的渐近线的方程为yx，所以24，所以a2b.设bk，则a2k，ck，所以e.3如图，双曲线C：1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|P1F1|的值是()A3 B4C6D8解析：选C.设F2为右焦点，连接P2F2(图略)，由双曲线的对称性，知|P1F1|P2F2|，所以|P2F1|P1F1|P2F1|P2F2|236.4已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线y21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为()A.B.C.D.解析：选A.由题
14、意得15，p8，y216x，当x1时，m216，m0，m4.所以M(1，4)，双曲线的左顶点A(，0)，kAM，由题意，所以a.5若一双曲线与椭圆4x2y264有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为()Ay23x236 Bx23y236C3y2x236D3x2y236解析：选A.椭圆4x2y264即1，焦点为(0，4)，离心率为，则双曲线的焦点在y轴上，c4，e，从而a6，b212，故所求双曲线的方程为y23x236.6与双曲线x22y22有共同的渐近线，且过点M(，2)的双曲线方程是_解析：该双曲线的方程可设为x22y2(0)，将M(，2)代入，得6，故该双曲线方程为1.答
15、案：17设F1和F2为双曲线1(a0，b0)的两个焦点，若F1，F2，P(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为_解析：由题设条件可得，所以，所以，所以4，所以e2.答案：28双曲线1(a0，b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为_解析：由题意当x1时，yx2，所以e211，所以e(1，)答案：(1，)9已知双曲线E：1.(1)若m4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；(2)若双曲线E的离心率为e，求实数m的取值范围解：(1)m4时，双曲线方程化为1，所以a2，b，c3，所以焦点坐标为
16、(3，0)，(3，0)，顶点坐标为(2，0)，(2，0)，渐近线方程为yx.(2)因为e21，e，所以12，解得5m0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为_解析：由F为左焦点得a23，则双曲线方程为y21.设P(x0，y0)，则(x0，y0)(x02，y0)x2x0yx2x01x2x011.由点P在双曲线右支上得x0 ，所以32.答案：32，)13已知双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(3，1)，一条渐近线与直线3xy10平行，求双曲线的标准方程解：由已知，双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，由于其中一条渐近线与直线l：3xy10平行，所以，双曲线的一条渐近线方
17、程为3xy0，即y3x.可设双曲线方程为9x2y2(0)由于双曲线过点P(3，1)，所以932(1)2，即80.所以所求双曲线的标准方程为1.14(选做题)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，A1，A2分别为这个双曲线的左、右顶点，P为双曲线右支上的任意一点，求证：以A1A2为直径的圆既与以PF2为直径的圆外切，又与以PF1为直径的圆内切证明： 如图，以A1A2为直径的圆的圆心为O，半径为a，令M，N分别是PF2，PF1的中点，由三角形中位线的性质，得|OM|PF1|.又根据双曲线的定义，得|PF1|2a|PF2|，从而有|OM|(2a|PF2|)a|PF2|.这表明，两圆的圆心距等于两圆半径之和，故以A1A2为直径的圆与以PF2为直径的圆外切同理，得|ON|PF2|(|PF1|2a)|PF1|a.这表明两圆的圆心距等于两圆半径之差，故以A1A2为直径的圆与以PF1为直径的圆内切