1、2016年内蒙古通辽市高考数学一模试卷（文科）一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分每个小题只有一个选项符合题意）1已知集合A=2，a，B=x|1x4，若AB=2，则实数a的值不可能为（）A1B3C4D52复数z=3+（1+i）2在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3设向量与的夹角为60，且，则等于（）ABCD64cos80cos130cos10sin130等于（）ABCD5双曲线=1的左焦点到右顶点的距离为（）A1B2C4D56已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）AA=2B=2Cf（0）=1D=
2、7若变量x，y满足约束条件，则z=4x+y的最大值为（）A6B10C12D158P为抛物线x2=4y上一点，A（1，0），则点P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值为（）ABCD9执行如图程序框图若输入n=20，则输出的S值是（）ABCD10下列函数中，既是奇函数，又在（1，+）上递增的是（）Ay=x36xBy=x22xCy=sinxDy=x33x11若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为（）A12B16C18D2412设函数f（x）=|x|，g（x）=lg（ax24x+1），若对任意x1R，都存在x2R，使f（x1）=
3、g（x2），则实数a的取值范围为（）A（，4B（0，4C（4，0D4，+）二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）13若函数f（x）=2x5，且f（m）=3，则m=_14已知某人15月收到的快件数分别为1，3，2，2，2，则这5个数的方差s2=_15某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为_16设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B，则cosB的值为_三、解答题（本大题共5小题，70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17设Sn为等比数列an的前n项和，a1=1，a2=3（1）求an，Sn；（2）若a3，Sn+5，a5成等差
4、数列，求n的值18某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2，（4.2，4.5，（5.1，5.4经过数据处理，得到如下频率分布表：分组频数频率（3.9，4.230.06（4.2，4.560.12（4.5，4.825x（4.8，5.1yz（5.1，5.420.04合计n1.00（）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；（）从样本中视力在（3.9，4.2和（5.1，5.4的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率19如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA是四棱锥PABCD的高，PA=AB=2，点M，N，E分别
5、是PD，AD，CD的中点（1）求证：平面MNE平面ACP；（2）求四面体AMBC的体积20已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆O相切（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C与直线y=kx（k1）在第一象限的交点为A，B（，1），若=，求k的值21设函数f（x）=，其中a0（1）求曲线g（x）=f（x）+lnx在点（1，g（1）处的切线方程；（2）若f（x）+f（a）0对x（，0恒成立，求实数a的取值范围选修4-1：几何证明选讲22如图，圆O的直径AB=8，圆周上过点C的切线与BA的延长线交于点E，过点B作AC的平行线交EC的延长线于
6、点P（1）求证：BC2=ACBP；（2）若EC=2，求EA的长选修4-4：坐标系与参数方程23已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，圆N的方程为26sin=8（1）求圆N的直角坐标方程；（2）判断直线l与圆N的位置关系选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|xa|+|x2|（1）当a=2时，求不等式f（x）14的解集；（2）若f（x）a2对xR恒成立，求实数a的取值范围2016年内蒙古通辽市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分每个小题只有一个选项符合题意）1已知集合A=2，
7、a，B=x|1x4，若AB=2，则实数a的值不可能为（）A1B3C4D5【考点】交集及其运算【分析】由不等式的性质和交集性质得到a1或a4【解答】解：集合A=2，a，B=x|1x4，AB=2，a1或a4，实数a的值不可能为3故选：B2复数z=3+（1+i）2在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求【解答】解：由z=3+（1+i）2，得z=3+2i则复数z=3+（1+i）2在复平面内对应的点的坐标为：（3，2），位于第二
8、象限故选：B3设向量与的夹角为60，且，则等于（）ABCD6【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量数量积的定义计算【解答】解：故选：B4cos80cos130cos10sin130等于（）ABCD【考点】两角和与差的余弦函数【分析】利用诱导公式，两角差的余弦函数公式化简，利用特殊角的三角函数值即可计算求值【解答】解：cos80cos130cos10sin130=cos80cos130sin80sin130=cos（80+130）=cos=故选：C5双曲线=1的左焦点到右顶点的距离为（）A1B2C4D5【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的a，b，由c=，可得c，即可得到左焦点和右顶
9、点，进而得到它们的距离【解答】解：双曲线=1的a=2，b=，c=3，可得右顶点为（2，0），左焦点为（3，0），可得左焦点到右顶点的距离为5故选：D6已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）AA=2B=2Cf（0）=1D=【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由函数的最值求出A，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数解析式，进而可求f（0）的值，从而得解【解答】解：根据函数的图象可知，A=2，T=+=，=2，再根据f（）=2sin（2+）=0，且0，=，f（x）=2sin（2x+），f（0）=2sin=2=1，综上
10、，D选项错误故选：D7若变量x，y满足约束条件，则z=4x+y的最大值为（）A6B10C12D15【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=4x+y得y=4x+z，平移直线y=4x+z，由图象可知当直线y=4x+z经过点A时，直线y=4x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即A（4，1），代入目标函数z=4x+y得z=441=15即目标函数z=4x+y的最大值为15故选：D8P为抛物线x2=4y上一点，A（1，0），则点P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值为（）ABC
11、D【考点】抛物线的简单性质【分析】通过抛物线方程可知焦点F（0，1），利用两点间距离公式可知|AF|=，通过抛物线定义可知点P到准线的距离d与|PF|相等，进而可得结论【解答】解：抛物线方程为x2=4y，焦点F（0，1），又A（1，0），|AF|=，由抛物线定义可知点P到准线的距离d与|PF|相等，d+|PA|=|PF|+|PA|AF|=，故选：D9执行如图程序框图若输入n=20，则输出的S值是（）ABCD【考点】循环结构【分析】模拟执行程序框图，可知该算法的功能是计算并输出数列的求10项和，由裂项法即可求值【解答】解：模拟执行程序框图，可知该算法的功能是计算并输出数列的求10项和S=+=+=
12、（1+）=故选：A10下列函数中，既是奇函数，又在（1，+）上递增的是（）Ay=x36xBy=x22xCy=sinxDy=x33x【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【分析】根据导数符号判断函数单调性的方法，奇函数的定义，二次函数图象的对称性，以及正弦函数的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项【解答】解：Ay=x36x，y=3（x22）；时，y0，即该函数在上递减；该函数在（1，+）上不递增，即该选项错误；By=x22x的图象不关于原点对称，不是奇函数，该选项错误；Cy=sinx在（1，+）上没有单调性，该选项错误；Dy=x33x，（x）33（x
13、）=（x33x）；该函数为奇函数；y=3（x21），x1时，y0；该函数在（1，+）上递增，该选项正确故选：D11若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为（）A12B16C18D24【考点】球的体积和表面积【分析】设长方体的三度为a，b，c，则ab=1，abc=4，可得c=4，长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径的最小值，即可求出球O表面积的最小值【解答】解：设长方体的三度为a，b，c，则ab=1，abc=4，c=4长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，所以2r=3，当且仅当a=b时，r的最小值为所以球O表面积的最小值为：
14、4r2=18故选：C12设函数f（x）=|x|，g（x）=lg（ax24x+1），若对任意x1R，都存在x2R，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（）A（，4B（0，4C（4，0D4，+）【考点】函数的值【分析】求出f（x），g（x）的值域，则f（x）的值域为g（x）的值域的子集【解答】解：f（x）=|x|0，f（x）的值域是（，0设g（x）的值域为A，对任意x1R，都存在x2R，使f（x1）=g（x2），（，0A设y=ax24x+1的值域为B，则（0，1B显然当a=0时，上式成立当a0时，=164a0，解得0a4当a0时，ymax=1，即11恒成立综上，a4故选A二、填空题（本大
15、题共四小题，每小题5分，共20分）13若函数f（x）=2x5，且f（m）=3，则m=3【考点】有理数指数幂的化简求值；函数的值【分析】由题意化为方程f（m）=2m5=3，从而解得【解答】解：由题意知，f（m）=2m5=3，解得，m=3；故答案为：314已知某人15月收到的快件数分别为1，3，2，2，2，则这5个数的方差s2=【考点】极差、方差与标准差【分析】利用公式求出该组数据的平均数，再求它们的方差【解答】解：数据1，3，2，2，2的平均数为=（1+3+2+2+2）=2，该组数据的方差s2= （12）2+（32）2+（22）2+（22）2+（22）2=故答案为：15某三棱锥的三视图如图所示，
16、则该三棱锥的最长棱的棱长为【考点】由三视图求面积、体积【分析】作出三棱锥的直观图，计算各棱长【解答】解：作出三棱锥的直观图如图所示：由三视图可知AB底面BCD，BCBD，BD=1，BC=2，AB=3CD=，AC=，AD=三棱锥的最长棱的棱长为故答案为：16设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B，则cosB的值为【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理，二倍角公式结合已知可得，整理得a=6cosB，由余弦定理可解得a的值，可求cosB的值【解答】解：A=2B，b=3，c=1，可得：，可得：a=6cosB，由余弦定理可得：a=6，a=2，cosB=故答案为：三、
17、解答题（本大题共5小题，70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17设Sn为等比数列an的前n项和，a1=1，a2=3（1）求an，Sn；（2）若a3，Sn+5，a5成等差数列，求n的值【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式【分析】（1）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出（2）由a3，Sn+5，a5成等差数列，可得2（Sn+5）=a3+a5，再利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：（1）设等比数列an的公比为q，a1=1，a2=3q=3an=3n1Sn=（2）a3，Sn+5，a5成等差数列，2（Sn+5）=a3+a5，3n1+10=32+34，化
18、为3n=34，解得n=418某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2，（4.2，4.5，（5.1，5.4经过数据处理，得到如下频率分布表：分组频数频率（3.9，4.230.06（4.2，4.560.12（4.5，4.825x（4.8，5.1yz（5.1，5.420.04合计n1.00（）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；（）从样本中视力在（3.9，4.2和（5.1，5.4的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率【考点】等可能事件的概率；频率分布表【分析】（I）根据题意，由（5.1，5.4一组频数为2，频率为0.
19、04，可得，解可得n的值，进而由，可得x的值，由频数之和为50，可得y的值，由频率、频数的关系可得z的值；（II）设样本视力在（3.9，4.2的3人为a，b，c，样本视力在（5.1，5.4的2人为d，e；由题意列举从5人中任取两人的基本事件空间，可得其基本事件的数目，设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，由可得基本事件数目，由等可能事件的概率，计算可得答案【解答】解：（I）由表可知，样本容量为n，由（5.1，5.4一组频数为2，频率为0.04，则，得n=50由0；y=5036252=14，（II）设样本视力在（3.9，4.2的3人为a，b，c；样本视力在（5.1，5.4的2人为
20、d，e由题意从5人中任取两人的基本事件空间为：=（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（a，b），（a，c），（b，c），（d，e），共10个基本事件；设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A包含的基本事件有：（a，b），（a，c），（b，c），（d，e），共4个基本事件；P（A）=，故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为19如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA是四棱锥PABCD的高，PA=AB=2，点M，N，E分别是PD，AD，CD的中点（1）求证：平面MNE平面ACP；（2）求四面体AMBC的体积【考点】平面与
21、平面之间的位置关系；平面与平面平行的判定【分析】（1）由点M，N，E分别是PD，AD，CD的中点，得MNPA，NEAC，由此能证明平面MNE平面ACP（2）由已知得MN平面ABC，且MN=，由此能求出四面体AMBC的体积【解答】证明：（1）点M，N，E分别是PD，AD，CD的中点，MNPA，NEAC，PAAC=A，MNNE=N，PA，AC平面PAC，MN，NE平面MNE，平面MNE平面ACP解：（2）四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA是四棱锥PABCD的高，PA=AB=2，点M，N，E分别是PD，AD，CD的中点MN平面ABC，且MN=，=2，四面体AMBC的体积V=20已知椭圆C
22、： +=1（ab0）的离心率为，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆O相切（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C与直线y=kx（k1）在第一象限的交点为A，B（，1），若=，求k的值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）求得圆O的方程，运用直线和相切的条件：d=r，求得b，再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（2）设出A的坐标，代入椭圆方程，求得交点A的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值【解答】解：（1）由题意可得e=，又圆O的方程为x2+y2=b2，因为直线l：xy+2=0与圆O相切，故有b=，由a2=3c2=3（a2b2），即a
23、2=3所以椭圆C的方程为+=1；（2）设点A（x0，y0）（x00，y00），则y0=kx0由，解得，=+=，k=（k=0舍去）21设函数f（x）=，其中a0（1）求曲线g（x）=f（x）+lnx在点（1，g（1）处的切线方程；（2）若f（x）+f（a）0对x（，0恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出g（x）的导数，计算g（1），g（1），求出切线方程即可；（2）问题转化为即a2axex对x（，0恒成立，令h（x）=xex，x（，0，根据函数的单调性求出a的范围即可【解答】解：（1）g（x）=f（x）+lnx=x3x2
24、+lnx，（x0），g（x）=3x22x+，g（1）=2，g（1）=0，切线方程是：y=2（x1），即2xy2=0；（2）函数f（x）=，其中a0，若f（x）+f（a）0对x（，0恒成立，即xex+a2a0对x（，0恒成立，即a2axex对x（，0恒成立，令h（x）=xex，x（，0，h（x）=ex（x+1），令h（x）0，解得：x1，令h（x）0，解得：1x0，h（x）在（，1）递增，在（1，0递减，h（x）max=h（1）=，a2a，解得：a（1+）选修4-1：几何证明选讲22如图，圆O的直径AB=8，圆周上过点C的切线与BA的延长线交于点E，过点B作AC的平行线交EC的延长线于点P（1）
25、求证：BC2=ACBP；（2）若EC=2，求EA的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）证明：ACBCBP，即可证明BC2=ACBP（2）由题意可得EC2=EAEB=EA（EA+AB），即可解得EA的值【解答】解：（1）证明：AB为圆O的直径，ACB=90又ACBP，ACB=CBP，ECA=PEC为圆O的切线，ECA=ABC，ABC=P，ACBCBP，即BC2=ACBP（2）解：EC为圆O的切线，EC=2，AB=8，EC2=EAEB=EA（EA+AB），20=EA（EA+8），EA=2 选修4-4：坐标系与参数方程23已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O为极点，x
26、轴正半轴为极轴建立坐标系，圆N的方程为26sin=8（1）求圆N的直角坐标方程；（2）判断直线l与圆N的位置关系【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）根据极坐标和直角坐标的关系进行化简求解即可（2）消去参数求出直线l的普通方程，求出圆心到直线的距离与半径之间的关系进行判断【解答】解：（1）y=sin，x2+y2=2，由26sin=8得x2+y26y=8，即x2+（y3）2=1，则圆N的直角坐标方程是x2+（y3）2=1；（2）直线l的参数方程为，消去参数t得，即3x+4y19=0，则圆心C（0，3）的直线的距离d=1，即直线l与圆N的位置关系是相离选修4-5：不等式选
27、讲24设函数f（x）=|xa|+|x2|（1）当a=2时，求不等式f（x）14的解集；（2）若f（x）a2对xR恒成立，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题【分析】（1）先将不等式等价为：|x2|7，再直接去绝对值求解；（2）先用绝对值三角不等式将问题等价为：f（x）min=|a2|a2，再分类讨论求解即可【解答】解：（1）当a=2时，不等式f（x）14即为，|x2|+|x2|14，所以，|x2|7，不等式等价为：7x27，解得，5x9，故原不等式的解集为：x|5x9；（2）因为不等式f（x）a2对xR恒成立，所以，f（x）mina2，根据绝对值三角不等式，|xa|+|x2|（xa）（x2）|=|a2|，即f（x）min=|a2|，所以，|a2|a2，分类讨论如下：当a2时，a2a2，无解；当a2时，2aa2，解得a2，1，综合以上讨论得，实数a的取值范围为：2，12016年9月7日