1、北京五中2020/2021学年度第二学期期中考试试卷高一数学一、选择题共10小题，每小题5分，共50分1. （ ）A. B. C. D. 2. 如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，每个圆锥的底面直径和高均为，现有体积为的细沙全部漏入下圆锥后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为（ ）A. B. C. D. 3. 如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 我国古代数学专著九章算术中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十人凡三乡，发役三百人，则北乡遺人几何？其意
2、：现在北乡人口为8100人，西多人口为7488人，南乡人为6912人要从这三个乡镇抽取300人服役，则北乡应抽取多少人？（ ）A. 104B. 108C. 112D. 1205. “复平面内的点在虚轴上”是“复数是纯虚数”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 2020年5月我国抗击新冠肺炎疫情工作取得阶段性胜利，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（ ）A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加B. 这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80
3、%D. 第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量7. 对于非零向量，定义运算”：，其中为的夹角设为非零向量，则下列结论中不成立的是（）A. B. 若，则C. D. 8. 已知是单位圆上（圆心在坐标原点）任意一点，将射线绕点逆时针旋转到交单位圆于点，则的最大值为（ ）A. 1B. 2C. D. 9. 如图，在长方体中，AB1，BC，动点M在棱上，连接，则的最小值为（ ）A. 3B. C. D. 10. 设函数若存在的最值点满足，则m的取值范围是（）A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为_12. 如图,AOB为水平放置的A
4、OB斜二测画法的直观图，且OA=2, OB =3,则AOB的周长为_13. 如图,为测得河对岸塔AB高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60,再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D,测得BDC45,则塔AB的高是_.14. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计若下面是尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示），则样本量为_，的值为_15. 如图,OMAB,点P在由射线OM,线段OB及AB延长线围成的区域内(不含边界)运动,且，
5、则x的取值范围是_；当时，y的取值范围是_.三、解答题共6小题，共75分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 己知（I）求的最小正周期及单调递减区间；（II）求函数在区间上的最大值和最小值17. 已知平面向量，且（1）求的最小值；（2）若，求与的夹角18. 中国共产党建党100周年华诞之际，某高校积极响应党和国家的号召，通过“增强防疫意识，激发爱国情怀”知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程，表达对建党100周年以来的丰功伟绩的传颂教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图（1）求值并估计中位数所在
6、区间（2）为了鼓励更多的学生参与学校活动，学校为100人中的80%的人准备了纪念品，问本次活动得多少分以上的人可以拿到纪念品？（结果四舍五入保留整数）（3）需要从参赛选手中选出6人代表学校参与省里的此类比赛，你认为怎么选最合理，并说明理由19. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且.（1）已知_，计算的面积；请，这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.（2）求的最大值.20. 已知中，（I）求B的大小；（II）已知，若D、E是边BC上的点，使，求当ADE面积的最小时，BAD的大小21. 已
7、知集合，对于，B（，定义A与B差为，A与B之间的距离为.（）若，求；（）证明：对任意，有（i），且；（ii）三个数中至少有一个偶数；（）对于，再定义一种A与B之间的运算，并写出两条该运算满足的性质（不需证明）.北京五中2020/2021学年度第二学期期中考试试卷高一数学 答案版一、选择题共10小题，每小题5分，共50分1. （ ）A. B. C. D. 【答案】A2. 如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，每个圆锥的底面直径和高均为，现有体积为的细沙全部漏入下圆锥后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为（ ）A. B. C. D. 【答案】B3. 如图，在复平面内，复数对应的
8、向量分别是，则复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C4. 我国古代数学专著九章算术中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十人凡三乡，发役三百人，则北乡遺人几何？其意：现在北乡人口为8100人，西多人口为7488人，南乡人为6912人要从这三个乡镇抽取300人服役，则北乡应抽取多少人？（ ）A. 104B. 108C. 112D. 120【答案】B5. “复平面内的点在虚轴上”是“复数是纯虚数”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B6. 2020
9、年5月我国抗击新冠肺炎疫情工作取得阶段性胜利，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（ ）A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加B. 这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%D. 第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量【答案】C7. 对于非零向量，定义运算”：，其中为的夹角设为非零向量，则下列结论中不成立的是（）A. B. 若，则C. D. 【答案】C8. 已知是单位圆上（圆心在坐标原点）任意一点，将射线绕点逆时针旋转到交单位圆于点，则的最大值为（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】A
10、9. 如图，在长方体中，AB1，BC，动点M在棱上，连接，则的最小值为（ ）A. 3B. C. D. 【答案】C10. 设函数若存在的最值点满足，则m的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为_【答案】.12. 如图,AOB为水平放置的AOB斜二测画法的直观图，且OA=2, OB =3,则AOB的周长为_【答案】1213. 如图,为测得河对岸塔AB高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60,再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D,测得BDC45,则塔AB的高是_.【答案】1
11、014. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计若下面是尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示），则样本量为_，的值为_【答案】 . . 15. 如图,OMAB,点P在由射线OM,线段OB及AB延长线围成的区域内(不含边界)运动,且，则x的取值范围是_；当时，y的取值范围是_.【答案】 . . 三、解答题共6小题，共75分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 己知（I）求的最小正周期及单调递减区间；（II）求函数在区间上的最大值和最小值【答案】（1），
12、；（2）最大值为，最小值为.17. 已知平面向量，且（1）求的最小值；（2）若，求与的夹角【答案】（1）13；（2）.18. 中国共产党建党100周年华诞之际，某高校积极响应党和国家的号召，通过“增强防疫意识，激发爱国情怀”知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程，表达对建党100周年以来的丰功伟绩的传颂教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图（1）求值并估计中位数所在区间（2）为了鼓励更多的学生参与学校活动，学校为100人中的80%的人准备了纪念品，问本次活动得多少分以上的人可以拿到纪念品？（结果四舍五入
13、保留整数）（3）需要从参赛选手中选出6人代表学校参与省里的此类比赛，你认为怎么选最合理，并说明理由【答案】（1）；中位数所在区间；（2）51分以上的人可以拿到纪念品；（3）选90分以上的人去参赛；答案见解析19. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且.（1）已知_，计算的面积；请，这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.（2）求的最大值.【答案】（1）见解析（2）120. 已知中，（I）求B的大小；（II）已知，若D、E是边BC上的点，使，求当ADE面积的最小时，BAD的大小【答案】（1）；（2）.21. 已知集合，对于，B（，定义A与B差为，A与B之间的距离为.（）若，求；（）证明：对任意，有（i），且；（ii）三个数中至少有一个偶数；（）对于，再定义一种A与B之间的运算，并写出两条该运算满足的性质（不需证明）.【答案】（）（）见解析（）见解析