1、高三数学试题第I卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.设函数 定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为,则A. （1,2）B. （1,2C. （-2,1）D. -2,1)【答案】D【解析】由得，由得，故，选D.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2.对于个复数，如果存在n个不全为零的实数，使得，就称线性相关，若复数，线性相关，则的值可以为（ ）A. 2：4：3B. 1：3：2C. 1：2：3D. 3：4：2【答案】A【解析】【分析】将三个复数代入方程得到一个三元方程组，对照选项，即可得到答案.【详解】
2、有题意得，所以，因为为方程组的一组解，的值可以为.故选：A.【点睛】本题考查复数新定义题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知向量，若，则的值为A. 4B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】可求出，从而根据得出，解出【详解】，故选：B【点睛】本题考查向量坐标线性运算、向量平行的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.4.函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据函数定义域和与的关系判断奇偶性，再由时，即可得答案.【详解】函数的定义域为，且，为偶函数，故排除B、C；当时，故排除A.故选：D.【点睛】本题考查根据函数
3、的解析式选择函数的图像，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意函数性质的综合运用.5.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据角的对称得到，再由两角差的余弦公式即可求出【详解】角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，.故选：A【点睛】本题考查终边关于轴对称的三角函数值之间的关系、两角差的余弦公式、同角的三角函数的关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.6.如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（）A. 这15天日平均温度的极差为B. 连续
4、三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天C. 由折线图能预测16日温度要低于D. 由折线图能预测本月温度小于的天数少于温度大于的天数【答案】B【解析】【分析】利用折线图的性质，结合各选项进行判断，即可得解【详解】由某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，得：在中，这15天日平均温度的极差为：，故错误； 在中，连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天，故正确； 在中，由折线图无法预测16日温度要是否低于，故错误； 在中，由折线图无法预测本月温度小于的天数是否少于温度大于的天数，故错误 故选【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据
5、处理能力，考查数形结合思想，是基础题7.围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列最接近的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对求对数分析即可.【详解】因为故.故选：C【点睛】本题主要考查了对数的基本运算,属于基础题型.8.已知抛物线上不同三点，的横坐标成等差数列，那么下列说法正确的是A. ，的纵坐标成等差数列B. ， 到轴的距离成等差数列C. ，到点的距离成等差数列D. ，到点，的距离成等差数列【答案
6、】D【解析】【分析】设，因为，的横坐标成等差数列，所以，由抛物线的定义，得点，到焦点，的距离，进而得出结论【详解】设，因为，的横坐标成等差数列，所以，由抛物线的定义，得点，到焦点，的距离：，又因为，得，所以，到点，的距离成等差数列故选：D【点睛】本题考查等差数列等差中项的性质、抛物线的定义、焦半径公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.设正实数，满足，则（ ）A. 有最小值4B. 有最小值C. 有最大值1D. 有最小值【答案】AD【解析】【分析】由，根据，逐一判断各选项即可【详解】对A，正实数，满足，即有
7、，可得，即有，即有时，取得最小值4，无最大值，故A正确；对B，由，可得有最大值，故B错误；对C，由，可得时，取得最大值，故C错误；对D，由可得，则，当时，取得最小值，故D正确故选：AD【点睛】本题考查基本不等式及其应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意的变形和应用.10.已知菱形ABCD中，BAD=60，AC与BD相交于点O将ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是（ ）A. BDCMB. 存在一个位置，使CDM为等边三角形C. DM与BC不可能垂直D. 直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60【答案】ABD【解析】【分
8、析】画出图形，利用直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系判断选项的正误即可【详解】对A，菱形中，与相交于点将沿折起，使顶点至点，如图：取的中点，连接，可知，所以平面，可知，故A正确；对B，由题意可知，三棱锥是正四面体时，为等边三角形，故B正确；对C，三棱锥是正四面体时，与垂直，故C不正确；对D，平面与平面垂直时，直线与平面所成的角的最大值为，故D正确故选：ABD【点睛】本题考查空间几何体的直线与直线、直线与平面的位置关系的综合判断、命题的真假的判断，考查转化与化归思想，考查空间想象能力11.已知双曲线的左、右两个顶点分别是A1,A2,左、右两个焦点分别是F1,F2,P是双曲线上异于A1,A
9、2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）A. B. 直线的斜率之积等于定值C. 使得为等腰三角形的点有且仅有8个D. 的面积为【答案】BC【解析】【分析】结合双曲线的几何性质和常见二级结论推导即可得解.【详解】在中，两边之差小于第三边，即，所以A不是真命题；设点，有，直线的斜率之积，所以B是真命题；根据双曲线对称性分析：要使为等腰三角形，则必为腰，在第一象限双曲线上有且仅有一个点使，此时为等腰三角形，也且仅有一个点使，此时为等腰三角形，同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个，所以C是真命题；，根据焦点三角形面积的二级结论，所以D不是真命题.故选：BC【点睛】此题考查双
10、曲线的几何性质和相关计算，对基础知识的掌握和代数式化简运算能力要求较高，解题中若能记住常见的二级结论，可以简化计算.12.函数在，上有定义，若对任意，有，则称在，上具有性质设在，上具有性质，下列命题正确的有（ ）A. 在，上的图象是连续不断的B. 在，上具有性质C. 若在处取得最大值1，则，D. 对任意，有【答案】CD【解析】【分析】根据题设条件，分别举出反例，说明A和B都是错误的；同时证明C和D是正确的【详解】对A，反例在，上满足性质，但在，上不是连续函数，故A不成立；对B，反例在，上满足性质，但在，上不满足性质，故B不成立；对C：在，上，故，对任意的，故C成立；对D，对任意，有 ，故D成立
11、故选：CD.【点睛】本题考查函数新定义题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时说明一个结论错误时，只需举出反例即可，说明一个结论正确时，要证明对所有的情况都成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图所示，一名男生扔铅球，铅球上升高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是，则铅球落地时，铅球速度方向与地面所成的角是_.【答案】【解析】【分析】求出二次方程的根，从而得到铅球落地点的坐标，再利用导数求出切线的斜率，即可得答案.【详解】当时，解得：或（舍去），铅球落地时，铅球速度方向，即为曲线在处的切线方向，切线的斜率，铅球速度方向
12、与地面所成的角为锐角或直角，铅球速度方向与地面所成的角是.故答案为：.【点睛】本题考查一元二次函数的实际应用、导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意夹角为锐角或直角.14.人的某一特征（如单双眼皮）是由他的一对基因决定的，以D表示显性基因，d表示隐性基因，则具有DD基因的人是显性纯合子表现为双眼皮，具有dd基因的人是隐性纯合子表现为单眼皮，具有Dd基因的人为杂合子，显性纯合子与杂合子都显露显性基因决定的某一特征.孩子从父母身上各得一个基因，假定父母都是杂合子.则一对双眼皮夫妇生一个双眼皮的男孩概率是_.【答案】0.375【解析】【分析】利用列举法将孩子的
13、4种基因情况一一列举出来，再利用古典概型的概率计算公式，即可得答案.【详解】由题意知：父母基因都是杂合子，记为，则孩子的基因情有4种情况，即，其中双眼皮孩子的概率，孩子要求是男孩，.故答案为：.【点睛】本题考查古典概型的应用，考查运算求解能力，属于基础题.15.等差数列的前项和为，且，记，其中表示不超过的最大整数，如，则_.【答案】9【解析】【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式可得，再利用，可得，即可得出【详解】为等差数列的前项和，且，可得，则公差，则，.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列的通项公式与求和公式、对数运算性质、取整函数，考查推理能力与计算能力，属于中档题16.已知正方体AB
14、CDA1B1C1D1的棱长为1，动点P在正方体的表面上运动，且与点A的距离为.动点P的集合形成一条曲线，这条曲线在平面CDD1C1上部分的形状是_，整条曲线的周长是_【答案】 (1). 圆弧 (2). 【解析】【分析】画出图形观察出曲线的形状，再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度【详解】由题意得，此问题的实质是以为球心、为半径的球在正方体各个面上交线的长度计算，正方体的各个面，根据与球心位置关系分成两类：、为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为、为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为，故各段弧圆心角为这条曲线长度为故答案为： 圆弧；.【点睛】本题考查立体几何与解析几何
15、知识的交汇，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力，求解时注意正方体的直观性进行解题四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列满足且，等比数列的首项为2，公比为.（1）若，问等于数列中的第几项？（2）若，数列和的前项和分别记为和，的最大值为，试比较与的大小.【答案】（1）等于数列中的第16项（2）【解析】【分析】（1）先求出等差数列的通项公式，再求出等比数列的通项公式，求出实在代入等差数列通项公式，即可得答案；（2）求出的值，二次函数的性质求出的值，比较大小即可得到答案.【详解】(1)
16、因为等差数列满足，即，所以等差数列的公差，又，得，代入可得，所以.当等比数列的首项为2，公比为.当时，,所以 ,所以当时,解得,即时，等于数列中的第16项.(2)等比数列的首项为2，若,由可得,又等差数列中代入可得:,所以当时，的最大值为,所以.【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式和前项和公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.18.已知,在中,内角,的对边分别为,若.（1）求角;（2）若,求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）因为,可得:,根据正弦定理可得,即可求得答案.（2）由余弦定理:,则,根据三角形面积公式即可求得答案.【详解】（1）
17、 , ,可得:, .由正弦定理:故: , ,.（2）由余弦定理:,当且仅当时,.面积的最大值为:.【点睛】本题主要考查正弦定理,余弦定理解三角形和三角形面积公式,解题关键是利用正弦定理边化角,再利用和角的正弦公式化简所给式子,属于基础题.19.在四棱锥SABCD中，底面ABCD为长方形，SB底面ABCD，其中BS=2，BA=2，BC=，的可能取值为：；=3（1）求直线AS与平面ABCD所成角的正弦值；（2）若线段CD上能找到点E，满足AESE，则可能的取值有几种情况？请说明理由；（3）在（2）的条件下，当为所有可能情况的最大值时，线段CD上满足AESE的点有两个，分别记为E1，E2，求二面角E
18、1SBE2的大小.【答案】（1）（2）可以取，见解析（3）30【解析】【分析】（1）由底面，得即为直线与平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值（2）以为坐标原点，以、的方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，根据得到，再根据的取值范围得到的取值；（3）利用向量法能求出夹角的余弦值，进而求得二面角的大小【详解】（1）因为SB底面ABCD，所以SAB即为直线AS与平面ABCD所成的角，在中，（2）以B为坐标原点，以BC、BA、BS的方向分别为x轴、y轴z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：B(0，0，0)，A(0，2，0)，D(，2，0)，S(0，0，2). 设
19、，所以， 因为x0，2， ，所以在所给的数据中，可以取（3）由（2）知，此时，或，即满足条件的点E有两个，根据题意得，其坐标为和，因为SB平面ABCD，所以SBBE1， SBBE2，所以，E1BE2是二面角E1SBE2的平面角由由题意得二面角E1SBE2为锐角，所以二面角E1SBE2的大小为30【点睛】本题考查线线面角的正弦值、二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展，据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次为了解乘客出行的满
20、意度，现从中随机抽取100人次作为样本得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人概率；（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X以频率作为概率求X的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是 飞机？并说明理由.【答案】（1）（2）见解析（3）乘坐高铁，见解析【解析】【分析】（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知服从二项分布，先计算出随机选取1人
21、次，此人为老年人概率是，所以，即，即可求出的分布列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机【详解】（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）由题意，的所有可能取值为：0，1，2，因为在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是，所以，所以随机变量的分布列为：012故；（3）从满意度的均值来分析问题如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：，乘坐飞机的人满意度均值为：，因为，所以建议甲乘坐高铁
22、从市到市【点睛】本题主要考查分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率模型的判断，属于中档题21.已知函数.（1）求的单调区间与极值；（2）若不等式对任意恒成立，求正实数的取值范围.【答案】（1）单减区间为,的单增区间为,无极大值.（2）【解析】【分析】（1）因为,定义域为,则,即可求得的单调区间与极值;（2）,故,将其化简可得,由（1）知在上单增,即可求得正实数的取值范围.【详解】（1） ,定义域为,又,.的单减区间为,的单增区间为,无极大值.（2） ,故将化简可得: ,.,由（1）知在上单增,即.令,令,则, 在上单减,且在上,
23、单增,在上,单减. .【点睛】本题主要考查导数在函数中综合应用和不等式恒成立问题.对于恒成立问题,通常利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的不等关系式.着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.22.给定椭圆C:(),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率,点在C上.(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程;(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点,过点P作直线,使得,与椭圆C都只有一个交点,且,分别交其“卫星圆”于点M,N,证明:弦长为定值.【答案】(1),;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据题意列出再结合即可解出，从而得到椭圆C的方程
24、和其“卫星圆”方程；(2) 根据分类讨论，当有一条直线斜率不存在时(不妨假设无斜率)，可知其方程为或，这样可求出；当两条直线斜率都存在时，设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，与椭圆方程联立，由可得，所以线段应为“卫星圆”的直径，即，故得证【详解】(1)由条件可得:解得，所以椭圆的方程为，卫星圆的方程为(2)当，中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和，此时经过点且与椭圆只有一个公共点的直线是或，即为或，线段应为“卫星圆”的直径，当，都有斜率时，设点，其中，设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，则，消去y得到，所以，满足条件的两直线，垂直线段应为“卫星圆”的直径，综合知：因为，经过点，又分别交“卫星圆”于点，且，垂直，所以线段是“卫星圆”的直径，为定值【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，两直线垂直的斜率关系的应用，韦达定理的应用，意在考查学生运用分类讨论思想的意识以及数学运算能力，属于中档题
