1、2020-2021学年广东省深圳中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1若复数z满足zi2+i，其中i为虚数单位，则z的虚部为（）A2B2iC2D2i2已知（1，cos），（2，sin），若A、B、C三点共线，则tan的值为（）A2BCD23函数的图象大致为（）ABCD4某地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（）A19%B
2、26%C68%D75%5ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b+c2a，3sinA5sinB，则角C等于（）ABCD6已知ABC中，若，则x+y的值为（）A3B3C1D17如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AD4，BC6，C45，P为线段CD上的动点（包括端点），则的最小值为（）A8B12C20D308设锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，c1，则a2+b2+ab的取值范围为（）AB（1，3CD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9已知函数f（x）Ac
3、os（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，关于此函数的下列描述，其中正确的有（）AA2B2CD若，则f（x1）f（x2）10设ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，下列给出的各组条件能确定三角形有唯一解的是（）Aa6，b5，A30Ba2，b4，A30Ca4，b3，A150Da4，b5，A4511，是夹角为的单位向量，则下列结论中正确的有（）AB|C|Dcos，12设ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列命题正确的有（）A若a2+b2abc2，则B若abc2，则C若a+b2c，则D若a4+b4c4，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13从编号为1，2，3，
4、4的四个大小完全相同的小球中，随机抽取出两个球，则取出的两个球的编号之和小于6的概率为 14如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45，沿倾斜角为30的斜坡前进2千米后到达D处，又测得山顶B的仰角为75，则山的高度BC为 千米15已知向量、的夹角为，且对于任意的tR，都有，则 16如图，边长为1的正三角形ABC的边AC落在直线l上，AC中点与定点O重合，顶点B与定点P重合将正三角形ABC沿直线l顺时针滚动，即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转，当顶点B落在l上，再以顶点B为旋转中心顺时针旋转，如此继续当ABC滚动到A1B1C1时，顶点B运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中，的取值范围为 四、解答题
5、：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知i为虚数单位，复数z2+ai（aR），且（1+2i）z为纯虚数（1）求z及；（2）若，求的模18已知向量，满足，（1）求与夹角的余弦值；（2）若与的夹角为锐角，求实数k的取值范围19在，这三个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答问题：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_（1）求B；（2）若ABC的面积，a3，求sinAsinC的值20某公司为了了解顾客对其旗下产品的满意程度，随机抽取n名顾客进行满意度问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将满意度分为四个等级：调查评分40，50）50
6、，60）60，70）70，80）80，90）90，100满意度等级不满意一般良好满意并绘制如图所示的频率分布直方图已知调查评分在70，80）的顾客为400人（1）求n的值及频率分布直方图中t的值；（2）据以往数据统计，调查评分在60，70）的顾客购买该公司新品的概率为，调查评分在70，80）的顾客购买该公司新品的概率为，若每个顾客是否购买该公司新品相互独立，在抽取的满意度等级为“一般”的顾客中，按照调查评分分层抽取3人试问在抽取的3人中，至少有一人购买该公司新品的概率为多少？（3）该公司设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若顾客满意度评分的均值低于80分，则需要对该公司旗下产品进行调整，否则不
7、需要调整根据你所学的统计知识，判断该公司是否需要对旗下产品进行调整，并说明理由（每组数据以区间的中点值代替）21如图，平面四边形ABCD的对角线相交于四边形内部，AB，BC1，ACCD，ADC（1）若ABC，求sinBCD的值；（2）记ABC，当变化时，求BD长度的最大值22对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（x0）f（x0），则称f（x）为“M类函数”（1）已知函数f（x）x2+x+1，试分别判断f（x）、g（x）是否为“M类函数”，并说明理由；（2）若函数为其定义域上的“M类函数”，求实数m的取值范围参考答案一、单项选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1若复数z满足zi
8、2+i，其中i为虚数单位，则z的虚部为（）A2B2iC2D2i解：zi2+i，z12i，z的虚部为2，故选：A2已知（1，cos），（2，sin），若A、B、C三点共线，则tan的值为（）A2BCD2解：A，B，C三点共线，与共线，sin2cos0，sin2cos，tan2故选：A3函数的图象大致为（）ABCD解：函数的定义域为x|x0，f（x）f（x），即f（x） 是偶函数，排除A，B，由f（x）0，得lg|x|0，得x1或x1，当x1时，f（x）0，排除C，故选：D4某地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血
9、型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（）A19%B26%C68%D75%解：某地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%，现在能为A型病人输血的有O型和A型，故能为病人输血的概率49%+19%68%故选：C5ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b+c2a，3sinA5sinB，则角C等于（）ABCD解：3sinA5sinB，由正弦定理，可得3a5b，a，b+c2a，c，cosC，C（0，）C故选：B6已知ABC中，若，则x+y的值为（）A3B3
10、C1D1解：因为，所以，所以43，若，则x4，y3，x+y1故选：D7如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AD4，BC6，C45，P为线段CD上的动点（包括端点），则的最小值为（）A8B12C20D30解：如上图：过点D作DEBC，垂足为E，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AD4，BC6，C45，DE1，DC设CPx（）（+）+242x+3（x）x（x）x26x+30，（0x），由图象可知，当x时，求得最小值20故选：C8设锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，c1，则a2+b2+ab的取值范围为（）AB（1，3CD解：，整理可得2sinAcoCsinCcosB+sinBc
11、osCsin（B+C）sinA，又sinA0，可得cosC，C（0，），C，又c1，由正弦定理可得，由余弦定理可得1a2+b2ab，可得a2+b2+ab1+2ab1+2sinAsinB1+sinAsin（A）+sin2Acos2A+sin（2A），锐角ABC中，A（，），可得2A（，），sin（2A）（，1，a2+b2+ab+sin（2A）的取值范围为（，3故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9已知函数f（x）Acos（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，关于此函数的下列
12、描述，其中正确的有（）AA2B2CD若，则f（x1）f（x2）解：由函数图像可得当x时，y取得最大值2，可得A2，故A正确；因为（），所以T，2，故B正确；因为当x时，y2，当x时，y0，所以，又因为|，所以，故C错误；因为f（x）2cos（2x），若，可得，又因为f（x）2cos（2x）的对称轴为，所以f（x1）f（x2），故D正确故选：ABD10设ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，下列给出的各组条件能确定三角形有唯一解的是（）Aa6，b5，A30Ba2，b4，A30Ca4，b3，A150Da4，b5，A45解：对于A，因为a6，b5，A30，由正弦定理可得，解得sinB，因为ab
13、，B为锐角，可得三角形有唯一解，故正确；对于B，因为a2，b4，A30，由正弦定理可得，解得sinB1，可得B为直角，可得三角形有唯一解，故正确；对于C，因为a4，b3，A150，由正弦定理可得，解得sinB，因为ab，B为锐角，可得三角形有唯一解，故正确；对于D，因为a4，b5，A45，由正弦定理可得，解得sinB，因为ab，可得B为锐角，也可以为钝角，可得三角形有两解，故错误；故选：ABC11，是夹角为的单位向量，则下列结论中正确的有（）AB|C|Dcos，解：，是夹角为的单位向量，|cos，2222322+0，即不成立，故A错误，|22+4241+4+27，即|，故B正确，3，则|，故C
14、错误，（）2+621+6+，则cos，故D正确，故选：BD12设ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列命题正确的有（）A若a2+b2abc2，则B若abc2，则C若a+b2c，则D若a4+b4c4，则解：由a2+b2abc2，得a2+b2c2ab，则cosC，C（0，），C，故A错误；由abc2，得cosC，当且仅当ab时等号成立C（0，），0C，故B正确；c2a2+b22abcosC，且2ca+b，4c24（a+b）28ab（1+cosC）（a+b）2，得3（a+b）28ab（1+cosC），8ab（1+cosC）12ab，cosC，C（0，），0C，故C正确；由a4+b4c4，
15、得（a2+b2）2a4+2a2b2+b42a2b2+c4c4，a2+b2c2，得cosC0，C（0，），0C，故D正确故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13从编号为1，2，3，4的四个大小完全相同的小球中，随机抽取出两个球，则取出的两个球的编号之和小于6的概率为解：从编号为1，2，3，4的四个大小完全相同的小球中，随机抽取出两个球，基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6个，取出的两个球的编号之和小于6包含的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），共4个，则取出的两个球的编号之和小于6的概率为P故答案
16、为：14如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45，沿倾斜角为30的斜坡前进2千米后到达D处，又测得山顶B的仰角为75，则山的高度BC为2千米解：DAC30，BAC45，ADE150，BDE75，BAD15，ADB135，ABD30，且AD2，在ABD中，根据正弦定理得：，解得，（千米）故答案为：215已知向量、的夹角为，且对于任意的tR，都有，则解：对于任意的tR，都有，2+2t+t2222+2，即（t21）2+（2t+2）0，即（t21）2+（2t+2）|0，即（t21）|+（t+1）0，即|t2+t+1|0，恒成立，则判别式14|（1|）0，即（2|1）20，则2|10，得|，故答案
17、为：16如图，边长为1的正三角形ABC的边AC落在直线l上，AC中点与定点O重合，顶点B与定点P重合将正三角形ABC沿直线l顺时针滚动，即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转，当顶点B落在l上，再以顶点B为旋转中心顺时针旋转，如此继续当ABC滚动到A1B1C1时，顶点B运动轨迹的长度为；在滚动过程中，的取值范围为2解：由题意知，点B的轨迹为两个圆心角为，半径为2的圆弧，故B点轨迹长度为：，设B（x，y）；没滚动前B（0，），所以；第一次滚动后B的纵坐标y2，所以；第二次滚动后B（3，0），所以；第三次滚动后B点纵坐标y2，所以综上，的最大值为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文
18、字说明、证明过程或演算步骤。17已知i为虚数单位，复数z2+ai（aR），且（1+2i）z为纯虚数（1）求z及；（2）若，求的模解：（1）（1+2i）z（1+2i）（2+ai）（22a）+（a+4）i，（1+2i）z为纯虚数，解得a1，z2+i，2i（2），的模为18已知向量，满足，（1）求与夹角的余弦值；（2）若与的夹角为锐角，求实数k的取值范围解：（1）由得22+26即2+96，即1，则cos，即与夹角的余弦值是（2）若与的夹角为锐角，则（）（）0，且与不共线，由（）（）0得22+（12k）k20，即2+12k9k11k+30得k，若与共线，则设x（），则得x2，k，则若与的夹角为锐角，则
19、k且k19在，这三个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答问题：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_（1）求B；（2）若ABC的面积，a3，求sinAsinC的值解：（1）若选，因为，所以由正弦定理可得sinA+sinAcosBsinBsinA，因为sinA0，所以1+cosBsinB，可得sin（B），因为B（0，），B（，），所以B，可得B若选，因为csinBabcosC，由正弦定理得sinCsinBsinAsinBcosCsinBcosC+sinCcosBsinBcosCsinCcosB，因为sinC0，所以得sinBcosB，即tanB，所以B；若选，因为
20、bsinCccos（B），由正弦定理得，sinBsinCsinCcos（B），因为sinC0，所以sinBcos（B）cosB+sinB，即sinBcosB，所以tanB，所以B；（2）ABC的面积Sacsinac3，ac12，a3，c4，由余弦定理可得，b2a2+c22accosB9+162413，b，由正弦定理可得sinAsinC20某公司为了了解顾客对其旗下产品的满意程度，随机抽取n名顾客进行满意度问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将满意度分为四个等级：调查评分40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100满意度等级不满意一般良好满意并绘制如图所示的频
21、率分布直方图已知调查评分在70，80）的顾客为400人（1）求n的值及频率分布直方图中t的值；（2）据以往数据统计，调查评分在60，70）的顾客购买该公司新品的概率为，调查评分在70，80）的顾客购买该公司新品的概率为，若每个顾客是否购买该公司新品相互独立，在抽取的满意度等级为“一般”的顾客中，按照调查评分分层抽取3人试问在抽取的3人中，至少有一人购买该公司新品的概率为多少？（3）该公司设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若顾客满意度评分的均值低于80分，则需要对该公司旗下产品进行调整，否则不需要调整根据你所学的统计知识，判断该公司是否需要对旗下产品进行调整，并说明理由（每组数据以区间的中点值
22、代替）解：（1）由频率分布直方图可得，（t+0.006+0.01+0.02+0.024+9t）101，解得t0.004，因为调查评分在70，80）的顾客为400人，且评分在70，80）的频率为0.02100.2，所以n；（2）调查评分在60，70）的人数与评分在70，80）的人数之比为1：2，因为按照调查评分分层抽取3人，所以评分在60，70）的人数为1，评分在70，80）的人数为2，没有一人购买该公司新品的概率为，故在抽取的3人中，至少有一人购买该公司新品的概率为；（3）由频率分布直方图可得，顾客满意度评分的均值为：450.04+550.06+650.1+750.2+8590.04+950.
23、2480，由题意可知，不需要对该公司旗下产品进行调整21如图，平面四边形ABCD的对角线相交于四边形内部，AB，BC1，ACCD，ADC（1）若ABC，求sinBCD的值；（2）记ABC，当变化时，求BD长度的最大值解：（1）在ABC中，ABC，AB，BC1，由余弦定理AC2AB2+BC22ABBCcosABC7，可得AC，由正弦定理，可得sinACB，所以cosACB，故sinBCDsin（90+ACB）cosACB（2）在ABC中，有AC2AB2+BC22ABBCcosABC，即AC，由，即sinACB，在ACD中，ADC，ACCD，故CD，在BCD中，由余弦定理可得BD2BC2+CD22
24、BCCDcosBCD，即BD21+3（42cos）21CDcos（+ACB）136cos+2CDsinACB136cos+2CD6sincos+1312sin（）+13，因为BD0，故BD2最大时，BD也最大，当sin（）1，即时，BD最大，（BD2）max25，故BDmax522对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（x0）f（x0），则称f（x）为“M类函数”（1）已知函数f（x）x2+x+1，试分别判断f（x）、g（x）是否为“M类函数”，并说明理由；（2）若函数为其定义域上的“M类函数”，求实数m的取值范围解：（1）对于f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（x0）f（x0），即（），此时该方程无解，故f（x）不是“M类函数”；对于g（x），因为g（）2cos（）2，且g（）2cos（）2，所以g（）g（），即存在使得函数g（x）为“M类函数”；（2）设在1，1之间存在x0，满足h（x0）+h（x0）0，则+，令，当且仅当x00时取等号，则，所以，则t222mt60，故有解，故；设在（，1）上存在x0，满足h（x0）+h（x0）0，则，即有解，因为y2x152x1在（，1）上单调递减，则，又，所以实数m的取值范围为