1、9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1已知集合A(x，y)|x，y为实数，且x2y21，B(x，y)|x，y为实数，且xy1，则AB的元素个数为()A4 B3 C2 D1解析法一(直接法)集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0,0)到直线xy1的距离d1r，所以直线与圆相交，故选C.法二(数形结合法)画图可得，故选C.答案C2过圆x2y21上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则|AB|的最小值为()A. B.C2 D3解析 设圆上的点为(x0，y0)，其中x00，y00，则切线方程为x0xy0y1.分别令x0，y0得A(，0)，B(0，)，|AB|2.答案 C3若
2、直线2xya0与圆(x1)2y21有公共点，则实数a的取值范围()A2a2 B2a2Ca Da解析若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有1，解得2a2.答案B4设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|()A4 B4 C8 D8解析设与两坐标轴都相切的圆的方程为(xa)2(ya)2a2，将点(4,1)代入得a210a170，解得a52，设C1(52，52)，则C2(52，52)，则|C1C2|8.答案C5直线ykx3与圆(x2)2(y3)24相交于M、N两点，若|MN|2，则k的取值范围是()A. B.C. D.解析如图，若|MN|2，则由圆与直线
3、的位置关系可知圆心到直线的距离满足d222()21.直线方程为ykx3，d1，解得k.若|MN|2，则k.答案B6若圆(xa)2(yb)2b21始终平分圆(x1)2(y1)24的周长，则a，b满足的关系是()Aa22a2b30Ba2b22a2b50Ca22a2b50Da22a2b50解析 即两圆的公共弦必过(x1)2(y1)24的圆心，两圆相减得相交弦的方程为2(a1)x2(b1)ya210，将圆心坐标(1，1)代入可得a22a2b50.答案C7.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（ ）A B C D答案B二、填空题8已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被圆C截得
4、的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_解析 由题可知，设圆心的坐标为(a,0)，a0，则圆C的半径为|a1|，圆心到直线l的距离为，根据勾股定理可得，()2()2|a1|2，解得a3或a1(舍去)，所以圆C的圆心坐标为(3,0)，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为xy30.答案 xy309过点(1，2)的直线l被圆x2y22x2y10截得的弦长为，则直线l的斜率为_解析将圆的方程化成标准方程为(x1)2(y1)21，其圆心为(1,1)，半径r1.由弦长为得弦心距为.设直线方程为y2k(x1)，即kxyk20，化简得7k224k170，k1或k.答案1或10已知直线xym0与圆x2
5、y22交于不同的两点A、B，O是坐标原点，|，那么实数m的取值范围是_解析 方法1：将直线方程代入圆的方程得2x22mxm220，4m28(m22)0得m24，即2m2.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2m，x1x2，|即|，平方得0，即x1x2y1y20，即x1x2(mx1)(mx2)0，即2x1x2m(x1x2)m20，即2m(m)m20，即m22，即m或m.综合知2m或m2.方法2：根据向量加减法的几何意义|等价于向量，的夹角为锐角或者直角，由于点A，B是直线xym0与圆x2y22的交点，故只要圆心到直线的距离大于或者等于1即可，也即m满足1，即2m或者m2，b2)(1)
6、求证：(a2)(b2)2；(2)求线段AB中点的轨迹方程；(3)求AOB面积的最小值解析 (1)证明：圆的标准方程是(x1)2(y1)21，设直线方程为1，即bxayab0，圆心到该直线的距离d1，即a2b2a2b22ab2a2b2ab2a2b2，即a2b22ab2a2b2ab20，即ab22a2b0，即(a2)(b2)2.(2)设AB中点M(x，y)，则a2x，b2y，代入(a2)(b2)2，得(x1)(y1)(x1，y1)(3)由(a2)(b2)2得ab22(ab)4，解得2(舍去2)，当且仅当ab时，ab取最小值64，所以AOB面积的最小值是32.16已知圆C的方程为x2y24.(1)求
7、过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程；(2)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|2，求直线l的方程；(3)圆C上有一动点M(x0，y0)，(0，y0)，若向量，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线解析(1)显然直线l的斜率存在，设切线方程为y2k(x1)，则由2，得k10，k2，从而所求的切线方程为y2和4x3y100.(2)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，)，这两点的距离为2，满足题意；当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y2k(x1)，即kxyk20，设圆心到此直线的距离为d(d0)，则22，得d1，从而1，得k，此时直线方程为3x4y50，综上所述，所求直线方程为3x4y50或x1.(3)设Q点的坐标为(x，y)，M点坐标是(x0，y0)，(0，y0)，(x，y)(x0,2y0)xx0，y2y0.xy4，x224，即1.Q点的轨迹方程是1，轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆