1、1离散型随机变量及其分布列第1课时离散型随机变量,1随机变量的概念及其表示(1)随机变量的定义：将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量(2)随机变量通常用大写的英文字母表示，如X、Y、等2离散型随机变量随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)随机事件发生前，其结果不能确定，但可能出现的结果能确定()(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个()(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值()答案：(1)(2)(3)210件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()
2、A取到产品的件数B取到正品的概率C取到次品的件数D取到次品的概率解析：选C.对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量3同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为X，则X的所有可能的取值集合为_解析：当硬币全部为正面向上时，X0.硬币反面向上的个数还可能有1个，2个，3个，4个，也可能都反面向上，即5个答案：0，1，2，3，4，54在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件取到次品就停止，抽取次数为X，则X3表示的试验是_答案：共抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品1随机变量与函数的异同随机变量与函数的本质都是映射，只
3、不过在函数概念中，函数的自变量是实数，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验的结果2离散型随机变量与连续型随机变量的区别一般地，如果随机变量可以取某一个区间内的任意一个值，则称这样的随机变量为连续型随机变量对于离散型随机变量而言，它所有可能取的值为有限个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列举出来，而连续型随机变量可取某一区间内的任意值，我们无法对其中的值进行一一列举随机变量的概念判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由(1)北京国际机场候机厅中2017年5月1日的旅客数量；(2)2017年1月1日到6月1日期间所查酒驾的人数；(3)2017年6月1日济南到北京的某
4、次动车到北京站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球半径长解：(1)旅客人数可能是0，1，2，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量(2)所查酒驾的人数可能是0，1，2，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量判断一个试验是否为随机试验的方法判断一个试验是否是随机试验，依据是这个试验是否满足随机试验的三个条件，即(1)试验在相同条件下是否可重复进行； (2)试验的所有可能的结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；(3)每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验
5、前无法预知出现哪个结果1.(1)抛掷一枚均匀骰子一次，下面为随机变量的是()A掷骰子的次数B骰子出现的点数C出现0点的次数D以上都不正确(2)指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由某人射击一次命中的环数；投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值；某个人的属相解：(1)选B.由随机变量的定义可知选项B满足要求(2)某人射击一次，可能命中的环数是0环，1环，10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量一颗骰子投掷两次，所得点数的最小值可以是1，2，3，4，5，6，因此是随机变量属相是人出生时便确定的，不是随机变量离散型随机变量的判定指出下列
6、随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由(1)一个袋中装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；(2)某林场中的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度解：(1)是离散型随机变量因为从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，所以所含白球的个数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义(2)不是离散型随机变量，因为林场中树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30内的一切值，无法一一列举，所以不是离散型随机变量离散型随机变量判定的关键及方法(1)关键：判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出(2)具体方法明确随机
7、试验的所有可能结果将随机试验的试验结果数量化确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是2.指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由(1)白炽灯的寿命X；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差X；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29这一范围内变化，该水位站所测水位X.解：(1)白炽灯的寿命X的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以X不是离散型随机变量(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量(3)不是离散型随机变量因为水位在(0，29这一范围内变化，对水位
8、值我们不能按一定次序一一列出随机变量表示的结果和取值写出下列随机变量可能的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1个球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X.解：(1)X的可能取值为1，2，3，10，Xk(k1，2，10)表示取出第k号球(2)X的可能取值为0，1，2，3，4.Xk表示取出k个红球，4k个白球，其中k0，1，2，3，4.用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的
9、意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果 3.写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和解：(1)设所需要的取球次数为X，则X1，2，3，4，10，11，Xi表示前(i1)次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i1，2，3，4，11.(2)设所取卡片上的数字之和为X，则X3，4，5，11.X3，表示“取出标有1，2的两张
10、卡片”；X4，表示“取出标有1，3的两张卡片”；X5，表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”；X6，表示“取出标有2，4或1，5的两张卡片”；X7，表示“取出标有3，4或2，5或1，6的两张卡片”；X8，表示“取出标有2，6或3，5的两张卡片”；X9，表示“取出标有3，6或4，5的两张卡片”；X10，表示“取出标有4，6的两张卡片”；X11，表示“取出标有5，6的两张卡片”易错警示对随机变量的试验结果表述不全致误一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3个篮球，以X表示取出的篮球的最大号码，则X的试验结果有_种解析从6个球中选出3个球，当X3时，另两个球从1
11、，2中选取，有一种取法；当X4时，另两个球从1，2，3中任取两个球，有C3种；当X5时，另两个球从1，2，3，4中任取两个球，有C6种；当X6时，另两个球从1，2，3，4，5中任取两个球，有C10种所以，X的试验结果共有1361020种答案201解答本题常会得出试验结果有10种的错误结论，错因是忽视了X3，4，5时三种情况，导致漏解2防范措施：(1)正确提取条件信息对题目中给出的条件作出正确判断是解决数学问题的关键，如本例中“以X表示取出的篮球的最大号码”指的是“随机抽取3个篮球”中的最大号码，而不是X6.(2)考虑问题要全面对于问题的解答要全面考虑，尤其在解答随机变量的可能取值时，注意不要漏
12、解，如本例中仅考虑了X6时的情形，却忽略了X3，X4，X5的情况1袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X可能取值的个数是()A6B7C10 D25解析：选C.X的所有可能值有12，13，14，15，23，24，25，34，35，45共10个2某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，则“5”表示试验结果是()A第5次击中目标B第5次未击中目标C前4次均未击中目标D第4次击中目标解析：选C.5表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次，但第5次是否击中，就不一定，因为他只有5发
13、子弹3下列变量中属于离散型随机变量的有_在2 015张已编号的卡片(从1号到2 015号)中任取一张，被取出的编号数为X；从2 015张已编号的卡片(从1号到2 015号)中任取3张，被取出的卡片的号数和X；投掷一颗骰子，六面都刻有6点，所得的点数X.解析：中变量X的所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，中的X的取值是确定的，是6，不是随机变量答案：4某篮球运动员在罚球时，罚中1球得2分，罚不中得0分，该队员在5次罚球中命中的次数是一个随机变量(1)写出的所有取值及每一个取值所表示的结果；(2)若记该队员在5次罚球后的得分为，写出所有的取值及每一个取值所表示的结果解：(1)可取0
14、，1，2，3，4，5.表示在5次罚球中分别罚中0次，1次，2次，3次，4次，5次(2)可取0，2，4，6，8，10.表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分 A基础达标1某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；某人射击2次，击中的环数之和记为X；一个在数轴上随机运动的质点，它离原点的距离记为X.其中是离散型随机变量的是()ABC D都不是解析：选A.中变量X所有可能的取值可以一一列举出来，是离散型随机变量，而中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量2抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为()A0X5，XNB5X0，XZC
15、1X6，XND5X5，XZ解析：选D.两次掷出点数均可取16所有整数，所以X5，5，XZ.3下列变量中，不是离散型随机变量的是()A某教学资源网1小时内被点击的次数B连续不断射击，首次命中目标所需要的射击次数YC某饮料公司出品的饮料，每瓶标量与实际量之差X1D北京“鸟巢”在某一天的游客数量X答案：C4袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为()AX4BX5CX6 DX4解析：选C.第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X6.
16、5掷两颗骰子，所得点数之和为，那么4表示的随机试验结果是()A一颗是3点，一颗是1点B两颗都是2点C两颗都是4点D一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点解析：选D.因为4表示两个骰子之和为4，有(3，1)，(1，3)，(2，2)，即4表示的随机试验结果是一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点，故选D.6给出下列四个命题：某次数学期中考试中，其中一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数是随机变量；黄河每年的最大流量是随机变量；某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量；方程x22x30根的个数是随机变量其中正确的是_解析：是正确的，中方程x22x30的根有2个是确定的，不是随机变
17、量答案：7抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X4”表示的试验结果是_解析：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得5X5，也就是说“X4”就是“X5”所以，“X4”表示两枚骰子中第一枚为6点，第二枚为1点答案：第一枚为6点，第二枚为1点8在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得100分，则这名同学回答这三个问题的总得分的所有可能取值是_解析：若答对0个问题得分300；若答对1个问题得分100；若答对2个问题得分100；若问题全答对得分300.答案：300，100，100，3009判断下列
18、各个变量是否是随机变量，若是，是否是离散型随机变量？(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号码；(2)体积为27 cm3的正方体的棱长解：(1)抽出卡片的号码是不确定的，是随机变量被抽取的卡片号码可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，是离散型随机变量(2)体积为27 cm3的正方体的棱长为3 cm，为定值，不是随机变量10写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量的取值表示的事件(1)在含有5件次品的200件产品中任意抽取4件，其中次品件数X是一个随机变量；(2)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数Y是一个随机变量解：(1)随机变量
19、X的可能取值为0，1，2，3，4.X0，表示“抽取0件次品”；X1，表示“抽取1件次品”；X2，表示“抽取2件次品”；X3，表示“抽取3件次品”；X4，表示“抽取4件次品”(2)随机变量Y的可能取值为0，1，2，3.Y0，表示“取出0个白球，3个黑球”；Y1，表示“取出1个白球，2个黑球”；Y2，表示“取出2个白球，1个黑球”；Y3，表示“取出3个白球，0个黑球”B能力提升11对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为，则k表示的试验结果为()A第k1次检测到正品，而第k次检测到次品B第k次检测到正品，而第k1次检测到次品C前k1次检测到正品，而第k次检测到次品D前k次检测到
20、正品，而第k1次检测到次品解析：选D.由题意，前个均为正品，故k表示前k次检测到正品，第k1次检测到次品12已知Y2X为离散型随机变量，Y的取值为1，2，3，4，10，则X的取值为_解析：由Y2X得XY.因为Y的取值为1，2，3，4，10，所以X的取值为，1，2，3，4，5.答案：，1，2，3，4，513下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果(1)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数X，所含红粉笔的支数Y；(2)离开天安门的距离Y；(3)袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意
21、取出一球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数X.解：(1)X可取1，2，3.Xi表示取出i支白粉笔，3i支红粉笔，其中i1，2，3.Yj表示取出j支红粉笔，3j支白粉笔，其中j0，1，2.(2)Y可取0，)中的数Yk表示离开天安门的距离为k(km)不是离散型随机变量(3)X可取所有的正整数Xi表示前i1次取出红球，而第i次取出白球，这里iN.是离散型随机变量14(选做题)投掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶数为Y.写出随机变量可能的取值，并说明所表示的随机试验结果解：若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点且骰子乙得j点X的可能取值为2，3，4，12.X2表示(1，1)；X3表示(1，2)，(2，1)；X4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；X12表示(6，6)Y的可能取值为2，4，6，8，10，12.Y2表示(1，1)；Y4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；Y6表示(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)；Y12表示(6，6)