1、3组合第1课时组合与组合数公式1组合及组合问题(1)组合一般地，从n个不同的元素中，任取m(mn)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)组合问题有关求组合的个数的问题叫作组合问题2组合数与组合数公式组合数定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法C组合数公式乘积形式C阶乘形式C性质C，C备注nN，mN且mn，规定C11判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)从1，3，5，7中任取两个数相除可以得C个商()(2)C54360.()(3)CC2 017.()答案：(1)(2)(3)2若CC(nN)，则n()A
2、5B7C5或7 D5或6解析：选C.由题意得，2n3n2或2n3n220，即n5或7.3从10名学生中选出2名学生参加一个座谈会，有_种不同的选法解析：这是个组合问题，有C45种不同选法答案：454计算CC_解析：CCCC161 700.答案：161 700排列与组合的区别与联系区别：(1)排列既与取出的元素有关，又与取出元素的排列顺序有关(2)组合的定义看作一件事，一步完成，即从n个不同元素中取出m个不同元素，即取出的m个元素一定，就是一个组合，与取出m个元素的顺序无关联系：ACA.组合的概念判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数(1)10人相互通一次电话，共通多少
3、次电话？(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？(3)从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人中选出3个人为不同学科的课代表，有多少种选法？解：(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为C45.(2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C45.(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组合数为C120.(4)是排列问题因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为A720.判断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分排列与组合的关键是看
4、结果是否与元素的顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关由此可知，定序问题属于组合，即排列时，如果限定某些元素保持规定的顺序，则定序的这n个元素属于组合问题1.判断下列问题是组合问题还是排列问题(1)设集合Aa，b，c，d，e，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价(同一段来回票价相同)?(3)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？解：(1)因为本问题与元素顺序无
5、关，故是组合问题(2)因为甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题(3)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪3人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题组合数公式及其应用(1)计算：CCA；(2)求20C4(n4)C15A中n的值(3)证明：CC.解：(1)原式CA7652102100.(2)204(n4)15(n3)(n2)，即15(n3)(n2)，所以(n5)(n4)(n1)(n4)(n1)n90，即5(n4)(n1)90，所以n25n140，即n2或n7.注意到n1且nZ，所以n2.(3)证明：右边CC左边
6、所以原式成立求证：CC.证明：右边CC左边所以原式成立(1)公式C(nN，mN，mn)一般用于求值计算(2)公式C一般用于化简、证明或m，n较大的计算(3)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即C中的n为正整数，m为自然数，且nm.因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去 2.(1)计算CC的值为_(2)若，则n的取值集合为_解析：(1)因为所以9.5n10.5，因为nN，所以n10，所以CCCC466.(2)由，可得n211n120，解得1n12.又nN，且n5，所以n5，6，7，8，9，10，11答案：(1)466(2)5，6，7，8，9，10，11组合数性质
7、的应用(1)计算CC；(2)化简：CCCCCC；(3)求证：CC2CC.解：(1)CCCC2004 9502005 150.(2)CCCCCCCCCCCCCCCCCCC.(3)证明：由组合数的性质CCC可知，右边(CC)(CC)CCC左边所以原式成立(1)性质“CC”的意义及作用(2)要注意CCC的顺用、逆用及其变形应用顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”；变形一般为CCC，它为某些项相互抵消提供了方便，在解题中要注意灵活运用3.(1)计算CCCC的值为()ACBCCC1 DC1(2)CCCC_解析：(1)CCCCCCCCCCCC1CC1C1.(2)由原式知，n应满足即又nN，所以
8、n6.所以原式CCCCCCC124.答案：(1)C(2)124规范解答组合数方程的解法(本题满分12分)若，求n.解由题意得，n6且nN，2分原方程变形为：1，4分即CC，也即，8分化简整理得：n23n540，10分解得：n9或n6(不合题意，舍去)，所以n9为原方程的解.12分 (1)在处，根据组合数自身的条件求得未知数n的范围，是重要的一步；在处，把已知方程正确地化归为一元二次方程是解答本题的关键；在处，根据处的结果对未知数的取值正确取舍，是易失分点(2)含有组合数的方程的解法1下列几个问题是组合问题的有()从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加两个社区的社会调查，有多少种不同的选法？从
9、甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法？3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ABC D解析：选D.与顺序无关，是组合问题2CCCC的值等于_解析：因为CC，所以CCCC(CC)CC(CC)CCCC.答案：C310个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为_(用数字作答)解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C210种分法答案：210, A基础达标1(CC)A的值为()A6B101C. D.解析：选C.原式(CC)ACA.2由CC可得不相同的值的个数是()A1 B2C3 D4解析：选B.因为所以7x9，又xN，所
10、以x7，8，9.当x7时，CC46；当x8时，CC20；当x9时，CC46.故有两个值3现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是()A90 B115C210 D385解析：选B.依题意根据取法可分为三类：两个黑球，有CC90种；三个黑球，有CC24种；四个黑球，有C1种根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90241115，故选B.4以下三个式子中正确的个数是()C；AnA；CC.A0 B1C2 D3解析：选D.显然正确nAA，正确CC，正确，故选D.5从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法有n种，在这些取法中，若以取出的三条线段为边
11、可组成的钝角三角形的个数为m，则等于()A. B.C. D.解析：选B.任取三条的不同取法有C10种，钝角三角形只有2，3，4和2，4，5两种情况，故n10，m2，.6若A120C，则n_解析：2n(2n1)(2n2)(2n3)，解得n3或n1(舍去)，所以n3.答案：37某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有_种解析：从10人中选派4人有C种方法，对选出的4人具体安排会议有CC种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有CCC2 520种答案：2 5208已知C，C，C成等差数列，则C_解析：因为C，C，C成
12、等差数列，所以2CCC，所以2，整理得n221n980，解得n14，n7(舍去)，则CC91.答案：919(1)已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合(2)已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合解：(1)可按abcd顺序写出，即所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.(2)可按ABACADBCBDCD顺序写出，即所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.10(1)已知6C10A(x7，xN)，求x的值；(2)解不等式CC(n6，nN)解：(1)原方程变为(x7)，即x29x220，解得x
13、111，x22(舍去)，经检验x11符合，所以x的值为11.(2)因为CC，所以所以因为nN，所以n6，7，8，9.所以不等式的解集为6，7，8，9B能力提升11组合数C(nr1，n，rZ)恒等于()A.C B(n1)(r1)CCnrC D.C解析：选D.CC.12若CCC345，则nm_解析：CCC345，得解得m27，n62，故nm35.答案：3513计算：(1)CCCC；(2)CCCCCC.解：(1)原式CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC100334932954718 820.(2)原式CCCCCC2C387168.14(选做题)(1)计算：AAAA；(2)证明：m！m！C.解：(1)原式CACACA(CCC)A，由CCC得CCC.所以CCC，CCC，CCC，CCC，以上各式累加得CCCCCC.所以原式(CCCC)A(CC)A(C1)A333 298.(2)证明：法一：原式左边m！(1CCC)m！(CCCC)m！(CCC)m！(CCC)m！C右边故原式成立法二：运用结论：CCCC，原式左边m！(1CCC)m！(CCCC)m！Cm！C右边故原式成立