1、第一部分 论方法 专题2 数形结合思想 1就是根据问题的需要，可以把数量关系的问题转化成图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质转化为数量关系来研究(偏重数对形的转化)2数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.类型一 函数零点问题【典例 1】(2015湖南)已知函数 f(x)x3，xa，x2，xa.若存在实数 b，使函数 g(x)f(x)b 有两个零点，则 a 的取值范围是_【解析】令(x)x3(xa)，h(x)x2(xa)，函数 g(x)f(x)b 有两个零点，即函数 yf(x
2、)的图像与直线 yb 有两个交点，结合图像可得 ah(a)，即 aa2，解得 a1，故 a(，0)(1，)【答案】(，0)(1，)【对点练 1】(2015天津)已知函数 f(x)2|x|，x2，x22，x2，函数 g(x)bf(2x)，其中 bR，若函数 yf(x)g(x)恰有 4个零点，则 b 的取值范围是()A(74，)B(，74)C(0，74)D(74，2)【解析】由 f(x)2|x|，x2，x22，x2，得f(2x)2|2x|，x0，x2，x0，所以 yf(x)f(2x)2|x|x2，x2.即 yf(x)f(2x)x2x2，x2.yf(x)g(x)f(x)f(2x)b，所以 yf(x)
3、g(x)恰有 4 个零点等价于方程 f(x)f(2x)b0 有 4 个不同的解，即函数 yb 与函数 yf(x)f(2x)的图像有 4 个公共点，由图像可知74b2.【答案】D【典 例2】(2015 山 西 监 测)已 知 函 数f(x)|2x1|，x1，若 f(x1)f(x2)f(x3)(x1，x2，x3 互不相等)，且 x1x2x3 的取值范围为(1,8)，则实数 m 的值为_【解析】作出 f(x)的图像，如图所示，可令 x1x2x3，则由图知点(x1,0)，(x2,0)关于直线 x12对称，所以 x1x21.又 1x1x2x38，所以 2x30.若两条平行直线 6x8ya0 与 3xby
4、110 之间的距离为 a，则函数 g(x)f(x)ln(x2)的零点个数为_【解析】由题意知 a0，则由 6x8ya0 与 3xby110 平行，得 b0，638b，所以 b4.而直线 6x8ya0 可化为 3x4ya20，则由题意，得|11a2|3242a，解得 a2，则函数f(x)x24x2，x0，|2x|，x0.令 g(x)f(x)ln(x2)0，即 f(x)ln(x2)，作出函数 yf(x)与 yln(x2)的图像如图所示由图像易知，yf(x)与 yln(x2)的图像有 4 个交点，所以 g(x)的零点个数为 4.【答案】4类型二 不等式问题【典例 3】(2015北京)如图，函数 f(
5、x)的图像为折线 ACB，则不等式 f(x)log2(x1)的解集是()Ax|1x0 Bx|1x1Cx|1x1 Dx|1x2【解析】把函数 ylog2x 的图像向左平移一个单位得到 ylog2(x1)的图像，x1 时两图像相交，所以不等式的解集为x|11 的解集为()A(2,3)(3，2)B(2，2)C(2,3)D(，2)(2，)【解析】由导函数图像知，当 x0，即 f(x)在(，0)上为增函数；当 x0 时，f(x)1 等价于 f(x26)f(2)或 f(x26)f(3)，即2x260 或 0 x260，b0，作出可行域如图所示令 d a12b2，则 d 的最小值为点(1,0)到直线 a3b
6、10 的距离，此时 dmin|11031|132 210，所以(a1)2b2 的最小值为25，故选 B.【答案】B(2)(2015山东聊城测试)若直线 y2x 上存在点(x，y)满足约束条件xy30，x2y30，xm，则实数 m 的最大值为()A1 B1C.32D2【解析】首先作出约束条件xy30，x2y30，xm，对应的可行域及直线 y2x，如图所示易知，直线 xm 过点 A(1,2)时符合题意，即此时 xm1,1为 m 的最大值【答案】B 类型四 函数的图像【典例 5】(2015安徽)函数 f(x)axbxc2的图像如图所示，则下列结论成立的是()Aa0，b0，c0Ba0，c0Ca0，c0
7、Da0，b0，c0，ybc20，故 a0，又函数图像间断点的横坐标为正，c0，故 c0，故选 C.【答案】C【对点练 5】(2015衡水调研)如图，过单位圆 O 上一点 P作圆 O 的切线 MN，点 Q 为圆 O 上一动点，当点 Q 由点 P 逆时针方向运动时，设POQx，弓形 PRQ 的面积为 S，则 Sf(x)在 x0,2上的大致图像是()【解析】Sf(x)S扇形 PRQSPOQ12(2x)1212sinx12x12sinx，则 f(x)12(cosx1)0，所以函数 Sf(x)在0,2上为减函数，当 x0 和 x2 时，分别取得最大值与最小值又当 x 从 0 逐渐大到 时，cosx 逐渐
8、减小，切线斜率逐渐减小，曲线越来越陡；当 x 从 逐渐增大到 2 时，cosx 逐渐增大，切线斜率逐渐增大，曲线越来越平缓结合选项可知，B 正确【答案】B 类型五 最值问题【典例 6】若 a，b，c 均为单位向量，且 ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.21 B1C.2D2【思路】【解析】设OA a，OB b，OC c，因为|a|b|c|1，所以点 A，B，C 在以 O 为圆心、1 为半径的圆上易知CAac，CBbc，|c|OC|.由(ac)(bc)0，可知CACB0，则2BCA0)，与椭圆方程x210y21 联立得方程组，消掉 x2得 9y212yr2460.令 122
9、49(r246)0，解得 r250，即 r5 2.由题意易知 P，Q 两点间的最大距离为 r 26 2，故选D.【答案】D【对点练 7】(2013江西)过点(2，0)引直线 l 与曲线 y1x2相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于()A.33B 33C 33D 3【解析】根据三角形的面积公式和圆的弦的性质求解由于 y 1x2，即 x2y21(y0)，直线 l 与 x2y21(y0)交于 A，B 两点，如图所示，SAOB12sinAOB12，且当AOB90时，SAOB取得最大值，此时 AB 2，点 O 到直线 l 的距离为 22，则OCB30，所
10、以直线 l 的倾斜角为 150，则斜率为 33.【答案】B 类型六 求参数范围【典例 8】(1)(2015衡水中学调研)若不等式|x2a|12xa1 对 xR 恒成立，则 a 的取值范围是_【解析】作出 y|x2a|和 y12xa1 的简图，依题意知应有 2a22a，故 a12.【答案】(，12(2)关于 x 的方程 1x2kx2 有唯一解，求实数 k 的取值范围【解析】令 y1 1x2，y2kx2，它们分别表示 x 轴上方的半圆及过定点(0,2)的直线系(不包括直线 x0)，欲使方程有一个解，只需保证直线与曲线有一个公共点，如图所示，可得 k的取值范围是k|k2 或 k0.若|f(x)|ax，则 a 的取值范围是()A(，0 B(，1C2,1 D2,0【解析】画出函数|f(x)|的图像，数形结合求解作出函数 y|f(x)|的图像，如图，当|f(x)|ax 时，必有 ka0，其中 k 是 yx22x(x0)在原点处的切线斜率，显然，k2.a 的取值范围是2,0【答案】D