1、第二章 5 第 2 课时一、选择题1下列说法中不正确的是()A图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B奇函数的图像一定过原点C偶函数的图像若不经过原点，则它与 x 轴交点的个数一定是偶数个D图像关于 y 轴呈轴对称的函数一定是偶函数答案 B解析 奇函数的图像不一定过原点，如 y1x，故应选 B.2已知函数 f(x)x4，则其图像()A关于 x 轴对称B关于 y 轴对称C关于原点对称D关于直线 yx 对称答案 B解析 f(x)x4f(x)，函数 f(x)为偶函数，其图像关于 y 轴对称3下列表示具有奇偶性的函数的图像可能是()答案 B4(2014新课标)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为
2、R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数答案 C解析 本题考查复合函数的奇偶性函数 f(x)是奇函数，则函数|f(x)|是偶函数，所以选项 A 得到的函数是奇函数；选项 B、D 是偶函数；所以选 C，一个奇函数和一个偶函数的积在其公共的定义域内是奇函数5函数 f(x)3 xx1，若 f(a)2，则 f(a)()A2B2C1D4答案 D解析 令 g(x)3 xx，则 g(x)为奇函数f(a)g(a)12，g(a)3.f(a)g(a)1g(a)14，故选
3、D.6设 f(x)是奇函数，且在(0，)内是增加的，又 f(3)0，则 f(x)0 的解集是()Ax|3x3Bx|x3 或 0 x3Cx|x3Dx|3x0 或 0 x0 时 f(3)f(3)0，又f(x)在(0，)内是增加的，x(0,3)时 f(x)0，又f(x)为奇函数当 x0 时，只有 x(，3)时，f(x)0，故选 B.二、填空题7已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在区间0，)上是增加的，则 f(2)、f(1)、f(3)的大小关系是_答案 f(1)f(2)f(3)解析 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(2)f(2)，f(3)f(3)，f(x)在0，)上是增加的，且 123，f(1)
4、f(2)f(3)，即 f(1)f(2)0 x1xx0 时，x0，f(x)x(1x)f(x)；当 x0，f(x)x(1x)f(x)；f(x)f(x)故 f(x)是奇函数(5)解法 1：函数的定义域为实数集 R，且f(x)f(x)1x2x11x2x1 1x2x11x2x1 1x22x12 1x22x121x212x2 2x2x2 1x220，f(x)f(x)，故 f(x)在 R 上是奇函数解法 2：当 x0 时，f(x)0，此时fxfx 1x2x11x2x11x2x11x2x1 1x2x1 1x2x1 1x2x1 1x2x1 1x22x12 1x22x122x2x 1，即 f(x)f(x)当 x0
5、 时，f(0)0f(0)f(x)在 R 上为奇函数10已知函数 yf(x)是 R 上的偶函数，且在(，0上是减少的，若 f(a)f(2)，求实数a 的取值范围解析 解法 1：因为 yf(x)在 R 上为偶函数，且在(，0上是减少的，所以 yf(x)在0，)上为增加的 当 a0 时，因为 f(a)f(2)，所以 a2.当 a0 时，因为 f(x)为偶函数，所以 f(2)f(2)又因为 f(a)f(2)，所以 f(a)f(2)而 f(x)在(，0上为减少的，所以 a2.由可得 a2 或 a2.解法 2：因为 f(x)在 R 上为偶函数且在(，0上为减少的，所以 yf(x)在0，)上是增加的因此由
6、f(|a|)f(a)f(2)得|a|2，解得 a2 或 a2.即 a 的取值范围为 a2 或 a2.一、选择题1(2014湖南高考)已知 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f(x)g(x)x3x21，则 f(1)g(1)()A3B1C1D3答案 C解析 f(x)g(x)x3x21，f(x)g(x)x3x21，又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(x)g(x)x3x21，由得 f(x)x21，g(x)x3，f(1)2，g(1)1，f(1)g(1)1.2已知定义域为 R 的函数 f(x)在(2，)上是增加的，且函数 yf(x2)为偶函数，则下列结论不成立的是()Af(
7、0)f(1)Bf(0)f(2)Cf(1)f(2)Df(1)f(3)答案 D解析 函数 yf(x2)为偶函数，令 g(x)f(x2)，g(x)f(x2)g(x)f(x2)，f(x2)f(2x)，函数 f(x)的图像关于直线 x2 对称，又函数 f(x)在(2，)上是增加的，在(，2)上为减函数，利用距对称轴 x2 的远近可知，f(0)f(1)，f(0)f(2)，f(1)f(2)，f(1)f(3)二、填空题3已知 f(x)是奇函数，且当 x0 时，f(x)2x21，那么 f(1)_.答案 1解析 f(x)是奇函数，f(1)f(1)(2121)1.4设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x2
8、)f(x)，又知当 0 x1 时，f(x)x，则 f(7.5)的值为_答案 0.5解析 f(x2)f(x)，f(7.5)f(5.52)f(5.5)f(3.52)f(3.5)f(1.52)f(1.5)f(0.52)f(0.5)，又 f(x)为奇函数，f(0.5)f(0.5)0.5.三、解答题5设定义在2,2上的偶函数 f(x)在区间2,0上单调递减，若 f(1m)f(m)，求实数 m的取值范围分析 已知条件较多，充分利用已知条件：f(1m)f(m)，则 f(|1m|)f(|m|)解析 因为 f(x)在2,2上为偶函数，f(1m)f(m)所以f|1m|f|m|，21m2，2m2，即|1m|m|，2
9、1m2，2m2，解得12m2.6(1)函数 yf(x)是偶函数，且在(，0上是增加的，试比较 f(78)与 f(1)的大小；(2)已知 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)g(x)x2x2，求 f(x)，g(x)的表达式解析(1)178，且函数 yf(x)在(，0上是增加的，f(1)f(78)又yf(x)是偶函数，f(1)f(1)f(1)f(78)(2)由 f(x)g(x)x2x2，得 f(x)g(x)x2x2.f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(x)g(x)x2x2.得 2f(x)2x24，f(x)x22.得 2g(x)2x，g(x)x.7已知函数 f(x)ax21bxc(a、b、cZ)是奇函数，并且 f(1)2，f(2)3，求 a、b、c.分析 根据定义，应使 f(x)f(x)0 对定义域内的任意 x 恒成立的式子即为恒等式解析 f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即 ax21bxcax21bxc，ax21bxcbxcbxcbxc0，即2cax21bxcbxc0.ax21 不恒为 0，c0.又f(1)2，a1b 2.a12b.又f(2)3，4a12b03.将 2ba1 代入上式4a1a1 3，得a2a10.1a2，aZ，a0，或 a1.而 a0，b12与 bZ 矛盾，故舍之a1，b1，c0.