1、吉林省扶余市第二实验学校2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题（B）理注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1某物体的运动方程为，则该物体在
2、时间上的平均速度为（ ）AB2CD62设为可导函数且满足，则在曲线上点处的切线斜率为（ ）ABCD3若函数在上可导，且，则（ ）ABCD以上答案都不对4设曲线在点处的切线方程为，则（ ）A0B1CD25已知函数的定义域为，满足：对任意，都有；对任意且，都有，则函数叫“成功函数”，下列函数是“成功函数”的是（ ）ABCD6如图所示是函数的大致图象，则等于（ ） ABCD7已知函数，则函数零点的个数是（ ）ABCD8设，则，大小关系是（ ）ABCD9若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）ABCD10已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是（ ）ABCD11已知，若，使，则实数的取值范围是
3、（ ）ABCD12若定义在上的函数满足，则不等式 (其中为自然对数的底数)的解集为（ ）ABCD第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点_个 14_15已知函数存在两个极值点，则实数的取值范围是_16若存在过点的直线与函数，的图象都相切，则_ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求经过点的曲线的切线方程 18（12分）已知函数，其中（1）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；（2）讨论函数的单调性 19（12分）设
4、函数，（1）设，求函数的极值；（2）若，试研究函数的零点个数 20（12分）已知函数（1）当时，求的极值；（2）当时，求整数的最大值 21（12分）已知函数，其中（1）讨论的单调性；（2）设函数，当时，若，总有成立，求实数的取值范围 22（12分）已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）令，若存在，且时，证明： 2020-2021学年下学期高二第一次月考卷理科数学（B）答案第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】A【解析】平均速度为，故选A2【答案】B【解析】由，根据导数的定义可得，在曲线上点处的切线斜率，故选B3【答案】C【解
5、析】，图象为开口向上的抛物线，其对称轴方程为，故选C4【答案】D【解析】由题得，则切线的斜率为又，曲线在点处的切线方程为，即又切线方程为，所以比较系数得，解得，所以，故选D5【答案】B【解析】由任意，都有，知是奇函数，由任意且，都有，知是增函数，因为在定义域上是奇函数，但在定义域上不是单增函数，故A错；因为是奇函数，所以在定义域上是增函数，故B正确；因为在定义域是减函数，故C错；因为在上单调递减，故D错，故选B6【答案】C【解析】函数，所以，而，是方程的两根，故选C7【答案】B【解析】，令，得或，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，且当时，令，得或，所以有两个解，有三个解，所以函
6、数零点的个数是5个，故选B8【答案】A【解析】考查函数，则，在上单调递增，即，故选A9【答案】C【解析】当时，所以当时，的最大值为；当时，若时，则在上恒成立，所以在上单调递增，且时，所以函数的最大值不可能为；若时，当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，则，解得，所以；若时，在上恒成立，所以在上单调递减，又当时，所以，所以当时，符合题意，综上，实数的取值范围为，故选C10【答案】C【解析】因为，所以，因为在上是单调减函数，所以，即，所以，当时，恒成立，当时，令，可知双刀函数，在上为增函数，所以，即，所以选C11【答案】A【解析】由题可得：“若，使”等价于：“”，当时，所以在单调递增
7、，所以，当时，所以，解得，故选A12【答案】C【解析】令，则，所以在上单调递增，又因为，所以，即不等式的解集是，故选C 第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13【答案】1【解析】从导函数的图象上可得导数的零点有4个，其中满足零点左侧附近导数小于零且右侧附近导数大于零的零点有1个，故答案为114【答案】【解析】为奇函数，故，设，即，对应半圆的面积为，故，故答案为15【答案】【解析】由题意得，因为函数有两个极值点，所以有两个正数零点由，得，即，令，则，易知函数是减函数，且当时，所以当时，单调递增；当时，单调递减，故，又当时，；当时，所以要使有两个零点，需，即，故答案为16【答案】2【解析】，
8、设直线与函数的图象相切于点，则切线斜率，切线的方程为设直线与函数的图象相切于点，则切线斜率，切线的方程为因为过点的直线与函数，的图象都相切，所以，由（1）得，将代入（3），得，所以，由（2）+（4）得，因为，所以，故答案为 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1）；（2）或【解析】（1），又，曲线在点处的切线方程为，即（2）设切点坐标为，切线方程为，又切线过点，整理得，解得或，经过的曲线的切线方程为或18【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1），曲线在处的切线与直线平行，即，故（2）函数的定义域为，当时，恒成立，故在上单调递增；当时，令
9、，得，方程有两不等实根，令，得或；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增方法二：（常规方法）：讨论的符号当，即时，恒成立，则，在上递增；当，即或时，方程有两不等实根（i）当时，由，知，则恒成立，故在上递增；（ii）当时，由，知，令，得或；令，得，故在、上递增，在上递减综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增19【答案】（1）见解析；（2）1个【解析】（1），当时，恒成立，在上是增函数，无极值；当时，当时，单调递减；当时，单调递增，的极小值，无极大值（2）由（1）知，当时，的
10、极小值，结合的单调性可知，即恒成立，在上是增函数，在中有一个零点，函数的零点个数为1个20【答案】（1）当时，无极值；当时，有极小值，无极大值；（2）1【解析】（1）当时，所以，当时，在为增函数，无极值；当时，由，得；由，得，所以在为减函数，在为增函数当时，取极小值，综上，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值（2）当时，将函数看成以为主元的一次函数，则只需证即可，因为，所以只需，令，所以，令，所以在递增，根据零点存在性定理，使得，即当时，即，为减函数；当时，即，为增函数，所以，故，在递增，所以，又，所以整数的最大值是121【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）的定义域为，且，当时，在上单调递增；当时，由，得；由，得，故在上单调递减，在上单调递增（2）当时，由，得或，当时，；当时，所以在上，而“，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”，而在上的最大值为，所以有，所以实数的取值范围是22【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】（1）的定义域为，当时，；当时，由，得；由，得，综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增（2），由题意知，令，则，在上单调递增，不妨设，令，只需证，只需证，设，则，在递增，即成立，即