1、陆良县2019届高三毕业班第二次适应性考试理科数学试题卷第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合,则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先解出集合中的不等式，得出集合，然后计算即可。【详解】解不等式，得或，所以，集合，集合，因此，故选：B。【点睛】本题考查一元二次不等式的解法以及集合的交集运算，在求解有关无限集合之间的基本运算时，可充分利用数轴来求解，考查计算能力，属于基础题。2.已知复数满足,则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先在等式两边同时除以，利用复
2、数的除法法则得出，然后再根据共轭复数的定义求出复数。【详解】，因此，。故选：C。【点睛】本题考查复数除法的运算法则、复数的模以及共轭复数的定义，根据复数的运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部和虚部，这是解决复数问题的常见方法，考查计算能力，属于基础题。3.设随机变量服从正态分布，若，则的值为（）A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6【答案】B【解析】【分析】根据正态密度曲线的对称轴得出，然后利用正态密度曲线的对称性得出可得出答案。【详解】随机变量服从正态分布，所以，故选：B。【点睛】本题考查正态分布的应用，意在考查正态密度曲线的对称性，属于基础题。4.图1是某学习小组学生数学
3、考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（） A. 10B. 6C. 7D. 16【答案】A【解析】【分析】先弄清楚程序框图中是统计成绩不低于分的学生人数，然后从茎叶图中将不低于分的个数数出来，即为输出的结果。【详解】，成立，不成立，；，成立，不成立，；，成立，成立，；依此类推，上述程序框图是统计成绩不低于分的学生人数，从茎叶图中可知，不低于分的学生数为，故选：A。【点睛】本题考查茎叶图与程序框图的综合应用，理解程序框图的意义，是解本题的关键，考查理解能力，属于中等题。5.已知，且，则 （ ）A. B.
4、 C. D. 【答案】A【解析】分析】先通过已知求出，再利用平方关系求的值.【详解】因为，所以.因为，且，所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查二倍角公式和同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.已知，则的大小关系为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与进行大小比较，得知，再利用换底公式得出、的大小，从而得出三个数的大小关系。【详解】函数在上是增函数，则，函数在上是增函数，则，即，即，同理可得，由换底公式得，且，即，因此，故选：A。【点睛】本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，
5、这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是与，步骤如下：首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系。7.设函数的最小正周期为，且 ，则 ( )A. 在上单调递减B. 在上单调递减C. 在上单调递增D. 在上单调递增【答案】A【解析】【分析】先利用辅助角公式将函数的解析式化为，然后根据题中条件求出与的值，得出函数的解析式，然后分别就与讨论，并求出的范围，结合余弦函数的单调性得出答案。【详解】由于，由于该函数的最小正周期为，得出，又根据，以及，得出因此，若，则，从而在
6、单调递减，若，则，该区间不为余弦函数的单调区间，故都错，正确故选：A。【点睛】三角函数问题，一般都是化函数为形式，然后把作为一个整体利用正弦函数的性质来求求解掌握三角函数公式（如两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角公式，同角关系，诱导公式等）是我们正确解题的基础。8.已知双曲线的左右焦点为,过左焦点作垂直于轴的直线交双曲线的两条渐近线两点，若是钝角，则双曲线离心率的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出、两点的坐标，由为钝角，得出，可得出有关、的齐次不等式，转化为关于、的齐次不等式，解出的取值范围即可。【详解】如下图所示，设双曲线的焦距为，双曲线的渐近线方程为，由题
7、意可知，点、，且点、，为钝角，则，得，所以，故选：B。【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围，对于这类问题，主要是从题中找出有关、的齐次不等式，另外对于角的属性的转化（角的两边不共线），思路如下：为锐角，则；为直角，则；为钝角，则。9.已知正方体的棱长为1，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别取棱、的中点、，证明平面平面，从而动点的轨迹所形成的区域是平面，再求面积得解.【详解】如图，分别取棱、的中点、，则，平面平面，点在正方体内部或正方体的表面上，若平面，动点的轨迹所形成的区域是平面，正方
8、体的棱长为1，到的距离，动点的轨迹所形成的区域面积：故选：【点睛】本题考查动点的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先作出三棱锥的实物图，设的中点为，通过计算得出，可得知点即为三棱锥的外接球球心，为外接球半径，然后利用球体表面积公式可计算出答案。【详解】作出该三棱锥的实物图如下图所示，由三视图可知，平面平面 ，且是以为直角的直角三角形，设线段的中点为点
9、，则平面，且，由于、平面，则，且，是以为直角的直角三角形，且为斜边的中点，所以，为三棱锥外接球的圆心，且其半径为，因此，该三棱锥外接球的表面积为，故选：D。【点睛】本题考查几何体外接球的表面积，解决本题的关键在于计算出相应线段的长度，找出球心的位置，一般而言，充分考查线面关系，计算出相应线段的长度，然后找出合适的模型计算出外接球的半径，是常见的方法，可以避免找球心的位置。11.已知点及抛物线上一动点，则的最小值是（ ）A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】过点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线的准线于点，于是得出，由抛物线的定义得出（为抛物线的焦点），于是得出，利用、三点共线时取到最
10、小值，从而解决该问题。【详解】如下图所示：过点作轴的垂线，垂足为点，设直线交抛物线的准线于点，则，抛物线的焦点为，准线为直线，由抛物线定义得，当且仅当、三点共线时，取等号，因此，的最小值为，故选：C。【点睛】本题考查抛物线上的点到点与直线距离之和的最小值，这类问题的求解思路就是充分利用抛物线的定义，将两段距离转化为位于抛物线异侧两线段和的最小值问题，利用三点共线时取最小值来处理，考查推理能力与计算能力，属于中等题。12.已知关于的方程有2个不相等的实数根，则的取值范围是( ).A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将问题转化为直线与函数的图象有两个公共点问题，并且可发现直线与曲线有
11、一个公共点原点，考虑临界位置，即直线与曲线的图象切于原点时，利用导数求出临界值，结合图象观察直线斜率变化，求出的取值范围。【详解】由，得，令，则问题转化为：当直线与曲线有两个公共点时，求的取值范围。由于，所以，直线与曲线有公共点原点，如下图所示：易知，先考虑直线与曲线切于原点时，的取值，对函数求导得，当直线与曲线切于原点时，结合图象知，当时，直线与函数的左支有两个公共点；考虑直线与曲线切于原点时，的取值，对函数求导得，当直线与曲线切于原点时，结合图象知，当时，直线与函数的右支有两个公共点。因此，实数的取值范围是，故选：A。【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围问题，对于这类问题，一
12、般是转化为两曲线的交点个数问题，本题是转化为直线与曲线有两个公共点，而且有一个明显的公共点，所以要考虑直线与曲线有公共点这个临界位置，并利用导数求出临界位置的参数值，借助图形观察直线斜率的变化，从而求出参数的取值范围，属于难题。第卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13.的展开式中常数项是_。（用数字作答）【答案】60；【解析】【分析】利用二项展开式，得出的指数，令指数为零，求出参数的值，并将参数的值代入可求出这个展开式中的常数项。【详解】的展开式的通项，由，得，所以，常数项为，故答案为：。【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查指定项的系数问题，考查计算能力，属于
13、基础题。14.如图，点是的边上一点，_。【答案】【解析】【分析】由已知及余弦定理可求，结合范围，即可求得，求得，利用正弦定理即可得解的值【详解】，由余弦定理可得：，由正弦定理可得：故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题15.若点（其中）为平面区域内的一个动点，已知点, 为坐标原点，则的最小值为_ 。【答案】13【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部根据题意，将目标函数对应的直线进行平移，由此可得本题的答案【详解】点坐标为，点坐标为，作出不等式组表示的平面区域，得到如图的区域，其中，
14、可得，将直线进行平移，可得当经过点时，目标函数达到最小值，故答案为：13【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的取值范围，着重考查了向量的数量积、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题16.已知函数，若存在实数满足，且，则_。【答案】13【解析】【分析】作出函数的图象，将、转化为直线与曲线的四个交点的横坐标，利用进行去绝对值得出的值，由曲线的对称轴得出的值，再将两个数值相加可得出答案。【详解】作出函数的图象如下图所示：由于，则、可视为直线与曲线有四个交点时，四个公共点的横坐标。由图象可知，由于，则，所以，即，得，由图象知，曲线的图象关于直线对称，所以，因此，故答
15、案为：。【点睛】本题考查函数的零点问题，考查零点的积与和的问题，在求零点积的时候，充分利用绝对值与对数的运算法则，采用去绝对值的办法和对数的运算性质求解；在求零点和的时候，需要考查相应函数的对称性，借助对称性来解题。三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知是各项为正数的等比数列，,数列的前n项和为，.（）求数列的通项公式;（）求证:对任意的，数列 为递减数列.【答案】（）（）见解析【解析】【分析】（）设等比数列的公比为，利用和建立方程组，求出与的值，注意到，再利用等比数列的通项公式可求出数列的通项公式；（）先求出数列的通项公式，并求出数列的前项和，利用作差法得出来说明数
16、列为递减数列。【详解】（）设等比数列的公比为，则， 解得或（舍）， . 所以； 证明：（）因为 ， 所以是以为首项，以2为公差的等差数列. 所以， . 因为 ，因为，所以，所以数列 为递减数列。【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及数列单调性的定义，在证明数列的单调性时，一般有以下几种证法：作差法：，则数列为递增数列；，则数列为常数列；，则数列为递减数列；当数列为正项数列，可采用作商法：，则数列为递增数列；，则数列为常数列；，则数列为递减数列。18.某中学有初中学生1800人，高中学生1200人. 为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读
17、时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（）写出的值；试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（）从阅读时间不足10个小时样本学生中随机抽取3人，并用表示其中初中生的人数，求的分布列和数学期望.【答案】（）,阅读时间不小于30个小时的学生人数约有人（）见解析【解析】【分析】（）由频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，求出的值，并从频率分布直方图求出阅读时间不小于个小时的学生所占的频率，利用总容量乘以该频率可得出阅读时间不小于个小时的学生数；（）先计算出阅读时间不足个小时的样本
18、中初中生和高中生的人数，得出随机变量的取值为、，再利用超几何的计算公式，可列出随机变量的分布列，并计算出随机变量的数学期望。【详解】（）解：。由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名. 因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为，所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有人，同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时学生频率为，学生人数约有人.所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有人；（）解：初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人。同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为人。故的可能取值为1，2，3. 则 ， ，
19、 。所以的分布列为：123所以。【点睛】本题考查频率分布直方图以及超几何分布的分布列和数学期望，关键是要弄清楚随机变量所服从的分布列，再利用相关公式求解。19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，且点是棱的中点，平面与棱交于点（）求证：；（）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值【答案】（）见解析（）【解析】【分析】（）先由结合直线与平面平行的判定定理证明平面，再利用直线与平面平行的性质定理可证明；（）取中点，连接，由平面平面结合平面与平面垂直的性质定理得出平面，并证明，然后建立以为原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，然后利用向量法求出平面与平面所成的锐二面角的余弦值。【详解】证明：
20、（）因为底面是菱形，所以又因为面，面，所以面又因为四点共面，且平面平面，平面所以， 且是棱中点；（）取中点，连接，因为，所以又因为平面平面，且平面平面，所以平面所以在菱形中，因为，是中点，所以 如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系设，则，又因为，点是棱中点，所以点是棱中点 所以,所以设平面的法向量为，则有所以令，则平面的一个法向量为 因为平面，所以是平面的一个法向量 因为， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为。【点睛】本题考查直线与平面平行的性质定理，以及二面角的求法，对于二面角的求解，一般是建立空间直角坐标系，利用向量法来求解，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题。20
21、.设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称.（）求椭圆的方程； （）过右焦点的直线与椭圆相交于两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.【答案】（）（）存在直线为满足题意，详见解析【解析】【分析】（）根据对称性求出点，从而可得出椭圆两焦点的坐标，利用椭圆定义求出的值，结合的值，可求出的值，从而写出椭圆的方程；（）设直线的方程为，可得出直线的方程为，设， 将直线的方程与椭圆的方程联立，消去，得出有关的一元二次方程，并列出韦达定理，同理将直线的方程与椭圆的方程联立可得出点的坐标，由已知条件得出线段与的
22、中点重合，从而可得出有关的方程，求出的值，即可得出直线的方程。【详解】（）解：由点和关于点对称，得， 所以椭圆E的焦点为， 由椭圆定义，得 . 所以 ，. 故椭圆的方程为；（）解：结论：存在直线，使得四边形的对角线互相平行.理由如下：由题可知直线，直线的斜率存在，设直线的方程为，直线的方程为由，消去得， 由题意，可知 ，设， 则， 由消去, 得，由，可知，设，又，则若四边形的对角线互相平行，则与的中点重合，所以，即故所以解得，所以直线为，四边形的对角线互相平分。【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，对于直线与椭圆的综合问题，常采用韦达定理法，本题中注意到四边形为平行四边形，
23、利用两对角线互相平分结合韦达定理进行求解，这是解题的关键，同时在解题中也要注意韦达定理法适用的情形。21.已知函数.（）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；（）求证：当时，函数在定义域上的极小值大于极大值。【答案】（）（）见解析【解析】【分析】（）利用导数求出曲线在点处的切线方程，再将点的坐标代入切线方程可求出实数的值；（）利用导数求出函数在定义域上极大值和极小值，注意极值点所满足的等式，比较两极值与零的大小关系，从而证明结论成立。【详解】解：（）由，得. 所以，.所以由得：.（）当时，令，则. 及随的变化情况如下表： 极小值下面研究在上的极值情况：因为，所以存在实数，使得且时，即，在上递减
24、；时，即，在上递增；所以在上的极小值为，无极大值.下面考查在上的极值情况：当时，；当时，令，则，令因为在上递减，所以，即综上，因为所以存实数且时，即在上递减；时，即在上递增；所以在上的极大值为，无极小值.又因为，且，所以。所以，当时，函数在定义域上的极小值大于极大值.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值，意在考查学生对这些知识的掌握情况，考查分析问题的能力与理解能力，属于难题。请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。22.坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系
25、，已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上（）求的值和直线的直角坐标方程及的参数方程；（）已知曲线的参数方程为，（为参数），直线与交于两点，求的值【答案】（），的直角坐标方程为，的参数方程为：（）【解析】【分析】（）将点的极坐标方程代入直线的极坐标方程可求出的值，然后将直线方程化为普通方程，确定直线的倾斜角，即可将直线的方程表示为参数方程的形式；（）将曲线的参数方程表示普通方程，然后将（）中直线的参数方程与曲线的普通方程联立，得到关于的一元二次方程，并列出韦达定理，根据的几何意义计算出和，于是可得出的值。【详解】解：（）因为点，所以； 由得于是的直角坐标方程为； 的参数方程为： （t
26、为参数） （）由： ，将的参数方程代入得，设该方程的两根为，由直线的参数的几何意义及曲线知， 所以。【点睛】本题考查曲线的极坐标、参数方程与普通方程之间的转化，考查直线参数方程的几何意义，对于这类问题的处理，一般就是将直线的参数方程与普通方程联立，借助韦达定理求解，考查计算能力，属于中等题。23.设函数.（1）证明：；（2）若不等式的解集为非空集，求的取值范围.【答案】（）见解析（）【解析】【分析】（）利用三角不等式消去代数式中的参数，然后利用基本不等式证明；（）将问题转化为，然后将函数表示为分段函数，可求出函数的最小值，再解不等式可求出实数的取值范围。【详解】（） （当且仅当是取等号）（）函数的图象如图所示.当时，依题意：，解得，的取值范围是。【点睛】本题考查绝对值三角不等式、基本不等式证明不等式，以及不等式成立的问题，这类问题一般转化为最值问题来处理，而对于含绝对值的函数，一般利用零点分段法表示为分段函数来求解。