1、全称量词与存在量词 编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；2能准确地使用全称量词和存在量词符号“” “”来表述相关的教学内容；3掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【要点梳理】要点一、全称量词与全称命题全称量词全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“”表示，读作“对任意”.全称命题全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.一般形式：“对中任意一个，有成立”，记作：，（其中为给定
2、的集合，是关于的语句）.要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.要点二、存在量词与特称命题存在量词定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“”表示，读作“存在”.特称命题特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.一般形式：“存在中一个元素，有成立”，记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.要点诠释：（1）一个特称命题中也可以包含多
3、个变量，例如：存在使.（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述要点三、 含有量词的命题的否定对含有一个量词的全称命题的否定全称命题：，的否定：，；从一般形式来看，全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意”的否定为“，”.对含有一个量词的特称命题的否定特称命题：，的否定：，；从一般形式来看，特称命题“，”，它的否定并不是简单地对结论部分进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“，”的否定为“，”.要点诠释：(1) 全称命题的否定
4、是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(2) 命题的否定与命题的否命题是不同的. (3) 正面词：等于、 大于、小于、是、都是、至少一个、至多一个、小于等于 否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、一个也没有、至少两个、大于等于.要点四、全称命题和特称命题的真假判断要判定全称命题“，”是真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明成立；要判定全称命题“，”是假命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得不成立，即举一反例即可.要判定特称命题“，”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得成立即可；要判定特称命题“，”是假命题，必须证明在集合M中，使 成立得元素不存在.【典型例题】类型一：
5、量词与全称命题、特称命题例1.指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号表示.（1） 对任意正实数；（2） 对某个大于10的正整数n，.【解析】（1）命题（1）中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合.命题（1）可以写成“”.（2）命题（2）中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集合.命题（2）可写成“.【总结升华】 判断一个命题是否含有全称量词和存在量词，关键是看命题中是否有“所有”，“任意”，“任何”，“存在”，“有的”，“至少有”等词语，或隐含有这些词语的意思.举一反三：【变式1】判断下列命题是全称
6、命题还是特称命题：（1） 任何一个实数除以1仍等于这个数；（2） 等边三角形的三边相等；（3） 存在实数，使。【答案】（1）全称命题，（2）全称命题，（3）特称命题【高清课堂：全称量词与存在量词395491例1】【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）xR，x2+11； （2）所有素数都是奇数； （3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （4）有些整数只有两个正因数. 【答案】（1）有全称量词“任意”，是全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题；（3）有存在量词“存在”，是特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题。类型二：判断全称命题、特称命题的真假例2.判断下列命题的
7、真假：（1）；（2）.【解析】（1）由于，当时，不成立，故(1)为假命题；（2）由于，当时能使，所以（2）为真命题.【总结升华】（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；（2）要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.举一反三：【变式1】试判断下列命题的真假（1）； （2）； （3）；（4）；（5）；【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）假命题；（5）假命题【变式2】在下列特称命题中假命题的个数是（ ）
8、有的实数是无限不循环小数；有些三角形不是等腰三角形；有的菱形是正方形.A0 B1 C2 D3【答案】A类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定例3.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假.（1）三角形的内角和为180；（2）每个二次函数的图象都开口向下；（3）存在一个四边形不是平行四边形；（4）； （5）.【解析】（1）是全称命题且为真命题.命题的否定：三角形的内角和不全为180，即存在一个三角形，它的内角和不等于180，为假命题.（2）是全称命题且为假命题.命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题.（3）是特称命题且为真命题.命题的
9、否定：所有的四边形都是平行四边形，为假命题.（4）是全称命题且为真命题.由于都有，故，为真命题；：，为假命题（5）是特称命题且为假命题.因为不存在一个实数，使成立，为假命题；：，为真命题.【总结升华】命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题.举一反三：【变式1】写出下列命题的否定，并判断真假.（1）； （2）所有的正方形都是矩形； （3）； （4）至少有一个实数x0，使得.【答案】（1）：（假命题）；（2）：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；（3）：（真命题）； （4）：（真命题）.【高清课堂：全称量词与存在量词395491 例5】【变式2】 “a
10、和b都不是偶数”的否定形式是（ ） （A） a和b至少有一个是偶数 （B） a和b至多有一个是偶数 （C） a是偶数，b不是偶数 （D）a和b都是偶数 .【答案】A类型四：含有量词的命题的应用例4已知，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【解析】 q:x2-2x+1-m20x-(1-m)x-(1+m)0 又m0 不等式的解为1-mx1+m 是的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p是q的充分不必要条件” 不等式的解集是x2-2x+1-m20(m0)的解集的子集. 实数m的取值范围是【总结升华】本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题
11、中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性，使用的技巧与方法是利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.举一反三：【变式1】若命题“xR，使得x2(a1)x10”是真命题，则实数a的取值范围是.【答案】(，1)(3，)【解析】xR，使得x2(a1)x10是真命题(a1)240，即(a1)24，a12或a12，a3或a1.【变式2】已知c0，设命题p：函数ycx为减函数.命题q：当时，函数恒成立.如果p或q为真命题，p且q为假命题.求c的取值范围.【答案】【解析】由命题p知：0c1.由命题q知：，要使此式恒成立，则，即.又由p或q为真，p且q为假知，p、q必有一真一假，当p为真，q为假时，c的取值范围为.当p为假，q为真时，c1.综上，c的取值范围为.版权所有：高考资源网()