1、A级基础巩固1.在ABC中,设AB=c,BC=a,CA=b,若c(c+a-b)0,则ABC是()A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.无法确定其形状解析:由已知,得AB(AB+BC-CA)=AB2AC0,所以A为钝角.所以ABC为钝角三角形.答案:C2.在四边形ABCD中,AB=(12,2),BC=(x,y),CD=(-4,-6).若BCDA,且ACBD,则四边形ABCD的面积为()A.16 B.64 C.32 D.128解析:AD=AB+BC+CD=(x+8,y-4),AC=AB+BC=(x+12,y+2),BD=BC+CD=(x-4,y-6).因为BCDA,且ACBD,DA=-
2、AD,所以y(x+8)-x(y-4)=0,(x+12)(x-4)+(y+2)(y-6)=0,解得x=4,y=-2或x=-12,y=6.所以|AC|=16,|BD|=8或|AC|=8,|BD|=16,所以S四边形ABCD=12|AC|BD|=64.故选B.答案:B3.已知ABC的重心是点G,CA的中点为点M,且A,M,G三点的坐标分别是(6,6),(7,4),（163,83）,则|BC|为()A.410 B.10 C.102 D.210解析:设B(x1,y1),C(x2,y2),由条件可知6+x22=7,6+y22=4,即x2=8,y2=2,所以C(8,2).因为6+8+x13=163,6+2+
3、y13=83,所以x1=2,y1=0,所以B(2,0),所以|BC|=|BC|=(8-2)2+(2-0)2=36+4=210.答案:D4.在ABC中,若13(OA+OB+OC)=OG,则点G是ABC的()A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心解析:因为13(OA+OB+OC)=OG,所以GA-GO+GB-GO+GC-GO=3OG,化简得GA+GB+GC=0,故点G为ABC的重心.答案:D5.如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.解:设AD=a,AB=b,则BD=a-b,AC=a+b.因为|BD|=|a-b|=a2-2ab+b2=1+4-2ab=
4、5-2ab=2,所以5-2ab=4,所以ab=12.因为|AC|2=|a+b|2=a2+2ab+b2=1+4+2ab=6,所以|AC|=6,即AC=6.B级能力提升6.在ABC所在的平面内有一点P,满足PA+PB+PC=AB,则PBC与ABC的面积之比是()A.13 B.12 C.23 D.34解析:由PA+PB+PC=AB,得PA+PB+BA+PC=0,即PC=2AP,所以点P是CA边上的三等分点(靠近点A),如图所示.故SPBCSABC=PCAC=23.答案:C7.在RtABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则|PA|2+|PB|2|PC|2=()A.2 B.4 C.5 D
5、.10解析:将ABC各边及PA,PB,PC均用向量表示,则|PA|2+|PB|2|PC|2=PA2+PB2PC2=(PC+CA)2+(PC+CB)2PC2=2|PC|2+2PC(CA+CB)+AB2|PC|2=AB2PC2-6=42-6=10.答案:D8.ABC是等腰直角三角形,B=90,D是BC边的中点,BEAD,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:ADB=FDC.证明:如图所示,建立直角坐标系,设A(2,0),C(0,2),则D(0,1),所以AD=(-2,1),AC=(-2,2).设F(x,y),由BFAD,得BFAD=0,即-2x+y=0,因为点F在AC上,则FCAC.因为FC=(-
6、x,2-y),所以2(-x)-(-2)(2-y)=0,即x+y=2.由联立得x=23,y=43,所以F（23,43）,DF=（23,13）.因为DC=(0,1),所以DFDC=13.因为DFDC=|DF|DC|cosFDC=53cos ,所以cosFDC=55.因为cosADB=|BD|AD|=15=55,所以cosADB=cosFDC,故ADB=FDC.C级挑战创新9.多空题已知A,B是圆心为C、半径为5的圆上的两点,且|AB|=5,则ACB=60,ACCB=-52.解析:由弦长|AB|=5可知ACB=60,所以ACCB=-CACB=-|CA|CB|cosACB=-52.10.多空题在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则AC与BD的夹角为2;四边形ABCD的面积为5.解析: 由题意知AC,BD为四边形的对角线,且ACBD=1(-4)+22=0,所以ACBD,即AC与BD的夹角为2.所以S四边形ABCD=12|AC|BD|=1212+22(-4)2+22=12520=5.