1、天津市南开区南开中学2020届高三数学下学期第一次月考试题（含解析）一、选择题（共9小题；共45分）1.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合， 故 故答案为C2.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由题意分别判断命题充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由题意，若、的体积不相等，则、在等高处的截面
2、积不恒相等，充分性成立；反之，、在等高处的截面积不恒相等，但、的体积可能相等，例如是一个正放的正四面体，一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以是的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.3.已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若 ，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简，根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出 ，的取值范围，结合的单调性与奇偶性即可得结果.【详解】，是偶函数，又因为在上递减，即，故选A.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，以及指数函数与对数函数的性质，属于综
3、合题. 在比较，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小4.函数的一个单调递增区间是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可.【详解】函数的解析式即：，其单调增区间满足：，解得：，令可得函数的一个单调递增区间为.故选A.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.数列满足：，若数列是等比数列，则的值是（ ）A. 1B. C.D. 【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的定义，可知，根据式子恒
4、成立，可知对应项系数相同，从而求得结果.【详解】数列为等比数列 即：上式恒成立，可知： 本题正确选项：【点睛】本题考查利用等比数列的定义求解参数问题，关键是能够通过对应项系数相同求解出结果.6.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线与双曲线交于两点，且的面积为（为原点），则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出抛物线焦点坐标即得椭圆焦点坐标，可得，由的面积为可得，联立两式求得的值，从而可得结果.【详解】，即焦点为，即焦点为，又的面积为，时，,，得，由得，双曲线的方程为,故选D.【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质以及双曲线的方程与性质，属于中
5、档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.7.设，分别为具有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（ ）A.B.C. 2D. 不确定【答案】C【解析】【分析】由题意首先求得的长度，然后结合勾股定理整理计算即可求得最终结果.【详解】设椭圆、双曲线的长轴长分别为，焦距为，则：，解得：，由勾股定理可得：，即：，整理可得：.故选C.【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、勾股定理、|PF1|PF2|2a，得到a，c的关系8.已知
6、函数的图象过点，且在上单调，把的图象向右平移个单位之后与原来的图象重合，当且时，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】代入点求出，根据平移关系和在上单调，确定，从而得到；找到区间内的对称轴，由对称性可得的值，进而代入求得结果.【详解】过点 ，即又 又的图象向右平移个单位后与原图象重合 在上单调 令，解得，当时，为的一条对称轴又当，且时，本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够通过三角函数的图象平移、周期、特殊点等求解出函数解析式，再利用三角函数的对称性将问题转化为特定角的三角函数值求解.9.已知函数在上的最大值为，若函数有4个零点，则实数的取值范围为A.
7、B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据三次函数单调性确定，再结合函数图象确定实数的取值范围.【详解】因为在R上单调递增，所以,即，作图象，由图象可知，当时有即从而实数的取值范围为选C.【点睛】本题考查函数图象与性质，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题（共6小题；共30分）10.若是复数，则_【答案】【解析】【分析】根据复数除法运算的法则，化简复数，求出它的共轭复数，然后利用复数的乘法运算法则，计算出的值.【详解】【点睛】本题考查了复数的乘法、除法、共轭复数，正确应用运算法则是解题的关键.11.二项式的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值,则展开式中项的系数是_【答案】
8、【解析】【分析】先根据条件确定n值，再根据二项展开式通项公式求结果.【详解】因为仅有第六项的二项式系数取得最大值,所以，因为，所以【点睛】本题考查二项式系数与二项展开式项的系数，考查基本分析与求解能力，属基本题.12.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为_【答案】【解析】【分析】根据在频率直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等进行求解即可.【详解】设中位数为，则有.故答案为：【点睛】本题考查了在频率直方图中求中位数问题，考查了中位数的性质，考查了数学运算能力.13.在平行四边形中，分别是的中点，与交于，则的值是_【答案】【解析】【分析】过点作，交于点，利用平行
9、线的性质，结合平面向量基本定理、平面向量数量积的定义和运算性质进行求解即可.【详解】过点作，交于点，如下图所示：平行四边形中, .因为分别是的中点，所以，由，因为，所以，因此故答案为：【点睛】本题考查了求平面向量数量积的值，考查了平面向量的数量积的定义和运算性质，考查了平面向量基本定理，考查了数学运算能力.14.已知实数满足，则的最小值为_【答案】【解析】 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15.已知函数，函数有四个零点
10、，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】将问题转化为与有四个不同的交点的问题；画出图象后可知，当与在和上分别相切时，两切线斜率之间的范围即为所求的范围，利用导数几何意义和二次函数的知识分别求解出两条切线斜率，从而得到所求范围.【详解】有四个零点等价于与有四个不同的交点当时，当时，；当时，即在上单调递减，在上单调递增 当时，此时由此可得图象如下图所示：恒过，由图象可知，直线位于图中阴影部分时，有四个不同交点即临界状态为与两段图象分别相切当与相切时，可得：当与相切时设切点坐标为，则又恒过，则即，解得： 由图象可知：【点睛】本题考查利用函数零点个数求解参数范围的问题，其中还涉及到导数几何意义的
11、应用、二次函数的相关知识.解决零点问题的常用方法为数形结合的方法，将问题转化为曲线与直线的交点问题后，通过函数图象寻找临界状态，从而使问题得以求解.三、解答题（共5小题；共75分）16.某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通，社区服务，环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生，每名学生必须且只能选择1项（1）求恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率；（2）求“环保宣传”被这4名学生选择的人数的分布列及其数学期望【答案】（1）；（2）的分布列如下表：01234的数学期望为：.【解析】【分析】（1）先计算出基本事件的个数，再计算出恰有2个项目没有被这4名学生选择
12、的基本事件的个数，最后利用古典概型的计算公式进行求解即可；（2）根据题意可知：的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，最后列出分布列计算数学期望即可.【详解】（1）甲、乙、丙、丁4名学生，每名学生必须且只能选择1项，则基本事件的个数为：，2个项目没有被这4名学生选择所含的基本事件的个数为：，因此恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率为：；（2）根据题意可知：的可能取值为0，1，2，3，4，；，所以“环保宣传”被这4名学生选择的人数的分布列如下表：01234所以的数学期望为：.【点睛】本题考查了古典概型的计算公式的应用，考查了排列组合的应用，考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的计
13、算，考查了数学运算能力.17.在四棱锥中，平面，.（1）证明；（2）求二面角的余弦值；（3）设点为线段上一点，且直线平面所成角的正弦值为，求的值.【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，表示直线方法向量，再根据向量数量积为零进行证明（2）先利用方程组解得各面法向量，再根据向量数量积求两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得二面角的余弦值；（3）根据共线关系设点坐标，利用线面角得等量关系，解方程可得的值.试题解析：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，（1），（2），平面的法向量为，平面的法向量为.，二面角的余弦值为.（3），设为直线
14、与平面所成的角，解得（舍）或.所以，即为所求.18.已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.(I)求椭圆的方程;(II)设与圆相切的直线交椭圆于,两点(为坐标原点)，的最大值.【答案】I. ；.2【解析】【分析】I:根据离心率得到，由三角形面积公式得到，进而求出参数值，和方程；：当ABx轴时，当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，根据直线和圆的位置关系得到，由=，借助于韦达定理表示求解即可.详解】I.由题设：两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为，解得椭圆C的方程为 .设1.当ABx轴时， 2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为由已知，得 设三角形
15、OAB的高为h即圆的半径,直线和圆的切点为M点，根据几何关系得到：=，把代入椭圆方程消去y，整理得,有得当且仅当，即时等号成立. 当时， 综上所述【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用19.已知数列满足.（1）设，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）记，求数列的前项和.【答案】（1）（2）（3）【解析】详解
16、】（1）由得，得；（2）易得， 错位相减得所以其前项和；（3）， 或写成.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.20.已知函数.（1）求的极值；（2）证明：时，（3）若函数有且只有三个不同的零点，分别记为，设且的最大值是，证明：【答案】（）见解析（）见解析（）见解析【解析】【分析】（）先求导数，再根据讨论导函数零点情况，最后根据导函数零点以及导函数符号变化规律
17、确定极值，（）作差函数，先利用导数研究导函数单调性，确定导函数零点，再根据导函数符号确定函数最小值，最后根据基本不等式证得结论，（）先利用导数研究有两个零点时，其两个零点对应区间，再令，根据条件用表示，利用导数求其最大值，即得结论.【详解】（）函数的定义域为.由已知可得 （1）当时，故在区间上单调递增； 无极值.（2）当时，由，解得；由，解得所以函数在上单调递增，在上单调递减. 的极大值为，无极小值.（）证明：令，故只需证明.因为所以函数在上为增函数，且，故在上有唯一实数根，且 当时，当时，,从而当时，取得最小值 由，得，即， 故 ，因，所以等于号取不到，即综上，当时， 即（） 函数有且只有三
18、个不同的零点，而是其零点， 函数存在两个零点（不等于），即有两个不等且不等于的实数根可转化为方程在区间上有两个不等且不等于的实数根，即函数的图象与函数的图象有两个交点.， 由，解得，故在上单调递增；由，解得，故在上单调递减；故函数的图象与的图象的交点分别在，上，即的两个根分别在区间，上，的三个不同的零点分别是，且. 令，则由，解得故， -令，则令，则所以在区间上单调递增，即 所以，即区间上单调递增，即，所以，即，【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将问题转化为一元函数，再根据对应函数最值问题加以解决.