1、第三章 3A级基础巩固一、选择题1.如图，边长为2的正方形有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为(B)ABCD无法计算解析由几何概型的公式知：，又S正方形4，S阴影.2在1,2上随机取一个实数，则取到的实数是负数的概率为(A)ABCD1解析1,2的区间长度为3，负数区间为1,0)，长度为1，所求概率P.3.如图所示，ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为(B)AB1CD1解析根据几何概型概率公式所得求概率为P1.故选B4(2019河南开封十中高一月考)如图所示，
2、以边长为1的正方形ABCD的一边AB为直径在其内部作一半圆若在正方形中任取一点P，则点P恰好取自半圆部分的概率为(D)ABCD解析正方形的面积为111，阴影部分由半径为的半圆围成，其面积为()2，点P恰好取自阴影部分的概率P.5在长为10 cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为(B)ABCD解析可以判断属于几何概型记正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间为事件A，那么正方形的边长为5,7内，则事件A构成的区域长度是752(cm)，全部试验结果构成的区域长度是10 cm，则P(A).6已知函数f(x)2x，若从区间
3、2,2上任取一个实数x，则使不等式f(x)2成立的概率为(A)ABCD解析这是一个几何概型，其中基本事件的总数构成的区域对应的长度是2(2)4，由f(x)2可得x1，所以满足题设的基本事件构成的区域对应的长度是211，则使不等式f(x)2成立的概率为.二、填空题7在区间0,5上随机地选择一个数p，则方程x22px3p20有两个负根的概率为 .解析方程x22px3p20有两个负根的充要条件是，即p1，或p2；又因为p0,5，所以使方程x22px3p20有两个负根的p的取值范围为2,5，故所求的概率：；故填：.8点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率
4、为 . 解析如图，点B可落在优弧上，其弧长为2，由几何概型知概率为. 三、解答题9在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5 cm的均匀方格的大桌子上掷直径为2 cm的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水，请问随机掷一个硬币正好完全落入方格的概率有多大？解析如图，边长为5 cm的正方形形成的区域表示试验的所有基本事件构成的区域，当硬币的中心落入图中以3 cm为边长的正方形区域时，则试验成功，所以，随机地投一个硬币正好完全落入方格的概率为P.10用橡皮泥做成一个直径为6 cm的小球，假设橡皮泥中混入了一个很小的砂粒，试求这个砂粒距离球心不小于1 cm的概率解析设“
5、砂粒距离球心不小于1 cm”为事件A，球心为O，砂粒位置为M，则事件A发生，即OM1 cm.设R3，r1，则nR3，mR3r3.P(A)1()31.故砂粒距离球心不小于1 cm的概率为.B级素养提升一、选择题1在区间1,1上随机地任取两个数x、y，则满足x2y2的概率是(A)ABCD解析由于在区间1,1上任取两数x，y有无限种不同的结果，且每种结果出现的概率是均等的，因此，本题为几何概型由条件知1x1，1y1，点(x，y)落在边长为2的正方形内部及边界上，即(x，y)|1x1，1y1，4.记事件A“x2y2”，则A，P(A)，故选A2在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“1log1”发生的概
6、率为(A)ABCD解析由1log(x)1得，log2log(x)log，x2,0x，所以，由几何概型概率的计算公式得，P，故选A二、填空题3在直角坐标系xOy中，设集合(x，y)|0x1,0y1，在区域内任取一点P(x，y)，则满足xy1的概率等于 .解析集合(x，y)|0x1,0y1所表示的平面区域是边长为1的正方形及其内部的点，如图所示，其面积为1，点P所表示的平面区域为等腰直角三角形及其内部的点，其直角边长为1，面积为，则满足xy1的概率为P.4在区间4,8上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_6_.解析|x|m，mxm当m4时，得m5矛盾舍去，当4m8时，由几何概型知，解
7、得m6.三、解答题5(1)向面积为6的ABC内任投一点P，求PBC的面积小于2的概率；(2)在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，求PBC的面积大于的概率解析(1)取ABC边BC上的高AE的三等分点M，过点M作BC的平行线，当点P落在图中阴影部分时，PBC的面积小于2，故概率为.(2)据题意基本事件空间可用线段AB的长度来度量，事件“PBC的面积大于”可用距离A长为AB的线段的长度来度量，故其概率为.6如图所示，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为S，假设正方形ABCD的边
8、长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，求落入M中的点的数目解析记“点落入M中”为事件A，则有P(A)，所以向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，落入M中的点的数目为：10 00025 00.也可由SS直接代入，即S1，S4，n10 000，所以m2 500.答：落入M中的点的数目为2 500.7已知关于x的一元二次方程x22(a2)xb2160.(1)若a、b是一枚骰子掷两次所得的点数，求方程有两正根的概率；(2)若a2,6，b0,4，求方程没有实根的概率解析(1)由题意知，本题是一个古典概型，用(a，b)表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件依题意知，基本事件(a，b)的总数共有36个，一元二次方程x22(a2)xb2160有两正根，等价于，即.设“方程有两个正根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共4个，因此，所求的概率为P(A).(2)由题意知本题是几何概型，试验的全部结果构成区域(a，b)|2a6,0b4，其面积为S()16.满足条件的事件为：B(a，b)|2a6,0b4，(a2)2b216，其面积为S(B)424，因此，所求的概率为P(B).