1、第十章第八节一、选择题1甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A0.12 B0.42 C0.46 D0.88答案D解析P1(10.6)(10.7)0.88.2(2014新课标全国理)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8B0.75 C0.6D0.45答案A解析本题考查条件概率的求法设A“某一天的空气质量为优良”，B“随后一天的空气质量为优良”，则P(B|A)0.8，故选
2、A.3一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量X表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量X的数学期望E(X)()A.BC.D答案D解析X的取值有：3、4、5，P(X3)，P(X4)，P(X5)，E(X)345.4(2014河南豫北六校联考)设是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又E()15，D()，则n与p的值分别为()A60，B60，C50，D50，答案B解析由B(n，p)，得E()np15，D()np(1p)，p，n60.5口袋中有n(nN*)个白球，3个红球依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出
3、的红球不放回；如果取到白球，就停止取球记取球的次数为X.若P(X2)，则n的值为()A5B6C7D8答案C解析由题意知P(X2)，7n255n420，n或7，nN*，n7，故选C.6(2013长沙二模)若离散型随机变量X的分布列为：X01P9c2c38c则常数c的值为()A.或BC.D1答案C解析由分布列的性质知，9c2c38c1，c或.代入09c2c1,038c1，经检验知，c不合题意，舍去故选C.二、填空题7(2013温州调研)已知离散型随机变量X的分布列如下表，若E(X)0，D(X)1，则a_，b_.X1012Pabc答案解析E(X)0，ac0，(1)D(X)1，ac1，(2)又由分布列
4、的性质得，abc1，(3)由(1)、(2)、(3)解得a，b.8(2014浙江嘉兴测试)某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分，答错倒扣5分(每道题都必须回答，但相互不影响)设某学生对每道题答对的概率为，则该学生在面试时得分的期望为_答案解析由题得，该学生有可能答对0,1,2,3道，所以得分可能为15,0,15,30.根据独立试验同时发生的概率计算公式可得，得分可能为15,0,15,30对应的概率分别为P(15)C(1)3()0，P(0)C(1)2()1，P(15)C(1)1()2，P(30)C(1)0()3.所以期望为E()(15)01530.三、解答题9(201
5、5河南八校一联)现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记|XY|，求随机变量的分布列与数学期望E()解析依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i0,1,2,3,4)，则P(Ai)C()i()
6、4i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)C()2()2.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则BA3A4，由于A3与A4互斥，故P(B)P(A3)P(A4)C()3()C()4.所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(0)P(A2)，P(2)P(A1)P(A3)，P(4)P(A0)P(A4).所以的分布列是024P随机变量的数学期望E()024.一、解答题10(2014唐山二模)甲向靶子A射击两次，乙向靶子B射击一次甲每次射击命中靶子的概率为
7、0.8，命中得5分；乙命中靶子的概率为0.5，命中得10分(1)求甲、乙二人共命中一次目标的概率；(2)设X为二人得分之和，求X的分布列和期望解析(1)记事件“甲、乙二人共命中一次”为A，则P(A)C0.80.20.50.220.50.18.(2)X的可能取值为0,5,10,15,20.P(X0)0.220.50.02，P(X5)C0.80.20.50.16，P(X10)0.820.50.220.50.34，P(X15)C0.80.20.50.16，P(X20)0.820.50.32.X的分布列为X05101520P0.020.160.340.160.32X的期望为E(X)00.0250.16
8、100.34150.16200.3213.11(2014天津六校二联)一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6.(1)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；(2)若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；(3)若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列及期望解析(1)设先后两次从袋中取出球的编号为m，n，则两次取球的编号的一切可能结果(m，n)有6636种，其中和为6的结果有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种，则所求概率为.(2
9、)每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率p.所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为Cp2(1p)3()2().(3)随机变量X所有可能的取值为3,4,5,6.P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).所以，随机变量X的分布列为：X3456PE(X)3456.12(2013天津滨海区五校联考)甲、乙两人参加某种选拔测试规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题答对一题加10分，答错一题(不答视为答错)得0分(1)求乙得分的分布列和数学期望；(2)规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中
10、至少有一人通过测试的概率解析(1)设乙的得分为X，X的可能值有0,10,20,30，P(X0)，P(X10)，P(X20)，P(X30)，乙得分的分布列为：X0102030PEX010203015，所以乙得分的数学期望为15.(2)乙通过测试的概率为，甲通过测试的概率为()3C()2，甲、乙都没通过测试的概率为(1)(1)，因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为1.13实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则授予10分降分资格；考核优秀，授予20分降分资格假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、，他们考核所得的等次相互独立(
11、1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望E()解析(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则事件A、B、C是相互独立事件，事件 与事件E是对立事件，于是P(E)1P( )1.(2)的所有可能取值为30,40,50,60.P(30)P( )，P(40)P(A )P(B)P( C)，P(50)P(AB)P(AC)P(BC)，P(60)P(ABC).所以的分布列为30405060PE()30405
12、060.点评1.求复杂事件的概率的一般步骤：(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清各事件之间的关系，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算2直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率14(2013北京海淀期末)某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A，B两个项目可供选择：(1)投资A项目一年后获得的利润X1(万元)的概率分布列如下表所示：X1111217Pa0.4b且X1的数学期望E(X1)12；(2)投资B项目一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情
13、况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0p1)和1p.经专家测算评估：B项目产品价格一年内调整次数X(次)与X2的关系如下表所示：X(次)012X2(万元)4.1211.7620.40(1)求a，b的值；(2)求X2的分布列；(3)若E(X1)E(X2)，则选择投资B项目，求此时p的取值范围解析(1)由题意得解得a0.5，b0.1.(2)X2的可能取值为4.12,11.76,20.40.P(X24.12)(1p)1(1p)p(1p)，P(X211.76)p1(1p)(1p)(1p)p2(1p)2，P(X220.40)p(1p)所以X2的分布列为X24.1211.7620.40Pp(1p)p2(1p)2p(1p)(3)由(2)可得E(X2)4.12p(1p)11.76p2(1p)220.40p(1p)p2p11.76.因为E(X1)E(X2)，所以12p2p11.76，所以0.4p0.6.当选择投资B项目时，p的取值范围是(0.4,0.6)