1、章末复习提升课定积分(1)微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)(2)定积分的性质kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；f(x)dxf(x)dxf(x)dx (其中acb)1利用定积分的几何意义求定积分的两个关注点由直线xa，xb(ab)，x轴及一条曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积设为S，则有：(1)在区间a，b上，若f(x)0，则Sf(x)dx.如图(1)所示，即f(x)dxS.(2)在区间a，b上，若f(x)0，则Sf(x)dx，如图(2)所示，即f(x
2、)dxS.2应用微积分基本定理求定积分的注意事项(1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与原函数F(x)的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法转化为计算原函数F(x)在积分区间上的增量(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F(x)f(x)的原函数F(x)，再计算F(b)F(a)微积分基本定理求下列定积分(1)xndx；(2)(cos xsin x)dx；(3)dx.【解】(1)xndxxn1|1n10n1.(2)(cos xsin x)dx(sin xcos x)(sin 2cos 2)(sin 0cos 0)0.(3)dx(exln x)
3、|(e2ln 2)(e1ln 1)e2eln 2.定积分的几何意义已知函数f(x)ex1，直线l1：x1，l2：yet1(t为常数，且0t1)，直线l1，l2与函数f(x)的图像围成的封闭图形，以及直线l2，y轴与函数f(x)的图像围成的封闭图形如图中阴影部分所示当t变化时，求阴影部分的面积的最小值【解】S1S2(et1ex1)dx(ex1et1)dx (etex)dx(exet)dx(xetex)|(exxet)|(2t3)ete1，取g(t)(2t3)ete1(0t1)，取g(t)0，解得t，当t时，g(t)0，g(t)是减函数，当t时，g(t)0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为
4、ge12e(1)2.故阴影部分面积的最小值为(1)2.定积分的实际应用一点在直线上从时刻t0(s)开始以速度vt24t3(m/s)运动，求：(1)在t4 s时的位置；(2)在t4 s时运动的路程【解】(1)在时刻t4时该点的位置为(t24t3)dt|(m)，即在t4 s时该点距出发点 m.(2)因为v(t)t24t3(t1)(t3)，所以在区间0，1及3，4上的v(t)0，在区间1，3上，v(t)0，所以在t4 s时的路程为s(t24t3)dt(t24t3)dt(t24t3)dt(t24t3)dt(t24t3)dt4(m)1下列等式不成立的是()A. mf(x)ng(x)dxmf(x)dxng
5、(x)dxB. f(x)1dxf(x)dxbaC. f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxD. sin xdxsin xdxsin xdx解析：选C.由定积分的性质知选项A、B、D正确，故选C.2已知f(x)为偶函数且f(x)dx8，则f(x)dx等于()A0 B4C8 D16解析：选D.原式f(x)dxf(x)dx，因为原函数为偶函数，所以在y轴两侧的图像对称，所以对应的面积相等，即f(x)dxf(x)dx8.所以原式16.3设f(x)则f(x)dx等于()A. B.C. D.解析：选A. f(x)dxx2dxdxx3|ln x|.4一辆汽车的速度时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为_解析：由速度时间曲线得v(t)所以汽车在1分钟内行驶的路程为3tdtdtt2150750900 m.答案：900 m5已知f(x)为二次函数，且f(1)2，f(0)0，f(x)dx2.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在1，1上的最大值与最小值解：(1)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb.由f(1)2，f(0)0，得即所以f(x)ax2(2a)又f(x)dxax2(2a)dx|2a2，所以a6，所以c4.从而f(x)6x24.(2)因为f(x)6x24，x1，1，所以当x0时，f(x)min4；当x1时，f(x)max2.