1、2007年高考数学考点预测及题型示例专题讲座（一）总体预测2007年的高考命题既有国家考试中心命题，同时也有部分省市自主命题，但是他们都必须遵循考试大纲的要求。按照“在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，注重展现数学的科学价值和人文价值”的原则，确立以能力立意命题的指导思想。2007年数学科高考题型仍将是选择题、填空题、解答题，整卷设计由易到难，每种题型亦由易到难的编排方式，以充分发挥三种题型的区分选拔功能。选择题侧重于双基的考查，同时贯穿数学思想方法的考查，例如：函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、化归与转化的思想等。对于填空题而言，可能出现
2、开放题或小综合题，主要表现为多项选择、试验发现、归纳猜想等问题。解答题的考查范围较大，不仅形式灵活多样，而且内涵及其丰富，既可在多个层次上考查基本知识、基本技能和基本思想方法，又能深入地考查数学能力和数学素质，在知识点的考查上，解答题主要集中在以下几个方面命题： 三角函数的有关求值问题； 概率的应用； 立体几何中平行与垂直的证明以及角与距离的有关计算问题； 导数的性质及其应用； 平面向量与平面解析几何的综合题； 数列、综合题。在设问方式上，主要采用一题多问，层层推进的方式。设问的起点较低，解题的突破口较易，解答题更加注重在知识网络的交汇点处设计试题。凸现知识在各自的发展过程中的纵向联系和各部分
3、知识之间的横向联系。从2006年的高考试卷中可以看出，新课程高考更加注重考查新教材中的新增内容，例如：简易逻辑，线性规划、向量、概率与统计、导数等，这些内容所占分值比高于该内容所占课时比，这一命题趋势在2007年的高考中将不会改变，并会有所加强。由于2006年全国高考数学试题理科相对简单，可预测2007年理科数学试题的难度将略有提高，但基础题的题量将不会改变，难题主要以解答题压轴题的形式出现，这样才更有利于高校选拔优秀人才，文科试题的难度将与2006年持平。（二）具体考点预测考点1 集合与简易逻辑命题趋势预测：涉及集合与简易逻辑知识的试题将会在2007年的高考中继续以选择题或填空题的形式出现，
4、主要考查集合语言与集合思想的运用，充要条件的判断，四种命题间的关系及其真假判断，以集合语言或逻辑关系为背景的应用性、开放性试题，具有构思巧妙，独特新颖，解法灵活等特点。题型示例：例1 设I是全集，集合P、Q满足，则下面的结论中错误的是（ ）A. B. C. D. 分析：依题意画出文氏图，显然A、B、C均正确答案：D。考点2 函数命题趋势预测： 与映射与反函数的概念有关的试题，仍将以选择题或填空题的形式出现，属于容易题，在复习时不宜作过高要求。 选择题中将有可能涉及到与函数的单调性、奇偶性、周期性、图形的对称性等有关的小综合性试题。 在函数与其他知识的交汇点处命题，仍将是2007年高考命题的亮点
5、之一，如与不等式、导数、数列、解析几何等有关综合题将会以解答题压轴题的形式出现，属于难题，复习时应加大这方面的训练。 单纯函数方面的应用题将不再是高考命题的热点。因为新教材中的线性规划、概率与统计的问题已取代传统高考中的函数应用题，因此，在函数应用题的复习方面不应花过多时间，但要掌握函数模型建立的基本方法，尤其要掌握用均值不等式或导数解决的简单的函数实际应用题。题型示例：例2 设集合，则从A到A的映射中满足的映射的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4分析：映射：共有4种，其中满足条件的3种映射分别是：答案：C。 例3 定义在R上的函数满足，当时，则（ ）A. B. C. D. 分
6、析：本题考查函数的单调性、奇偶性、周期性，属小综合题，在选择题中为难题。设则，由题意知，易知在上是偶函数，并且单调增，在单调减。 ， 。答案：D考点3 平面向量命题趋势预测：向量在高中数学中是连接代数与几何的桥梁。把向量、向量法渗透和融合到其他知识中命题，将是2007年新课程高考数学命题的又一亮点。选择题或填空题将重点考查平面向量共线与垂直的充要条件以及数量积的有关运算。这里既包括向量形式的运算，也包括坐标形式的运算。解答题将与三角函数、不等式、解析几何等知识综合交汇，难度中等。题型示例：例4 已知平面上直线的方向向量，点O（0，0）和A（）在上的射影分别是和，则，其中（ ） A. B. C.
7、 2 D. 分析：由向量在已知向量上射影定义知：。答案：D 例5 已知是非零向量且满足：，则与的夹角是（ ）A. B. C. D. 分析：本题考查向量的数量积的运算。由题可知 考点4 不等式命题趋势预测：选择题或填空题主要考查不等式的基本性质以及一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式的基本解法。若考查指数不等式或对数不等式，则侧重于考查指数函数与对数函数性质的应用。在解答题中，讨论含有字母参数的不等式、证明不等式将与导数、数列、综合在一起考查。题型示例：例6 若，则下列结论中不正确的是（ ）A. B. C. D. 分析：本题考查不等式的性质，由题可知，则、为正，由不等式的性质易知：。答案：
8、D 例7 已知则不等式的解集是 。分析：本题考查用分类讨论的思想解不等式。 当时，即，原不等式等价于，则； 当时，即，原不等式等价于恒成立，。综上可得， 原不等式的解集为。考点5 三角函数命题趋势预测：三角函数在高考中占有一定的比例，但试题难度不大，几乎每年都要考一道大题和一道小题，选择题或填空题主要考查三角函数的基本性质及其应用。例如：三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性以及函数图象的变换。解答题主要考查三角函数的求值问题。求值常考题型：求三角函数式的值，求最值问题，求字母参数，求角的大小。高考中重点考查的公式仍是两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的应用。解题技巧侧重于角的变换。题型
9、示例：例8 若，则（ ）A. B. C. D. 分析：， ， 即。答案：A 例9 在中，分别是角A、B、C的对边，且。（1）求角B的大小；（2）若，求的值。解析：（1）由正弦定理得，得代入，即 A+B+C= 又 角B为三角形的内角 （2）将代入余弦定理，得 或考点6 数列命题趋势预测： 选择题或填空题仍以考查等差数列、等比数列的基本性质以及数列的和计算为主，同时，也考查数列通项公式的求法。解答题主要考查数列的综合应用为主，可能考到的题型有：等差数列和等比数列的综合题，数列、综合题，同时注重在数列与函数、数列与不等式、数列与解析几何等知识网络的交汇点命制试题，具有较强的考查思维能力的功能。 数列
10、中与的关系一直是高考命题的亮点。要掌握在如下三种递推关系下，数列通项公式的求法。即，（）。构造等差或等比数列是解决此类问题的有效方法。 求和问题也是常见的试题。等差数列、等比数列以及可转化为等差、等比数列的求和问题应熟练掌握。另外，还应掌握一些特殊数列的求和方法，例如错位相减法、倒序相加法、裂项求和法。题型示例：例10 设正项等比数列的首项，前项和为，且。（1）求的通项；（2）求的前项和。思路分析：（1）巧妙使用已知条件和等比数列的性质。（2）把的前项和分成一个等差数列，一个等比数列，然后再求和。解：（1）由得即可得因为，所以解得，因而（2）因为是首项、公比的等比数列，故，则数列的前项和前两式
11、相减，得 即点评：本题的关键在于求出公式，然后再求的通项公式，前项和。考点7 直线和圆的方程命题趋势预测： 关于直线的方程、直线的倾斜角、直线的斜率、两点间的距离公式、点到直线的距离公式，都属于基本要求，多以选择题或填空题的形式出现。 对称问题仍是2007年高考命题的亮点之一。要掌握两种基本对称：点关于点的对称，点关于直线的对称问题。把其他的对称问题转化为以上两种形式。 有关直线与直线的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题目出现次数较多，此类题注重考查数形结合的思想。 线性规划属于新课程中的新增内容，由于应用性较强，在2007年的高考中将会有所涉及，但题目的难度不大，与课本中的题
12、目相当，将会以选择题或填空题的形式出现。题型示例：例12 若过定点M（）且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 分析：本题考查直线和圆的位置关系以及数形结合能力，圆：，圆心，当时，有，则A（），则，所以，答案：A 例13 当满足不等式组时，目标函数的最大值为 。分析：本题考查线性规则，目标函数，可看作直线为该直线的截距。求的最大值，即求的最小值，易知，当经过点（4，3）时截距最小，此时最大。 考点8 圆锥曲线方程命题趋势预测： 涉及圆锥曲线方程的试题，既有小综合也有大综合，小综合以选择题或填空题的形式出现，大综合以解答题压轴题的形式出现。 解析几
13、何知识之间纵向联系的试题。此类题重点考查圆锥曲线的几何性质的综合应用，另外，此类题目，有时也以求轨迹的问题出现，题目中含有字母参数，需要依照字母参数的取值范围分类讨论，从而形成直线、圆、椭圆、双曲线或抛物线。 解析几何与其他知识之间横向联系的试题，即解析几何与三角函数、解析几何与平面向量、解析几何与数列等知识的综合题。此类题目以解析几何为主体，渗透了三角函数、平面向量、数列、不等式等知识。解答这类问题，首先要找准解题的突破口，便可迎刃而解。另外，平时要多做些这类综合性较大的试题。题型示例：例14 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两
14、点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；（3）设，过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明。分析：解答本题第（2）问的关键是把用坐标表示，然后再结合韦达定理考虑。解答第（3）问的突破口是求出P或Q的坐标，然后代入。解：（1）由题意，可设椭圆的方程为由已知得，解得， 所求椭圆的方程为，离心率。（2）由（1）可得A（3，0）。设直线PQ的方程为。由方程组，得由题意得 设，则由直线PQ的方程有， 由得 所以直线PQ的方程为或（3），由已知得方程组 解得 ， 而 点评：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法
15、和综合解题能力。考点9 直线、平面、简单几何体命题趋势预测：此部分内容每年高考，一般情况下都有23题。选择题或填空题主要考查线线、线面、面面位置关系的判定及其性质，重点考查平行与垂直。解答题一般有二至三问，题目一般先证明、后求解，通常是先证明平行或垂直问题，然后再求解有关角或距离的计算问题。解决此类问题，既可以用传统方法求解，也可以用向量的有关知识求解。由于近几年高考命题倾向于新教材的内容，因此，同一道立体几何综合题，利用空间向量求解比用传统方法求解相对较易，尤其是确定点的位置或探索性问题，利用空间向量的坐标形式求解更凸现其解法的优越法。常考的几何体有：长方体、正多面体、正三（四）棱锥、正三（
16、四）棱柱以及球体考点10 排列、组合、二项式定理命题趋势预测：每年高考都有12题与排列、组合、二项式定理有关的试题。从难易程度看，与二项式定理有关的试题相对较易，常以求展开式的某一项或某一项系数问题的形式出现，或求所有项、奇数项、偶数项系数和，或求其中的字母参数有关问题。排列、组合的应用题时难时易，且常考常新，有时与概率结合考查。常考题型有：数学问题，人或物的排列问题，选代表或选样品的问题，集合的子集个数问题，染色问题。有时也与平面几何或立体几何图形的性质结合考查。题型示例：例16 某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目播入原节目单中，那么不同的插
17、法种数为（ ）A. 504 B. 210 C. 336 D. 120分析：在排好的6个节目中，增加3个节目，不同的安排方法有：例17 若的展开式中的常数项为84，则 。 分析：本题考查二项式定理的应用。展开式中的第项为：，由， ，又。 考点11 概率命题趋势预测：概率是新课程高考每年必考内容，每年12题，一道小题或一道大题，重点考查五种事件的概率，即随机事件的概率、等可能事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验恰好发生次的概率。求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求值；二是求此事件A的对立事件的概率，然后利用公式
18、可得。为了将较复杂事件分解为若干彼此互斥事件或正确找出其对立事件，需准确理解题意，特别留心“至多”、“至少”、“不超过”、“不少于”等词语的含义。题型示例：18袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p () 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次(i)恰好有3次摸到红球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率 () 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值10解: (I)（i）（ii）（II）设袋子中有个球，则袋子中有2个球由得19某单位组织4个部门的职工旅游，规定每
19、个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的. （）求3个景区都有部门选择的概率； （）求恰有2个景区有部门选择的概率.解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.（I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为（从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A1，那么事件A1的概率为P（A1）=（II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A2和A3，则事件A3的概率为
20、P（A3）=，事件A2的概率为P（A2）=1P（A1）P（A3）=解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为（先从3个景区任意选定2个，共有种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有种不同选法）.所以P（A2）= 例20 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两
21、台机床加工的零件都是一等品的概率为。（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率。分析：由于甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，因此可直接代入公式进行计算。理解清这一点是解决本题的关键。对于本题第（2）问的解答可通过对立事件求解。解：（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件。由题设条件有 即由、得，代入得解得或（舍）将分别代入，可得，即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，。（2）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则故从甲、
22、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为。点评：本题主要考查独立事件以及对立事件的概率计算问题，同时侧重考查用方程的思想解决概率问题。考点12统计命题趋势预测：这部分内容。每年高考必有一道小题或一道大题。由于文、在此内容要求不同，高考所考查的重点也不同，文科重点考查概率的计算及三种抽样方法的识别这部分高考试题，难度与课本题相当。因此，对于这部分内容的复习，要切实做好课本中的题目即可。题型示例：1如图所示是一批产品中抽样得到数据的频率直方图， 由图可看出概率最大时数据所在范围是（ B ）A（8.1，8.3）B（8.2，8.4）C（8.4，8.5）D（8.5，8.7）2一工厂生产了
23、某种产品16800件，它们来自甲乙丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲乙丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 5600 件产品.考点13 导数及其应用命题趋势预测：导数由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数问题提供了一般性的方法，运用它可以简捷地解决一些实际问题。高考在此部分有可能考到题型为：函数的求导问题以及导数几何意义的应用，即求与曲线切线的倾斜角、斜率有关的问题。 应用导数求函数的单调区间，或判断函数的单调性，应用导数求函数的极值或最值。导数与二次函数。不等式方程的关系及求函数的解析式常常联系在一起近几年都有考查要引起高度注意。
24、应用导数解决实际应用题，即从实际问题出发，建立函数模型，应用导数解决实际问题中的最值问题。题型示例：例21 函数在区间内可导，导函数是减函数，且，设，是（1）解：（2）证明：令，则，因此递减，所以递增，因此，当时，当时，0。所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的最小值为0，因此，即。（3）解：，是不等式成立的必要条件。以下讨论设此条件成立。，即对任意成立的充要条件是令，于是对任意成立的充要条件是。由，得当时，；当时，所以，当时，取最小值。因此成立的充要条件是，即。综上，不等式对任意成立的充要条件是 显然，存在、使式成立的充要条件是：不等式 有解，解不等式得 因此，式即为的取值范围，式即为实数
25、与所满足的关系。（文）(2006安徽高考)设函数，已知 是奇函数。 （1）求、的值 （2）求的单调区间与极值(文)（1），.从而 是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（2）由（）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为.(文)曲线y=4xx3在点(1,3)处的切线方程是（ ）Ay=7x+4 By=7x+2 Cy=x4 Dy=x2（文）,所以k切=43(1)2=1,运用直线的点斜式方程得y=4xx3在点(1,3)处的切线方程是y=x2,所以应选D.文）(2006福建高考)已知是二次函数，不等式的解集是且 在区间上的
26、最大值是12。 （1）求的解析式； （2）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由(文)（1）是二次函数，且的解集是可设在区间上的最大值是由已知，得（2）方程等价于方程设则当时，是减函数；当时，是增函数。 方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间 内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根.（05年全国卷）已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为.（）若方程有两个相等的根，求的解析式；（）若的最大值为正数，求的取值范围.解：（）由方程 因为方程有两个相等的根，所以，解得(舍去)或代入得的解析式 （）由及由 解得 故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是
