1、大二轮文大二轮 数学 文2第二编 考前冲刺攻略大二轮 数学 文3第三步 数学思想与方法大二轮 数学 文4第四讲 转化与化归思想大二轮 数学 文51 转化与化归思想的含义转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法，一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题2 转化与化归的常见方法(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题
2、转化为易于解决的基本问题(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题的结论适合原问题大二轮 数学 文6(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于探求(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的问题进行解决(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的
3、结果看作集合 A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集 U，通过解决全集 U 及补集UA 使原问题获得解决，体现了正难则反的原则大二轮 数学 文7类型一 特殊与一般的转化LEIXING例1 2015广东高考在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m22，22，n(sinx，cosx)，x0，2.(1)若 mn，求 tanx 的值；解(1)mn，mn0.故 22 sinx 22 cosx0，tanx1.大二轮 数学 文8(2)若 m 与 n 的夹角为3，求 x 的值解(2)m 与 n 的夹角为3，cosm，n mn|m|n|22 sinx 22 cosx1112，故 sinx4 12.又 x
4、0，2，x44，4，x46，即 x512，故 x 的值为512.大二轮 数学 文9审题过程切入点 由 mn 建立恒等关系，进而得到 tanx 的值；关注点 由 m 与 n 的夹角为3，建立关系式得到 sinx4 12，再根据角的范围，求出符合条件的角大二轮 数学 文10特殊与一般的转化步骤特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法这类转化法一般的解题步骤是：第一步：确立需转化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标第二步：寻找“特殊元素”与“一般元素”：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”；把特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般
5、元素”第三步：确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”，明确其与需要解决问题的关系，确立新的需要解决的问题大二轮 数学 文11第四步：解决新目标问题：在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题第五步：回归目标问题第六步：回顾反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.大二轮 数学 文12模拟演练 1 2015课标全国卷设 Sn是数列an的前 n 项和，
6、且 a11，an1SnSn1，则 Sn_.1n解析 当 n1 时，S1a11，所以1S11.因为 an1Sn1SnSnSn1，所以1Sn 1Sn11，即 1Sn11Sn1，所以1Sn 是以1 为首项，1 为公差的等差数列，所以1Sn(1)(n1)(1)n，所以 Sn1n.大二轮 数学 文13模拟演练 2 已知双曲线 C：x2a2y2b21 的右支上存在一点 P，使得点 P 到双曲线右焦点的距离等于它到直线 xa2c(其中 c2a2b2)的距离，则双曲线 C 离心率的取值范围是()A.(1，2 B 2，)C.(1，21 D 21，)解析 解法一：若离心率 e2，设双曲线为 x2y231，P(x，
7、y)，则右焦点为(2,0)，直线为 x12，依题意有x122(x2)2y2，联立双曲线方程，消去 y，得 12x220 x30，该方程有实根，所以离心率可以取 2，排除 A、D.若离心率 e3，设双曲线为 x2y281，同理，可得离心率不可以取 3，排除 B.大二轮 数学 文14解法二：设双曲线的右焦点 F(c,0)，左焦点 F(c,0)，由双曲线的定义得|PF|PF|2a，又|PF|PF|e，e|PF|PF|2a，|PF|2ae1 2a2caca，ca 21，即 1e 21，故选 C.大二轮 数学 文15类型二 等与不等的转化LEIXING例2 设 f(x)xaex(aR)，xR.已知函数
8、yf(x)有两个零点 x1，x2，且 x10 在 R 上恒成立，可得 f(x)在 R 上单调递增，不合题意a0 时，由 f(x)0，得 xlna.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，lna)lna(lna，)f(x)0f(x)lna1 这时，f(x)的单调递增区间是(，lna)；单调递减区间是(lna，)大二轮 数学 文16于是，“函数 yf(x)有两个零点”等价于如下条件同时成立：()f(lna)0；()存在 s1(，lna)，满足 f(s1)0；()存在 s2(lna，)，满足 f(s2)0，即lna10，解得 0ae1.而此时，取 s10，满足 s1(，lna)，且
9、 f(s1)aa.若存在实数 b，使函数 g(x)f(x)b 有两个零点，则 a 的取值范围是_(，0)(1，)解析 令(x)x3(xa)，h(x)x2(xa)，函数 g(x)f(x)b 有两个零点，即函数 yf(x)的图象与直线 yb 有两个交点，结合图象可得 ah(a)，即 aa2，解得 a1，故 a(，0)(1，).大二轮 数学 文23类型三 正与反的转化LEIXING例3 若对于任意 t1,2，函数 g(x)x3m22 x22x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范围是_373，5解析 g(x)3x2(m4)x2，若 g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则g(x)
10、0 在(t,3)上恒成立或g(x)0 在(t,3)上恒成立由得 3x2(m4)x20，即 m42x3x，当 x(t,3)时恒成立，m42t3t 恒成立，又 t1,2，则 m41，即 m5；由得 m42x3x 当 x(t,3)时恒成立，则 m4239，即 m373.函数 g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为373 m0，则实数 p 的取值范围是_3，32解析 若在1,1内不存在 c 满足 f(c)0，因为 36p2160 恒成立，则f10，f10，即p12或p1，p3或p32.解得 p3 或 p32，取补集得3px2 的区域内，则6k12 12k2，整理得(2k1)(6k
11、22k1)0，解得 k12.因此当 k12时，抛物线 yx2上存在两点关于直线 yk(x3)对称，于是当 k12时，抛物线 yx2 上不存在两点关于直线 yk(x3)对称所以实数 k 的取值范围为12，.故选 D.大二轮 数学 文29类型四 主与次的转化LEIXING例4 已知函数 f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中 f(x)是 f(x)的导函数对满足1a1的一切 a 的值，都有 g(x)0，则实数 x 的取值范围为_23，1解析 由题意知，g(x)3x2ax3a5，令(a)(3x)a3x25，1a1.对1a1，恒有 g(x)0，即(a)0，10，10，即3x2x20，3x2x
12、80，解得23x1.故当 x23，1 时，对满足1a1 的一切 a 的值，都有 g(x)0.大二轮 数学 文30审题过程切入点 变 a 为 g(x)的变量，即(a)(3x)a3x25，1a1.关注点 恒成立问题的求解方法大二轮 数学 文31主与次的转化法合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用在不等式中出现了两个字母：x 及 a，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数显然可将 a 视作自变量，则上述问题即可转化为在1,1内关于 a 的一次函数小于 0 恒成立的问题大二轮 数学 文32模拟演练 7 设 f(x)是定义在 R 上的单调增函数，若 f(
13、1axx2)f(2a)对任意 a1,1恒成立，求 x 的取值范围解 f(x)是 R 上的增函数，1axx22a，a1,1(*)(*)式可化为(x1)ax210 对 a1,1恒成立令 g(a)(x1)ax21.则g1x2x20，g1x2x0，解得 x0 或 x1，即实数 x 的取值范围是(，10，)大二轮 数学 文33模拟演练 8 求函数 f(x)24asinxcos2x 的最大值和最小值解 f(x)24asinx(12sin2x)2sin2x4asinx12(sinxa)212a2.如图所示，设 sinxt，则1t1，并且 yg(t)2(ta)212a2.当 a1 时，如图，有 y 最大g(1
14、)34a，y 最小g(1)34a；当1a1 时，有 y 最小g(a)12a2，y 最大为 g(1)和 g(1)中的较大者，即 y 最大34a(1a0)，或 y 最大34a(01 时，有 y 最大g(1)34a，y 最小g(1)34a.大二轮 数学 文34“化归与转化”还有“数与形的转化、数学各分支之间的转化”等，应用时还应遵循以下五条原则：1 熟悉化原则将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于运用熟知的知识和经验来解答问题2 简单化原则将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据3 和谐化原则转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律大二轮 数学 文354 直观化原则将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决5 正难则反原则当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的可能性总之，化归与转化是高中数学的一种重要思想方法，掌握好化归与转化的思想方法的特点、题型、方法、要素和原则对我们学习数学是非常有帮助的大二轮 数学 文36专项训练