1、主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理1第一编 专题整合突破主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理2专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理3第六讲 高考中的导数综合应用(解答题型)主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理4第二课时 利用导数解决不等式、方程解的问题主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理5热点探究悟道主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理6热点一 利用导数解决不等式的恒成立问题例1
2、2015厦门质检已知函数f(x)4x2x2m在12，f12 处的切线方程为8x9yt0.(mN，tR)(1)求m和t的值；(2)若关于x的不等式f(x)ax89在12，恒成立，求实数a的取值范围解(1)f(x)42x2m16x22x2m28x24m2x2m2，依题意 f12 89，f12 42m1，即24m12m 2 894t9 42m1，mN，m1，t8.点击观看考点视频主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理7mN，m1，t8.(2)解法一：设h(x)ax894x2x21，x12，h12 a2490得a89，h(x)a 48x22x212，当a89时，若x 22，则
3、h(x)a 8x242x2120，若x12，22，设g(x)a 8x242x212，又g(x)16x2x212248x22x214x2x21416x2x232x213 0，g(x)在12，22 增递，且g12 a890，主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理8g(x)0，即h(x)0在12，22 恒成立，由得，当a89时，h(x)a 8x242x2120，h(x)在12，单调递增，h(x)h12 a2490，当a89时，不等式f(x)ax89在x12，恒成立，主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理9当a89时，h12 a2490，不合题意，综
4、上所述a89.解法二：设h(x)ax894x2x21x12，h(x)a 48x22x212，令t2x21t32，则h(x)a4t8t2，令g(t)a4t8t281t241ta81t14212a，当1t23，g(t)取得最小值g32 8232423a89a，主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理10即x12时，h(x)取得最小值89a，当a89时，h(x)89a0，h(x)在12，单调递增，h(x)h12 a2490，当a89时，不等式f(x)ax89在x12，恒成立，当a89时，h12 a2490，不合题意，综上所述a89.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能
5、特训大二轮 数学 理11两招破解不等式的恒成立问题(1)分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围(2)函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值(最值)；第三步：构建不等式求解主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理122015课标全国卷设函数 f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增；(2)若对于任意 x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求 m 的取值范围解(1)证明：f(x)
6、m(emx1)2x.若 m0，则当 x(，0)时，emx10，f(x)0.若 m0，f(x)0；当 x(0，)时，emx10.所以，f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理13(2)由(1)知，对任意的 m，f(x)在1,0单调递减，在0,1单调递增，故 f(x)在 x0 处取得最小值所以对于任意 x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1 的充要条件是f1f0e1，f1f0e1，即emme1，emme1.设函数 g(t)ette1，则 g(t)et1.当 t0 时，g(t)0 时，g(t)0.故 g(t)在(，0)单调
7、递减，在(0，)单调递增又 g(1)0，g(1)e12e1 时，由 g(t)的单调性，g(m)0，即 emme1；当 m0，即 emme1.综上，m 的取值范围是1,1主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理14热点二 利用导数研究方程解的问题例 2 已知函数 f(x)x2bxaln x.(1)当函数 f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y5x50 时，求函数的解析式；(2)在(1)的条件下若 x0 是函数的零点，且 x0(n，n1)，nN*，求 n 的值；(3)当 a1 时，函数 f(x)有两个零点 x1，x2(x10.解(1)因为 f(x)2xbax，所以f1
8、2ba5，f11b0，所以b1，a6，所以函数的解析式为 yx2x6ln x.点击观看考点视频主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理15(2)f(x)x2x6ln xf(x)2x16x2x2x6x.因为函数的定义域为 x0，所以由 f(x)2x3x2x0，得 x32(舍去)，x2.当 x(0,2)时，f(x)0，f(x)单调递增函数 f(x)至少有两个零点，其中 f(1)0，不符合 x(n，n1)，nN*，f(3)6(1ln 3)0，所以 x0(3,4)，所以 n3.(3)证明：当 a1 时，函数 f(x)x2bxln x，f(x1)x21bx1ln x10，f(x2
9、)x22bx2ln x20，两式相减可得 x21x22b(x1x2)ln x1ln x20，bln x1ln x2x1x2(x1x2)f(x)2xb1x，f(x0)2x0b 1x0，因为 x0 x1x22，f(x0)2x1x22ln x1ln x2x1x2(x1x2)2x1x2ln x1ln x2x1x22x1x21x1x2ln x1ln x22x1x2x1x21x1x2ln x1x22x1x21x1x21，设 0 x1x2t0，所以 h(t)在(0,1)上是增函数，且 h(1)0，当 0t1 时，h(t)0，而1x1x20.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理16
10、三步解决方程解(或曲线公共点)的个数问题第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与 x 轴(或直线 yk)在该区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；第三步：结合图象求解主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理172015课标全国卷已知函数 f(x)x3ax14，g(x)ln x.(1)当 a 为何值时，x 轴为曲线 yf(x)的切线；(2)用 minm，n表示 m，n 中的最小值，设函数 h(x)minf(x)，g(x)(x0)，讨论 h(x)零点的个数解(1)设曲线 yf(x)与 x
11、轴相切于点(x0,0)，则 f(x0)0，f(x0)0，即x30ax0140，3x20a0.解得 x012，a34.因此，当 a34时，x 轴为曲线 yf(x)的切线主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理18(2)当 x(1，)时，g(x)ln x0，从而 h(x)minf(x)，g(x)g(x)0，故 h(x)在(1，)上无零点当 x1 时，若 a54，则 f(1)a540，h(1)minf(1)，g(1)g(1)0，故 x1 是 h(x)的零点；若 a54，则 f(1)0，h(1)minf(1)，g(1)f(1)0.所以只需考虑 f(x)在(0,1)上的零点个数若
12、 a3 或 a0，则 f(x)3x2a 在(0,1)上无零点，故 f(x)在(0,1)上单调而 f(0)14，f(1)a54，所以当 a3 时，f(x)在(0,1)上有一个零点；当 a0 时，f(x)在(0,1)上没有零点主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理19若3a0，即34a0，f(x)在(0,1)上无零点；b若 f(a3)0，即 a34，则 f(x)在(0,1)上有唯一零点；c若 f(a3)0，即3a34，由于 f(0)14，f(1)a54，所以当54a34时，f(x)在(0,1)上有两个零点；当334或 a54时，h(x)有一个零点；当 a34或 a54时，
13、h(x)有两个零点；当54a1，函数 f(x)(1x2)exa.(1)求 f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(，)上仅有一个零点；(3)若曲线 yf(x)在点 P 处的切线与 x 轴平行，且在点 M(m，n)处的切线与直线 OP 平行(O 是坐标原点)，证明：m3a2e1.解(1)f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2ex0，故 f(x)是 R 上的单调递增函数，其单调增区间是(，)，无单调减区间(2)证明：因为 f(0)(102)e0a1a0，由零点存在性定理知，f(x)在(，)上至少有一个零点又由(1)知，函数 f(x)是(，)上的单调递增函数，主干知识整合热点
14、探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理21故函数 f(x)在(，)上仅有一个零点(3)证明：设点 P(x0，y0)，由曲线 yf(x)在点 P 处的切线与 x 轴平行知，f(x0)0，即 f(x0)(x01)2ex00，(x01)20，x01，即 P(1,2e1a)由点 M(m，n)处的切线与直线 OP 平行知，f(m)kOP，即(1m)2em2e1a010a2e.由 em1m 知，(1m)3(1m)2ema2e，即 1m3a2e，即 m3a2e1.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理22(1)先得出函数 f(x)的导函数 f(x)(x1)2ex0，从而确
15、定函数 f(x)在 R 上单调递增；(2)先利用函数的零点存在性定理确定至少有一个零点，再利用函数 f(x)的单调性证明其唯一性；(3)先利用导数的几何意义建立等量关系(1m)2ema2e，再借助不等式 m1em 即可证明 m3a2e1.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理23导数综合应用类问题的解题步骤(1)证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步：利用导数证明该函数在该区间上单调第二步：证明端点值异号(2)利用导数证明不等式的基本步骤作差或变形构造新的函数 h(x)利用导数研究 h(x)的单调性或最值根据单调性及最值，得到所证不等式主干知识整合热点探究悟道
16、建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理242015福建高考已知函数 f(x)ln xx122.(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)证明：当 x1 时，f(x)1，当 x(1，x0)时，恒有 f(x)k(x1)解(1)f(x)1xx1x2x1x，x(0，)由 f(x)0 得x0，x2x10.解得 0 x1 52.故 f(x)的单调递增区间是0，1 52.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理25(2)证明：令 F(x)f(x)(x1)，x(0，)则 F(x)1x2x.当 x(1，)时，F(x)1 时，F(x)1 时，f(x)1 满足题意当 k1 时，对于 x1
17、，有 f(x)x1k(x1)，则 f(x)1 满足题意当 k1 时，令 G(x)f(x)k(x1)，x(0，)，主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理26则 G(x)1xx1kx21kx1x.由 G(x)0 得，x2(1k)x10.解得 x11k 1k2421.当 x(1，x2)时，G(x)0，故 G(x)在1，x2)内单调递增从而当 x(1，x2)时，G(x)G(1)0，即 f(x)k(x1)，综上，k 的取值范围是(，1)主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理27建模规范答题主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理
18、28课题7 利用导数证明不等式2015天津高考已知函数f(x)4xx4，xR.(1)求f(x)的单调区间；(2)设曲线yf(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为yg(x)求证：对于任意的实数x，都有f(x)g(x)；(3)若方程f(x)a(a为实数)有两个实数根x1，x2，且x10，即x1时，函数f(x)单调递增；当f(x)1时，函数f(x)单调递减所以，f(x)的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为(1，)(2)证明：设点P的坐标为(x0,0)，则x0413，f(x0)12.曲线yf(x)在点P处的切线方程为yf(x0)(xx0)，即g(x)f(x0)(xx0)令函数F(x
19、)f(x)g(x)，即F(x)f(x)f(x0)(xx0)，则F(x)f(x)f(x0)由于f(x)4x34在(，)上单调递减，故F(x)在(，)上单调递减又因为F(x0)0，所以当x(，x0)时，F(x)0，当x(x0，)时，F(x)0，即x0时，f(x)单调递增；当f(x)0时，f(x)单调递减故f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，)当x0时，f(x)f(0)0，即1xex.令x1n，得11ne，即11nne.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理332已知函数 f(x)x22ax2(a1)ln x.(1)若函数 f(x)有两个极值点，求 a 的
20、取值范围；(2)证明：若1a2.解(1)由题意知，f(x)2xaa1x2x2axa1x(x0)，因为函数 f(x)有两个极值点，所以x2axa1x0 有两个不等的正根，即 x2axa10 有两个不等的正根，所以a24a10a0a10，解得 a22 2，所以 a 的取值范围是(22 2，)主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理34(2)证明：构造函数 g(x)f(x)2xx22ax2(a1)ln x2x，则 g(x)2x2(a1)2a1x 4xa1x 2(a1)4 a12(a1)2 a1(2 a1)由于1a3,0 a10，即 g(x)在(0，)上单调递增，从而当 0 x20，即 f(x1)f(x2)2x12x20，故fx1fx2x1x22；当 0 x12.综上，对于任意的 x1，x2(0，)，x1x2，有fx1fx2x1x22.主干知识整合热点探究悟道建模规范答题适考素能特训大二轮 数学 理35适考素能特训