1、3全称量词与存在量词31全称量词与全称命题32存在量词与特称命题1全称量词与全称命题(1)全称量词“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词(2)全称命题含有全称量词的命题，叫作全称命题在数学中，常有一些含有变量x的语句，如通常用p(x)，q(x)，表示这些含有变量的语句若变量x的取值范围用A表示，那么同一个全称命题，可以有下列五种不同的表述方法：所有的xA，使p(x)成立；对一切xA，使p(x)成立；对每一个xA，使p(x)成立；任意一个xA，使p(x)成立；若xA，则p(x)成立2存在量词与特称命题(1)存在量词“有些”“至少
2、有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词(2)特称命题含有存在量词的命题，叫作特称命题类似全称命题，同一个特称命题，可以有下列五种不同的表述方法：存在xA，使p(x)成立；至少有一个xA，使p(x)成立；对有些xA，使p(x)成立；对某个xA，使p(x)成立；有一个xA，使p(x)成立 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词()(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”()(3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词()答案：(1)(2)(3) 下列命题中全称命题的个数是()任意一个
3、自然数都是正整数；有的等差数列也是等比数列；三角形的内角和是180.A0B1C2D3答案：C 下列命题中假命题的是()A对任意的xR，2x0B存在xR，tan x1C存在xR，lg x0解析：选D.对于D：当x1时，(x1)20，故D为假命题 命题“有些长方形是正方形”含有的量词是_，该量词是_量词(填“全称”或“存在”)答案：有些存在 指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假(1)对任意实数x1，x2，若x1x2，则tan x1tan x2；(2)存在xR，使x210；(3)存在TR，使|sin(xT)|sin x|；(4)对任意x3，5，7，3x1是偶数解：(1)命题中含
4、有全称量词“任意”，故为全称命题，又存在x10，x2，x1x2但tan 0tan ，故命题为假命题(2)特称命题，又任意xR，都有x210，故命题为假命题(3)特称命题，又存在T，使得|sin(x)|sin x|，故命题为真命题(4)全称命题，又将3，5，7分别代入3x1，得10，16，22都是偶数，故命题为真命题1理解全称命题及特称命题时应注意的问题(1)全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”(2)有些命题省去了全称量词，但仍是全称命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”(3)特称命题就是陈述某集合中存在
5、一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“有的”“存在”等2全称命题与特称命题的区别(1)全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”(2)特称命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分” 全称命题及其真假判断判断下列命题是否为全称命题，并判断它们的真假(1)对于任意的正数a，都有函数ylogax是增函数；(2)对于每一个有理数x，都有x2x1是有理数；(3)终边相同的角的正弦值相等解(1)(2)(3)都是对变量集合中的所有元素具有的某种性质作出了判断，故它们都是全称命题当a时，(1)不正确，故(1)为假命题；由有理数的
6、运算性质知(2)为真命题；由诱导公式知(3)为真命题(1)判断全称命题主要根据定义来判断，对于省略了全称量词的命题应根据命题的实际意义来判断(2)要证明全称命题为真必须证明对任意的xM，p(x)成立；要证明全称命题为假，只需找到一个xM，p(x)不成立即可 1.判断下列命题是否为全称命题，并判断它们的真假(1)梯形的对角线相等；(2)过两条平行线有且只有一个平面；(3)对任意实数x1，x2，若x1x2，则tan x1tan x2.解：(1)此命题省略了“所有的”，完整的表述应为“所有梯形的对角线都相等”，很显然为全称命题且是假命题，如直角梯形的对角线不相等(2)此命题是“过任意两条平行线有且只
7、有一个平面”的意思，为全称命题它可由公理“经过不共线三点有且只有一个平面”直接证明，所以它是真命题(3)此命题是全称命题，存在x10，x2，虽然x1x2，但是tan x1tan x2，故该命题为假命题特称命题及其真假判断判断下列命题是否为特称命题，并判断它们的真假(1)存在一个xR，使x2x10；(2)至少有一个xx|x是无理数，x2是无理数；(3)存在一个四边形有外接圆解(1)(2)(3)都是叙述某集合至少存在一个元素具有某种性质，它们都是特称命题其中(1)是假命题，因为对任意的xR，x2x10；(2)是真命题，当x时，x2()22是无理数；(3)是真命题，一个四边形对角互补时，它有外接圆，
8、否则它就没有外接圆(1)判断特称命题主要是利用定义，关键看命题是不是对某集合内的一个或部分(而不是全部)元素的性质作出判断(2)要判断特称命题为真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使得p(x)成立即可；要判断特称命题为假命题，必须说明集合M中不存在元素x，使得p(x)成立 2.判断下列命题是否为特称命题，并判断它们的真假(1)有的素数是偶数；(2)公比小于零的数列可以是递减数列解：(1)(2)均是特称命题，其中：(1)是真命题，如2是素数又是偶数；(2)是假命题，因为当公比小于零时，等比数列是摆动数列由含量词的命题求参数对于任意实数x，不等式sin xcos xm恒成立，求实数m的取值范围
9、解令ysin xcos x，xR，则ysin xcos xsin，因为对任意xR，sin xcos xm恒成立，所以只要mm有解”，求实数m的取值范围解：令ysin xcos x，xR，因为ysin xcos xsin，又因为存在xR，sin xcos xm有解，所以只要m0D对任意的xR，3x0解析：选C.对于C，当x0时，x20，故选项C为假命题3已知命题p：对任意的xR，x22xa0.若p为真命题，则实数a的取值范围是()A(1，)B(，1)C1，)D(，1解析：选B.依题意不等式x22xa0对xR恒成立，所以必有44a0，解得a2解析：选B.A，C为全称命题；对于B，当x0时，x200
10、，正确；对于D，显然错误3下列命题中是全称命题并且是真命题的是()A每一个二次函数的图像都开口向上B存在一条直线与两个相交平面都垂直C存在一个实数x，使x23x60D对任意c0，若abc，则ab解析：选D.对A当二次项系数小于零时不成立，A为假命题；B、C均为特称命题故选D.4下列命题是假命题的为()A存在xR，lg ex0B存在xR，tan xxC任意x，cos xD任意xR，exx1解析：选D.对A，x0时成立，为真命题；对B，当x0时成立，为真命题；对C，因为x，cos x0，0sin x1，所以cos x，为真命题，故选D.5已知正四面体ABCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个
11、命题中正确的是()A对任意的FBC，EFADB存在FBC，EFACC对任意的FBC，EFD存在FBC，EFAC解析： 选A.因为ABD为等边三角形，E为AD中点，AD平面BCE，故ADEF.6“对于任意的xZ，2x1是整数”的逆命题是_答案：若2x1是整数，则xZ7若对任意的xR，f(x)(a21)x是减函数，则a的取值范围是_解析：依题意有：0a211a1或1a.答案：(，1)(1，)8若“对任意x，tan xm”是真命题，则实数m的最小值为_解析：由题意，原命题等价于tan xm在区间上恒成立，即ytan x在上的最大值小于或等于m，又ytan x在上的最大值为1，所以m1，即m的最小值为
12、1.答案：19指出下列命题中的量词，并判断真假(1)空间中所有的四边形都共面；(2)任意两个奇函数的和在公共定义域上都是奇函数；(3)有的函数是非奇非偶函数解：(1)量词为“所有的”是假命题(2)量词为“任意”是真命题(3)量词为“有的”是真命题10若命题“存在a1，3，使ax2(a2)x20”是真命题，求实数x的取值范围解：令f(a)ax2(a2)x2(x2x)a2x2，则f(a)是关于a的一次函数，由题意得，(x2x)2x20，或(x2x)32x20.即x2x20或3x2x20，解得x1或x.B能力提升11命题“对任意x1，2，x2a0”是真命题的一个充分不必要条件是()Aa4Ba4Ca5
13、Da5解析：选C.当该命题是真命题时，只需a(x2)max，x1，2又yx2在1，2上的最大值是4，所以a4.因为a4/ a5，a5a4，故选C.12命题“对任意xR，存在mZ，使m2mx2x1”是_命题(填“真”或“假”)解析：由于对任意xR，x2x1，所以只需m2m，即m.所以当m0或m1时，对任意xR，m2mx2x1成立，因此该命题是真命题答案：真13若不等式t22at1sin x对一切x，及a1，1都成立，求t的取值范围解：因为x，所以sin x1，1，于是由题意可得对一切a1，1不等式t22at11恒成立由t22at11得2tat20.令f(a)2tat2，则f(a)在t0时是关于a的一次函数，当t0时，显然f(a)0成立，当t0时，要使f(a)0在a1，1上恒成立，则即解得t2或t2.故t的取值范围是t2或t0或t2.14(选做题)已知实数a0，且满足以下条件：存在xR，|sin x|a有解；对任意x，sin2xasin x10.求实数a的取值范围解：因为实数a0，所以由得，0a1，由得，x时，sin x，所以由sin2xasin x10，得asin x，令tsin x，则t，所以函数f(t)t在区间(0，)上为减函数，则当t时，f(t)tf，要使asin x在x上恒成立，则a.综上，a的取值范围是.
