1、24充要条件充要条件当pq且qp，即p是q的充分条件而且p是q的必要条件时，我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要不充分条件()(2)若命题“若p，则q”及其否命题都是真命题，则pq.()(3)若命题“若p，则q”及其逆命题都是假命题，则p/ q()(4)若x|p(x)x|q(x)，则p是q的充要条件或p是q的充分不必要条件()答案：(1)(2)(3)(4) “0”是“sin 0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C既是充分条件，也是必要条件D既不充分也不必要条件
2、答案：A 已知，为不重合的两个平面，直线m，那么“”是“m”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B.因为，但/ m，故“”是“m”的必要不充分条件 已知l1：xay60和l2：(a2)x3y2a0，则l1l2的充要条件是_解析：l1l213a(a2)0且a2a630，得a1.答案：a11对“当且仅当”的理解常用“当且仅当”来表达充要条件p是q的充要条件也可以说成：p成立当且仅当q成立如果p，q分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们通常称命题p和命题q是两个相互等价的命题，记作pq.2利用集合的基本关系研究各种条件若Ax|p(x)，Bx|q(x)则有
3、 (1)若AB，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件(2)若BA，则p是q的必要条件；若BA，则p是q的必要不充分条件(3)若AB，则p，q互为充要条件(4)若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件对上述关系，我们也经常用Venn图来表示和判断，如下图：四种条件的判断(1)设p：实数x，y满足x1且y1，q：实数x，y满足xy2，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)已知ABC的三个内角分别是A、B、C，那么“sin Acos B”是“ABC为锐角三角形”的()A必要不充分条件B充要条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件解
4、析(1)若x1且y1，则有xy2成立，所以pq；反之由xy2不能得到x1且y1.所以p是q的充分不必要条件(2)当A120，B45，sin Acos B，但此时ABC为钝角三角形，当ABC为锐角三角形时，可得AB90，即A90B，可得sin Asin(90B)cos B.故“sin Acos B”是“ABC为锐角三角形”的必要不充分条件答案：(1)A(2)A充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若pq，qp，则p是q的充分不必要条件； 若pq，qp，则p是q的必要不充分条件；若pq，qp，则p是q的充要条件；若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件(2)集合法对于集合Ax|x满足条件p
5、，Bx|x满足条件q，具体情况如下：若AB，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的充要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；(3)等价法等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断1.“0ab”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.因为0ab成立，反之，由ab但推不出0ab，故选A.充要条件的探求求关于x的方程x2(2m1)xm20有两个大于1的实数根的充要条件解法一：利用一元二次方程根与
6、系数的关系设方程的两根为x1，x2，使x1，x2都大于1的充要条件是即解得m2为所求法二：利用函数思想令f(x)x2(2m1)xm2，依题意，函数的两个零点都大于1的充要条件为解得m2为所求(1)充要条件的探求要运用等价转化思想求解(2)其他条件的判断和探求可先求出充要条件后再判断、求解 2.函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称的充要条件是()Am2Bm2Cm1Dm1解析：选A.当m2时，f(x)x22x1，其图象关于直线x1对称，反之也成立，所以函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是m2.充要条件的证明求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac
7、0.证明充分性：(由ac0推证方程有一正根和一负根)因为ac0，所以方程一定有两不等实根设两根为x1，x2，则x1x20，所以方程的两根异号即方程ax2bxc0有一正根和一负根必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac0)因为方程ax2bxc0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x20，即ac0.综上可知：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真 (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的
8、解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论3.已知x，y都是非零实数，且xy，求证：的充要条件是xy0.证明：法一：充分性：由xy0及xy，得，即.必要性：由，得0，即0.因为xy，所以yx0，所以xy0.所以的充要条件是xy0.法二：00.由条件xyyx0，故由0xy0.所以xy0，即的充要条件是xy0.易错警示因分辨不清命题的条件与结论致误设a，b，c为ABC的三边，求证：方程x22axb20与x22cxb20有公共根的充要条件是A90.证明(1)先证充分性因为A90，所以c2b2a2，于是方程x22axb20可以化为x22axa2c20.所以x(ac)
9、x(ac)0，该方程有两个根x1(ac)，x2(ac)；同样另一方程x22cxb20也可化为x22cx(a2c2)0，即x(ac)x(ca)0，该方程也有两根x3(ac)，x4(ca)，可以发现两方程有公共根从而充分性得证(2)再证必要性设两个方程的公共根为x0，则有x2ax0b20，x2cx0b20，两式相加，得2x2(ac)x00.因为a，b，c为ABC的三边，x00，所以x0(ac)，把它代入其中一个方程，可得a2c2b2，即A90，从而必要性得证(1)本例易忽略条件和结论的判断，从而把充分性、必要性的证明颠倒；(2)对“A是B的充要条件”这种叙述A是条件，B是结论；对“A的充要条件是B
10、”这种叙述，B是条件，A是结论.(3)由条件推出结论是证明充分性，由结论推出条件是证明必要性.1已知集合A1，2，B1，则“xA”是“xB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B.因为BA，所以“xA”是“xB”的必要不充分条件2设a，b是向量则“|a|b|”是“|ab|ab|”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选D.取ab0，则|a|b|0，|ab|0|0，|ab|2a|0，所以|ab|ab|，故由|a|b|推不出|ab|ab|.由|ab|ab|，得|ab|2|ab|2，整理得ab0，所以ab，不一定
11、能得出|a|b|，故由|ab|ab|推不出|a|b|.故“|a|b|”是“|ab|ab|”的既不充分也不必要条件3下列不等式：x1；0x1；1x0；1x1.其中，可以为x21的一个充分条件的所有序号为_解析：x21x(1，1)，x21的充分条件所对应集合应是x|1x1的子集，故均符合要求答案：4设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A的_条件解析：由题意知：ABCD，所以AD.答案：必要不充分 A基础达标1已知集合A1，a，B1，2，3，则“a3”是“AB”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.因为A1，a
12、，B1，2，3，若a3，则A1，3，所以AB，所以a3AB；若AB，则a2或a3，所以AB/ a3，所以“a3”是“AB”的充分而不必要条件2平面平面l，直线a，直线b，则p：“a和b是异面直线”是q：“a与b均与直线l相交且交点不同”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.由p：“a和b是异面直线”，则可推出其中一条直线可能与l平行，另一条可能与l相交，故p不是q的充分条件，由a与b均与l相交且交点不同，则a与b一定异面，故p是q的必要条件3设a，b都是非零向量，则“ab|a|b|”是“a，b共线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既
13、不充分也不必要条件解析：选C.设a，b，ab|a|b|cos ，当|a|b|cos |a|b|时，cos 1，0或，则a与b共线，若a、b共线，则a，b0或，则ab|a|b|.4“2”是“函数ysin(x)的最小正周期为”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.根据T，得2，故选A.5下面四个条件中，使ab成立的充分不必要条件是()Aab1 Bab1Ca2b2Da3b3解析：选A.由ab1b，从而ab1ab；反之，如a4，b3.5，则43.543.51，故ab ab1，故A正确6函数f(x)asin xcos x有零点的充要条件为a_解析：f(x)a2
14、sin(x)，令f(x)0，得sin，因为1sin1，所以2a2.答案：2，27“函数f(x)x22ax3在区间1，)上是增函数”是“a2”的_条件解析：因为函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为xa，所以当f(x)在1，)上为增函数时，a1，而a1a2，a2/ a1，所以是充分不必要条件答案：充分不必要8设p：x1；q：(xa)(xa1)0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_解析：因为q：axa1，p是q的充分不必要条件，所以或解得0a.答案：9求证：“a2b0”是“直线ax2y30和直线xby20互相垂直”的充要条件证明：充分性：当b0时，如果a2b0，那么a0，此
15、时直线ax2y30平行于x轴，直线xby20平行于y轴，它们互相垂直；当b0时，直线ax2y30的斜率k1，直线xby20的斜率k2，如果a2b0，那么k1k21，两直线互相垂直必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k1k21，所以a2b0；若两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b0，且a0.所以a2b0.综上，“a2b0”是“直线ax2y30和直线xby20互相垂直”的充要条件10已知p：x22x30，若ax1b恒成立的实数b的取值范围解：由于p：x22x301x3，ax1a1ax0)依题意，得x|1x3x|1ax0)，所以解得a2，则使ab恒成立的实数b的取值范围是b2，即(
16、，2B能力提升11设0x，则“xsin2x1”是“xsin x1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B.因为0x，所以0sin x1.由xsin x1知xsin2xsin x1，因此必要性成立由xsin2x1得xsin x，而1，因此充分性不成立12设a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2b1xc10和a2x2b2xc20的解集分别为M和N，那么“”是“MN”的_条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)解析：如果0，则MN；如果0，则MN，所以 MN.反之，若MN，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任
17、何关系，只要求判别式小于零因此，MN.答案：既不充分也不必要13求关于x的方程ax22x10至少有一个负的实数根的关于a的充要条件解：当a0时，x符合题意当a0时，令f(x)ax22x1，由于f(0)10，当a0时，0，若44a0，则a1，即0a1时，f(x)有两个负实数根当a0时，因为f(0)1，44a0恒成立，所以方程恒有负实数根综上所述，a1为所求14(选做题)已知f(x)ax2bxc(a、b、cR，且a0)证明方程f(x)0有两个不相等的实数根的充要条件是：存在x0R，使af(x0)0.证明：充分性：若存在x0R，使af(x0)0，则b24acb24af(x0)axbx0b24abx04a2x4af(x0)(b2ax0)24af(x0)0，所以方程f(x)0有两个不等实数根必要性：若方程f(x)0有两个不等实数根，则b24ac0，设x0，af(x0)aac0.所以存在x0R，使af(x0)0.
