1、和平区20192020学年度第一学期高三年级阶段性试测数学学科试卷一选择题:本大题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x|x1|0”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】判断两个命题的真假，即和的真假，可得结论【详解】时，一定有，但时或，因此推不出，所以，是的必要不充分条件故选：B.【点睛】本题考查充分必要条件的判断解题时判断两个命题和的真假后可得结论4.已知a=20.9,b=0.92,c=log20.9,则a,b,c的大小关系为( )A. cabB.
2、 bcaC. abcD. cb0.设g(x)是定义在R上的周期函数,且g(x)的周期为2,当x(0,2时,g(x).若在区间(0,6上,关于x的方程f(x)=g(x)恰有4个不同的实数根,则k的取值范围是( )A. (,)(,)B. ,)(,)C. ,),)D. ,【答案】C【解析】【分析】作出函数和的图象，由图象观察两者有四个交点时情形及范围【详解】方程f(x)=g(x)有4个解，即函数和图象有4个交点，作出两函数图象，是周期为2的周期函数，的图象是过点的直线，如图，分别计算直线过时的斜率依次为：，当过点时，又过点，或故选：C.【点睛】本题考查方程根的个数，解题关键是转化为函数图象交点个数由
3、数形结合思想求解直观易懂二填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.10.已知aR,且a0,i为虚数单位,|=2,则a的值为_.【答案】【解析】【分析】利用复数模的性质直接计算模【详解】，又，故答案为：【点睛】本题考查复数模的运算，利用模的性质进行计算更加方便即，11.的展开式中，常数项为_.【答案】7【解析】【详解】试题分析：，令，则，所以常数项为.考点：二项式系数的性质点评：本题是基础题，考查二项式定理系数的性质，通项公式的应用，考查计算能力12.设ABC的内角ABC所对边的长分别为abc,若3sinA=5sinB,b+c=2a,则cosC的值为_.【答案】【解析】【分析】用正弦定理把
4、已知角的关系转化为边的关系，这样三角形的三边长可以用其中一边长表示，然后由余弦定理计算【详解】，由得，故答案为：13.已知圆C的圆心坐标是(c,0),半径是r.若直线x+2y+3=0与圆C相切于点P(1,2),则c=_,r=_.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】由过切点的半径与切线垂直可求得，然后由两点间距离求得【详解】由题意，解得，所以故答案为：2；【点睛】本题考查圆的切线的性质掌握切线性质是解题关键性质：过切点的半径与切线垂直14.已知x0,y0,则代数式M=(3x+2y)()中的x和y满足_时,M取得最小值,其最小值为_.【答案】 (1). y=3x (2). 27【解析
5、】【分析】利用基本不等式求解，注意条件【详解】，当且仅当即时等号成立故答案为：；27.【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查取最值时的条件：一正二定三相等15.如图,菱形ABCD的边长为3,对角线AC与BD相交于O点,|=2,E为BC边(包含端点)上一点,则|的取值范围是_,的最小值为_.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】时，长度最短，与重合时，长度最长然后以)以O为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，设出点坐标，把向量数量积用坐标表示后可求得最小值【详解】根据菱形性质可得OC,则BO.(1)作AFBC,则AF,此时AE最短,当E与C重合时,AE最长,故,即|;(2)
6、以O为原点,BD所在直线为x轴建系如图:则A(0,)B(,0),C(0,),D(,0),所以BC:y设E(m,)则,其中m对称轴为m,故当m时最小,最小值为.故答案为：；【点睛】本题考查向量的模和向量的数量积，向量模的范围可由几何图得出，而数量积的最值通过建立坐标系，用坐标运算把数量积表示一个函数，由函数知识求解这样只要计算即可三解答题:本大题共5小题,每小题15分,共75分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.16.某学校为了学生的健康,对课间操活动做了如下规定:课间操时间若有雾霾则停止课间操,若无雾霾则组织课间操.预报得知,在未来一周从周一到周五的课间操时间出现雾霾的概率是:前3天均为,
7、后2天均为,且每一天出现雾霾与否是相互独立的.(1)求未来5天至少一天停止课间操的概率;(2)求未来5天组织课间操的天数X的分布列和数学期望.【答案】(1).(2)见解析,数学期望为2.【解析】【分析】（1）可以求出五天都可以出操的概率，然后用对立事件概率公式计算；（2）天数X的可能取值为0,1,2,3,4,5,分别计算概率得分布列，由分布列可计算期望【详解】(1)课间操时间若有雾霾则停止课间操,若无雾霾则组织课间操.预报得知,在未来一周从周一到周五的课间操时间出现雾霾的概率是:前3天均为,后2天均为,且每一天出现雾霾与否是相互独立的.未来5天每天都组织课间操的概率为:P1,未来5天至少一天停
8、止课间操的概率:P=1P1=1.(2)未来5天组织课间操的天数X的可能取值为0,1,2,3,4,5,P(X=0),P(X=1),P(X=2),P(X=3),P(X=4),P(X=5),X的分布列为: X 0 12 3 4 5 P 数学期望E(X)2.【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查对立事件概率，考查随机变量概率分布列和数学期望属于中档题，还考查了学生的数据处理能力17.如图,四边形ABCD为直角梯形,BCAD,BAD=90,BC=2,AD=3,四边形ABEF为平行四边形,AB=1,BE=2,EBA=60,平面ABEF平面ABCD.(1)求证:AE平面ABCD;(2)求平面ABE
9、F与平面FCD所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2).【解析】【分析】（1）在平行四边形中求得的长，用勾股定理逆定理证明，然后由面面垂直的性质定理得线面垂直；（2）以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AE为z轴,建立空间直角坐标系,写出各点坐标，求出平面法向量，由法向量夹角得二面角【详解】(1)证明:四边形ABEF为平行四边形,AB=1,BE=2,EBA=60,AE,AB2+AE2=BE2,ABAE,平面ABEF平面ABCD,平面ABEF平面ABCD=AB.AE平面ABCD.(2)解:四边形ABCD为直角梯形,BCAD,BAD=90,BC=2,AD=3,以A为原点,AB为x轴,AD为
10、y轴,AE为z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),E(0,0,),F(1,0,),C(1,2,0),D(0,3,0),(1,0,0),(2,2,),设平面FCD的法向量(x,y,z),则,取y,得(0,2),平面ABEF的法向量(0,1,0),设平面ABEF与平面FCD所成锐二面角的平面角为,则cos.平面ABEF与平面FCD所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的性质定理，考查用空间向量法求二面角空间向量法求空间角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角）是立体几何中常用方法，关键是建立空间直角坐标系18.已知等差数列an中,a4+a7=20,且前9
11、项和S9=81.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列的前n项和Tn.【答案】(1)an=2n1.(2).【解析】【分析】（1）用基本量法求出数列的首项和公差，得通项公式；（2）用错位相减法求和【详解】(1)设公差为d的等差数列an中,a4+a7=20,且前9项和S9=81.所以,整理得,解得:d=2,a1=1.所以an=1+2(n1)=2n1.(2)数列bn=an2(2n1)22n1,所以,得:3Tn=221+223+222n1(2n1)22n+12,整理得,解得.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查求数列的和解题方法是基本量法，错位相减法19.已知椭圆C:l(ab0)经过
12、点(1),且离心率e.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l与椭圆C相交于AB两点,且满足AOB=90(O为坐标原点),求|AB|的取值范围.【答案】(1);(2),2.【解析】【分析】（1）点的坐标代入可得一个关系式，离心率得，结合可求得，得椭圆方程；（2）当直线l的斜率不存在时, 设直线l为:x=m,代入计算，当直线的斜率存在时,设直线为:y=kx+m,A(x,y),B(,),代入椭圆中整理，由韦达定理得，代入得出的关系，计算，用换元法转化为求二次函数的取值范围得出结论【详解】(1)由题意:e,1,a2=b2+c2,解得:a2=8,b2=4,所以椭圆的方程为:;(2)当直线l的斜率不存在时,
13、设直线l为:x=m,A(x,y),B(,),代入椭中:y2=4(1),AOB=90,0,x+y=m24(1)=0,m2,|AB|=|y|=4;当直线的斜率存在时,设直线为:y=kx+m,A(x,y),B(,),代入椭圆中整理得:(1+2k2)x2+4kmx+2m28=0x+,x,=k2xx+km(x+)+m2,AOB=90,x+y=0,2m28+m28k2=0,3m2=8+8k2,|AB|,令t(0,1,所以|AB|,当t,g(t)=1(t2t)最大为 ,t=1时,g(t)取得最小值1,综上所述:|AB|的取值范围,2.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题解决圆锥曲
14、线中的取值范围问题应考虑的五个方面：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围20.已知函数f(x)=ax+blnx(a,bR)在点(1,f(1)处的切线方程为yx1.(1)求ab的值;(2)当x1时,f(x)0恒成立,求实数k的取值范围;(3)设g(x)=exx,求证:对于x
15、(0,+),g(x)f(x)2恒成立.【答案】(1)a,b=1.(2)k.(3)见解析【解析】【分析】（1）求导数，利用切线方程可得，从而可求得；（2）x1时,f(x)0恒成立,转化为恒成立，求的最小值即可；（3）g(x)f(x)2=exx(x+lnx)2=exlnx20在x(0,+)上恒成立.exx1lnxx+1在x(0,+)上恒成立.这样只要求得的最小值，的最大值，即可证明【详解】(1)f(x)=a.函数f(x)=ax+blnx(a,bR)在点(1,f(1)处的切线方程为yx1.=a+b,f(1)=a1,解得a,b=1.(2)f(x)x+lnx,当x1时,f(x)0恒成立,等价于:k,x(
16、1,+).令u(x)x2xlnx,x(1,+).则u(x)=xlnx1,令v(x)=xlnx1,x(1,+).v(x)=10,u(x)=xlnx1u(1)=0,u(x)在x(1,+)上单调递增.ku(1).k.(3)证明:设g(x)=exx,g(x)f(x)2=exx(x+lnx)2=exlnx20在x(0,+)上恒成立.exx1lnxx+1在x(0,+)上恒成立.令F(x)=exx1,x(0,+).G(x)=lnxx+1,x(0,+).F(x)=ex1,x(0,+).则F(x)F(0)=0,F(x)F(0)=0.G(x),可得x=1时,函数G(x)取得极大值即最大值,G(x)G(1)=0.g
17、(x)f(x)20在x(0,+)上恒成立.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性与最值，用导数证明不等式，研究不等式恒成立，解题关键是问题的转化，难度较大利用导数证明不等式恒成立问题的常用方法：(1)将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在固定区间的单调性，直接求得函数的最值，然后由f(x)f(x)max或f(x)f(x)min直接证得不等式 (2)直接将不等式转化成某个函数最值问题若证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)(3)将待证不等式转化为两个函数的最值进行比较证明：在证明不等式中，若待证不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可借助两个函数的最值证明，如证f(x)g(x)在D上成立，只需证明f(x)ming(x)max即可