1、云南省部分名校高2015届1月份统一考试 理科数学试卷 命题 昆明三中高三年级数学备课组【试卷综述】本次期末数学试卷，能以大纲为本，以教材为基准，基本覆盖了平时所学的知识点，试卷不仅有基础题，也有一定的灵活性的题目，能考查学生对知识的掌握情况，实现体现了新课标的新理念，试卷注重了对学生的思维能力、运算能力、计算能力、解决问题能力的考查，且难度也不大，在出题发面应该是一份很成功的试卷。【题文】一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）【题文】1.已知i为虚数单位，复数z满足iz=1+i，则（ ）A1+iB1iC1+iD1i 【知识点】复数运
2、算L4【答案】【解析】A解析：， 故选A.【思路点拨】由复数运算直接计算即可.【题文】2集合，若，则实数的取值范围是（ ）A 【知识点】集合的运算A1【答案】【解析】D解析：因为 ，所以，即，故选D.【思路点拨】由集合的运算直接计算即可.【题文】3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）A. B. C. D. 【知识点】函数的奇偶性，单调性B4 B3【答案】【解析】C解析： 和是偶函数，在上单调递减，为奇函数，故选C.【思路点拨】根据函数的性质之奇偶和增减的定义可求.【题文】4.已知向量，其中，且，则向量与的夹角是（ ）A B. C. D.【知识点】向量的定义F1【答案
3、】【解析】B解析：，即， ，所以，故选B.【思路点拨】，即，即可求.【题文】5执行如图所示的程序框图,输出的S值为时，则输入的的值为（ ）A.B. C.D.【知识点】程序框图L1【答案】【解析】D解析：设，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；循环终止，此时，故选D.【思路点拨】按条件依次循环，当循环终止时，即可求解.【题文】6. 实数x，y，k满足，若的最大值为，则的值为（ ）A B C D【知识点】简单的线性规划E5【答案】【解析】B解析：由约束条件作出可行域如图，要使有最大值为13，即，而，解得：或（舍去）故选B.【思路点拨】由约束条件作出可行域，由的几何意义得可行域内到原点距离最大
4、的点为A，由z的最大值为13求解k的值【题文】7. 已知函数,则下列结论正确的是()A两个函数的图象均关于点成中心对称图形.B两个函数的图象均关于直线成轴对称图形.C两个函数在区间上都是单调递增函数.D两个函数的最小正周期相同.【知识点】三角函数的性质C4【答案】【解析】C解析： ，图像关于点成中心对称图形，关于直线成轴对称图形，在区间上是单调递增, 最小正周期为;，图像关于点成中心对称图形，关于直线成轴对称图形，在区间上是单调递增, 最小正周期为,故选C.【思路点拨】此类题一般都是先化简，再根据化简后的结果，由三角函数的性质一一判断.【题文】8.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为,若AB
5、C的面积为,且, 则等于（ ）A. B. C. D. 【知识点】正弦定理 余弦定理C8【答案】【解析】C解析：由余弦定理，联立，得，即，结合，得或（舍），从而，故选 C.【思路点拨】联立和，得，从而可求.【题文】9.已知P是ABC所在平面内一点，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是 （ ）A. B. C. D.【知识点】几何概型K3【答案】【解析】D解析：由得，设BC边中点为D，则,P为AD中点，所以黄豆落在内的概率是，故选D.【思路点拨】：由得P为BC边中线AD的中点，由此可得黄豆落在内的概率.【题文】10已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A. B
6、. C. D.60【知识点】三视图G2【答案】【解析】A解析：由已知中的三视图，我们可以判断该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，三棱柱的底面是一个直角边长为4的直角三角形，高为4，四棱锥的底面是一个以4为边长的正方形，高为4，分别求出棱柱和棱锥的体积，其中直三棱的底面为左视图，高为8-4=4，故，四棱锥的底面为边长为4的正方形，高为4，故，故该几何体的体积，故选A.【思路点拨】由已知中的三视图，可以判断该几何体是一个直三棱柱和一个四棱锥的组合体.【题文】11.抛物线（）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为 ( )A. B. 1
7、 C. D. 2【知识点】抛物线 重要不等式 H7 E6【答案】【解析】A解析：如下图所示，设.则，所以故选A.【思路点拨】由抛物线性质可得，余弦定理得，再利用重要不等式即可得 .【题文】12.已知函数满足, 当时, ,若在区间内,曲线与轴有三个不同的交点,则实数的取值范围是 ( )A. B. C. D.【知识点】函数的零点与方程根的关系A1【答案】【解析】C解析：在区间内，函数，有三个不同的零点，（1），若时，可得，若，可得，为减函数，若，可得，为增函数，此时必须在上有两个交点， ，解得，设 ，可得，此时，若，可得，为增函数若，可得，为减函数，在上有一个交点，则 ，解得，综上可得；（2）若，
8、对于时，没有零点，不满足在区间内，函数，有三个不同的零点，（3），显然只有一解，舍去；综上：故选C.【思路点拨】可以根据函数f（x）满足，求出x在上的解析式，已知在区间内，函数，有三个不同的零点，对g（x）进行求导，利用导数研究其单调性，从而求出的范围【题文】二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上）【题文】13.已知,那么展开式中含项的系数为_.【知识点】定积分 二项式定理B13 J3【答案】【解析】135解析：根据题意，则中，由二项式定理的通项公式可设含项的项是，可知，所以系数为，故答案为135.【思路点拨】根据定积分的计算方法，计算，可得n的值，进而将代入，利用
9、通项公式来解决，在通项中令x的指数幂为2可求出含是第几项，由此算出系数【题文】14.已知圆,直线上动点,过点作圆的一条切线,切点为,则的最小值为_.【知识点】圆的切线方程H4【答案】【解析】2解析：由题意可得，为，且，即，要使取最小值，只需最小即可，最小值为圆心O到直线的距离，为，所以，故答案为2.【思路点拨】由题意可得，中，即，要使取最小值，只需最小即可.【题文】15观察下列等式：根据上述规律，第个等式为 .【知识点】合情推理与演绎推理M1【答案】【解析】解析：由题意得，可得第n项为，所以第个等式为.【思路点拨】观察各个等式，找其中的规律，便可得到结果.【题文】16表面积为的球面上有四点S、
10、A、B、C，且是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面平面,则棱锥体积的最大值为 .【知识点】棱锥的体积G7【答案】【解析】27解析：由题意画出几何体的图形如图：因为球的表面积为，所以球半径为，由于面SAB面ABC，所以点S在平面ABC上的射影D落在AB上，由于OO平面ABC，SD平面ABC，即有OOSD，当D为AB的中点时，SD最大，棱锥S-ABC的体积最大由于则，则ABC是边长为6的正三角形，则的面积为：.在直角梯形SDOO中，作于点E，,即有三棱锥S-ABC体积,故答案为27.【思路点拨】由于面SAB面ABC，所以点S在平面ABC上的射影D落在AB上，D为AB中点时，SD最大，棱
11、锥S-ABC的体积最大运用线面垂直的性质，结合勾股定理，即可求得CD，AB，及SD，由三棱锥的体积公式即可得到最大值【题文】三解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【题文】17. （本小题满分12分）已知数列的前项和和通项满足,数列中，,.（）求数列,的通项公式；（）数列满足，求证： .【知识点】数列求和D4【答案】【解析】（1） （2）解析：（1）由，得当时，即（由题意可知）是公比为的等比数列，而，由，得（2），设，则由错位相减，化简得：（12分）【思路点拨】（1）由，得可求；（2）数列为差比数列，利用错位相减法求解即可.【题文】18. （本小题满分12分
12、）云南省2014年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布.现从我校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 157.5，162.5，第二组162.5，167.5，第6组182.5，187.5，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（）试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；（）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数；（）在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（
13、从高到低）在全省前130名的人数记为，求的数学期望参考数据：若则=0.6826，=0.9544, =0.9974.【知识点】频率分布直方图 离散型随机变量的期望与方差I2 K6【答案】【解析】（）170.5（）10（）1解析：（）由直方图，经过计算我校高三年级男生平均身高为高于全市的平均值170.5（4分）（）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，人数为0.25010，即这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5 cm)的人数为10人. （6分）（），0.0013100 000=130.所以，全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人. 随机变
14、量可取，于是,. （12分）【思路点拨】（I）高三男生的平均身高用组中值频率，即可得到结论；（II）首先理解频数分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即：每组中包含个体的个数我们可以依据频数分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数（III）先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在1802.5cm以上，这50人中1802.5cm以上的有2人，确定的可能取值，求出其概率，即可得到的分布列与期望【题文】19（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，已知， ，.（）求证：；（）设 ()，且平面与所成
15、的锐二面角的大小为，试求的值.【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定 G12 G5 【答案】【解析】（）略（）1解析：（）因为侧面,侧面，故,在中, 由余弦定理得：，所以， 故,所以,而，平面（）由（）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则.所以,所以, 则，. 设平面的法向量为，则,，令，则，是平面的一个法向量. 平面,是平面的一个法向量，.两边平方并化简得，所以或（舍去）【思路点拨】（）由已知条件推导出ABBC1，BCBC1，由此能证明C1B平面ABC（）以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出
16、的值【题文】20（本小题满分12分）如图，已知椭E:的离心率为，且过点，四边形ABCD的顶点在椭圆E上，且对角线AC，BD过原点O， .（）求的取值范围；（）求证：四边形ABCD的面积为定值.【知识点】椭圆方程H5【答案】【解析】（1）（2）略解析：（1）当直线AB的斜率存在时，设由.4分。.6分，所以的范围是。.8分.10分.12分【思路点拨】（1）由题意可得，所以可设出直线AB的方程，联立椭圆，可得，可得其范围；（2），而，d为原点到直线AB的距离.【题文】21（本小题满分12分）已知函数.（）若函数在上是减函数，求实数a的最小值；（）若，使成立，求实数a的取值范围.【知识点】导数在最大值
17、、最小值问题中的应用B12【答案】【解析】（）（）解析：（）因在上为减函数，故在上恒成立所以当时，又，故当，即时，所以，故所以的最小值为.（）“若，使成立”等价于当时，有，当时，有，问题等价于：“当时，有”当时， 在上为减函数.则，故.当时，由于在上为增函数，故的值域为，即由的单调性和值域知，存在唯一，使，且满足：当时，为减函数；当时，为增函数；所以，所以，与矛盾，不合题意综上，【思路点拨】（I）因在上为减函数，故在上恒成立，求出导函数的最值，即可求实数的最小值；（）“若，使成立”等价于当时，有，当时，若，使成立，等价于使求出最值，即可确定的取值范围请考生在第23,24题中任选一题做答，如果多
18、做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.【题文】23. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，以O为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=4cos.（）求曲线C的直角坐标方程及直线的普通方程；（）将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线的距离的最小值.【知识点】参数方程N3【答案】【解析】（）曲线C：直线：（）解析：（）曲线C的直角坐标方程为： 即：直线的普通方程为 4分（）将曲线C上的所有点的横坐标缩为原来的，得，即再将所得曲线向左平移1个单位，得：又曲线的参数方程为（为参数），设曲线上任一点则（其中）点到直线的距离的最小值为.【思路点拨】（）直接变换即可求解（）利用三角函数的有界性即可.【题文】24. （本小题满分10分）已知函数（）当时，求函数的定义域；（）若关于的不等式的解集是，求的取值范围.【知识点】不等式的解法N4【答案】【解析】（）（）（）由题设知：，由绝对值的几何意义可得或，从而函数f（x）的定义域为；（5分）（）不等式，即，时，恒有，（8分）不等式解集是R， 即，的取值范围是（10分）【思路点拨】（）由题意可得，由绝对值的几何意义即得所求（）由不等式可得恒成立，再由的最小值等于3，故有，由此求得实数的取值范围