1、3函数的单调性,学生用书P28)1函数单调性的定义在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，就称函数yf(x)在区间A上是增加的类似地，在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2A，当x1f(x2)，就称函数yf(x)在区间A上是减少的如果函数yf(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数yf(x)在这个子集上具有单调性相应的子集叫作单调区间如果函数yf(x)在整个定义域内是增加的或减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数2最大值与最小值(1)最大值函数yf(x)在
2、区间a，b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)(2)最小值函数yf(x)在区间a，b上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)函数的最大值和最小值统称为最值1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性()(2)函数f(x)为R上的减函数，则f(3)f(3)()(3)若函数yf(x)在定义域上有f(1) BkCk Dk答案：C4函数y在单调区间0，1上的最大值、最小值分别为_解析：令0x1x21，则y1y20，所以y在0，1上是递减的，当x0时，y最大1，当x1时，y最小.答案：1，1增减函数定
3、义中x1，x2的三个特征(1)任意性：定义中“任意”二字不能去掉，应用时不能以特殊代替一般(2)有大小：一般令x1x2.(3)同区间：x1和x2属于同一个单调区间2单调性的两个特性(1)“整体”性：单调函数在同一个单调区间上具有的性质是相同的(2)“局部”性：指的是一个函数在定义域不同区间内可以有不同的单调性3单调区间的两个关注点(1)与定义域的关系：是函数定义域的子集(2)书写：若函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上都是增(减)函数，则此函数的单调区间是：A和B或A，B.若在端点处有定义，用开区间或闭区间都可以，但若在端点处无定义，必须用开区间表示函数不连续的单调区间只能用“和”或“，
4、”连接，而不能用“”连接函数单调性的证明与判断学生用书P29证明函数f(x)x在(2，)上是增函数.【证明】任取x1，x2(2，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).因为2x1x2，所以x1x20，x1x24，x1x240，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)x在(2，)上是增函数若本例的函数不变，试判断f(x)在(0，2)上的单调性解：函数f(x)x在(0，2)上是递减的证明：任取x1，x2(0，2)，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).因为0x1x22，所以x1x20，0x1x24，x1x240，所以f(x1)f(x
5、2)0，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)x在(0，2)上是减函数利用定义证明函数单调性的步骤注意作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多为几个因式乘积的形式 1.求证函数f(x)在(，1上是递减的证明：设x1x21，则f(x2)f(x1)，由假设可知x1x20, 0，所以f(x2)f(x1)0，即f(x1)f(x2)，故函数f(x)在(，1上是递减的用图像法确定函数的单调区间学生用书P29画出函数f(x)|x1|的图像并指出函数的单调区间【解】因为f(x)的图像如图所示：由图像可知f(x)在(，1)上是下降的，在1，)上是上升的所以f(x)在区间(，1)上是递减的，在区间1，)上是
6、递增的利用函数图像确定函数的单调区间，具体的做法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、形状，确定函数的单调区间 注意单调区间不能随便合并，如y的单调区间不可写为(，0)(0，)2.(1)如图所示为函数yf(x)，x4，7的图像，则函数f(x)的单调递增区间是_(2)画出函数f(x)|x3|x3|的图像，并指出函数的单调区间解：(1)由图像知递增区间为1.5，3和5，6故填1.5，3和5，6(2)f(x)|x3|x3|图像如图所示由图像知，函数在区间(，3上是递减的，在区间3，)上是递增的函数单调性的应用学生用书P30求函数f(x)在区间2，5上的最大值与最小
7、值【解】任取2x1x25，则f(x2)f(x1).因为2x1x25，所以x1x20，x210，x110，所以f(x2)f(x1)0，所以f(x2)f(x1)，所以f(x)在区间2，5上是减函数，所以f(x)maxf(2)2，f(x)minf(5).函数单调性的常见应用(1)比较大小：利用函数的单调性可以把函数值的大小比较转化为自变量的大小比较(2)求函数的值域：根据单调性可求出函数在定义域上的最值，进而求出值域 (3)求解析式中的参数(或其范围)：根据单调性的定义可列出参数满足的等式(或不等式)，进而可求出参数(或其范围)3.(1)若函数f(x)x22(a1)x2在区间0，2上不是单调函数，则
8、a的取值范围是_(2)f(x)是定义在0，)上的减函数，则不等式f(x)f(2x8)的解集是_解析：(1)因为f(x)x22(a1)x2的对称轴方程是xa1，又f(x)在0，2上不是单调函数，所以0a12，所以1a3.(2)依题意，得不等式组解得x4.答案：(1)(1，3)(2)规范解答利用函数的单调性求解不等式(本题满分12分)已知yf(x)在定义域(1，1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范围【解】由题意可知(3分)解得0a1.(5分)因为f(x)在(1，1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，所以(8分)即a.(9分)由可知，0a，(11分)(12分)(1)若漏掉定义域
9、，则本例先扣3分；“脱去”f是解题关键；若漏掉此处结论扣1分(2)树立定义域优先的原则研究函数问题，特别是研究函数的单调性时，要先看函数定义域，树立定义域优先的原则，如本例，若忽视定义域则将所求参数范围扩大(3)准确理解增、减函数的意义增函数、减函数的定义中蕴含了在定义区间内自变量的不等关系与相应函数值不等关系的相互转化，这一点要紧紧依赖函数的增减性，如本例若不注意函数是减函数则易将不等式转化错误1函数y在下列哪个区间上是增加的()A(，0)B(0，)C(，0)和(0，) D(，0)(0，)解析：选C.y的定义域为(，0)(0，)，描点法画出y的简图易知在(，0)和(0，)上是递增的2设定义在
10、R上的函数f(x)x|x|，则f(x)()A只有最大值B只有最小值C既有最大值，又有最小值D既无最大值，又无最小值解析：选D.因为f(x)x|x|其函数图像如图所示，所以f(x)在R上既无最大值，也无最小值3已知f(x)在区间(a，b)，(c，d)上都是增加的，且x1(a，b)，x2(c，d)，x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为()Af(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)D不能确定解析：选D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，故f(x1)与f(x2)的大小不能确
11、定4函数y|x|在a，)上是减函数，则a的取值范围是_解析：y|x|的图像如图所示，所以a0.答案：a0,学生用书P107(单独成册)A基础达标1函数f(x)的部分图像如图所示，则此函数在2，2上的最小值、最大值分别是()A1，3 B0，2C1，2 D3，2解析：选C.当x2，2时，由题图可知，x2时，f(x)的最小值为f(2)1；x1时，f(x)的最大值为2.故选C.2下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是()Ay3x Byx21Cy Dy|x1|解析：选B.y3x，y，y|x1|在(0，2)上都是减函数，只有yx21在(0，2)上是增函数3已知函数yax和y在(0，)上都是减函数，则函
12、数f(x)bxa在R上是()A减函数且f(0)0 B增函数且f(0)0 D增函数且f(0)0解析：选A.因为yax和y在(0，)上都是减函数，所以a0，b0，f(x)bxa为减函数且f(0)a0，则f(3)与f()的大小关系是_解析：由(x1x2)f(x1)f(x2)0，可知函数f(x)为增函数，又因为3，所以f(3)f()答案：f(3)f()7. 对a，bR，记maxa，b函数f(x)maxx1，3x(xR)的最小值是_解析：函数f(x)的图像如图(实线部分)，故f(x)的最小值为2.答案：28已知函数f(x)是R上的减函数，则实数a的取值范围是_解析：因为当x1时，f(x)是减少的，所以a
13、30，所以a3.当x1时，f(x)是减少的，故2a0，所以a0.分段点1处的值应满足(a3)52a，所以a2.故0a2.答案：(0，29已知函数f(x)满足fx2.(1)求f(x)的解析式及其定义域；(2)写出f(x)的单调区间并证明解：(1)令t(t0)，则x，所以f(t)2(t0)，所以f(x)2(x0)可知其定义域为xR|x0(2)函数f(x)在区间(，0)和(0，)上是递减的证明如下：设x1，x2(，0)，x1x2，xx2x10，yf(x2)f(x1)22，当x1x20时，x1x20，又x0，所以y0，即f(x)在(，0)上是递减的；同理，f(x)在(0，)上是递减的，所以函数f(x)
14、在区间(，0)和(0，)上是递减的10判断函数f(x)(x0)的单调性，并求出值域解：f(x)1，设0x1x2，则f(x1)f(x2)，因为0x1x2，所以x1x20，x210，于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故函数f(x)在0，)上为增函数f(x)minf(0)2，无最大值画出函数的大致图像，如图所示，知函数f(x)(x0)的值域为2，1)B能力提升11已知函数y的最大值为M，最小值为m，则的值为()A.B. C.D.解析：选C.显然函数的定义域是3，1，故y2424242，根据根式内的二次函数，可得4y28，故2y2，即m2，M2，所以.12已知函数f(x)，则满足不等
15、式f(1x2)f(2x)的实数x的取值范围是_解析：f(x)的图像如图，因为f(1x2)f(2x)，所以解得1x1.答案：(1，1)13已知函数f(x)x在(1，)上是增函数，求实数a的取值范围解：设1x11.因为函数f(x)在(1，)上是增函数，所以f(x1)f(x2)x1(x1x2)0.因为x1x20，即ax1x2.因为1x11，所以x1x21，所以a1.所以a的取值范围是1，)14(选做题)已知定义在(0，)上的函数f(x)，满足f(xy)f(x)f(y)，f1，且对于任意0，都有f()f()(1)求f(1)；(2)若f(2x)f(2x)1，求实数x的取值范围解：(1)令xy1，得f(1)f(1)f(1)所以f(1)0.(2)由f(2x)f(2x)1得f(2x)ff(2x)，即f(x)f(2x)，又由题意知，f(x)在(0，)上递减，所以，解得0x1，所以x的取值范围为(0，1