1、2016-2017学年江苏省中华中学、溧水高级中学、省句中、省扬中、镇江一中省镇中六校联考高三（下）开学数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1已知集合A=2，0，1，7，B=y|y=7x，xA，则AB=2已知复数z=（i为虚数单位），则z=3一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10，5，7，6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为4阅读下列程序，输出的结果为5某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为6已知函数，则f（x）的值域是7已知函数y=
2、ln（x4）的定义域为A，集合B=x|xa，若xA是xB的充分不必要条件，则实数a的取值范围为8已知实数x、y满足，则z=2x+y的最大值为9在ABC中，若tanAtanB=1，则=10若直线y=x与函数y=x24x+2（xm）的图象恰有一个公共点，则实数m的取值范围为11已知函数f（x）=x3+x，对于等差数列an满足：f（a21）=2，f（a20163）=2，Sn是其前n项和，则S2017=12在ABC中，已知AB=8，AC=6，点O为三角形的外心，则=13圆C：x2+y2=r2，点A（3，0），B（0，4），若点P为线段AB上的任意点，在圆C上均存在两点M，N，使得=，则半径r的取值范围
3、14已知正实数a，b满足，则ab的最大值为二、解答题：本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.15在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边，作两个角，它们终边分别经过点P，Q，其中，Q（sin2，1），R，且（1）求cos2的值；（2）求tan（+）的值16如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为矩形，ABBP，M为AC的中点，N为PD上一点（1）若MN平面ABP，求证：N为PD的中点；（2）若平面ABP平面APC，求证：PC平面ABP17如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（ab0）的焦距为2，过右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，当l与x轴垂直时，
4、AB长为 （1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上存在一点P，使得，求直线l的斜率18某工厂要生产体积为定值V的漏斗，现选择半径为R的圆形马口铁皮，截取如图所示的扇形，焊制成漏斗（1）若漏斗的半径为R，求圆形铁皮的半径R；（2）这张圆形铁皮的半径R至少是多少？19已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=k（x1）（kR）（1）若两个实数a，b满足0ab，且f（a）=f（b），求4ab的取值范围；（2）证明：当k1时，存在x01，使得对任意的x（1，x0），恒有f（x）g（x）；（3）已知0ab，证明：存在x0（a，b），使得20设三个各项均为正整数的无穷数列an，bn，cn记数列bn，cn的前n
5、项和分别为Sn，Tn，若对任意的nN*，都有an=bn+cn，且SnTn，则称数列an为可拆分数列（1）若，且数列bn，cn均是公比不为1的等比数列，求证：数列an为可拆分数列；（2）若an=5n，且数列bn，cn均是公差不为0的等差数列，求所有满足条件的数列bn，cn的通项公式；（3）若数列an，bn，cn均是公比不为1的等比数列，且a13，求证：数列an为可拆分数列【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修4-1：几何证明选讲21如图，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为O
6、上一点，AE=AC，DE交AB于点F求证：PDFPOCB选修4-2：矩阵与变换22已知矩阵，求矩阵M的特征值及其相应的特征向量C选修4-4：坐标系与参数方程23已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值D选修4-5：不等式选讲24设a，b，c，d都是正数，且x=，y=求证：xy三.【必做题】第22题、第23题每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤25如图，在四棱锥SABCD中，已知SD底面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，DAB=ADC=，SD=DC=2，AD=AB=1，E为棱SB上
7、的一点，且DESC（）求的值；（）求直线EC与平面ADE所成角26已知实数数列an满足：a1=3，an=（an1+2），n2，证明：当n2时，an是单调减数列2016-2017学年江苏省中华中学、溧水高级中学、省句中、省扬中、镇江一中省镇中六校联考高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1已知集合A=2，0，1，7，B=y|y=7x，xA，则AB=0，7【考点】交集及其运算【分析】将A中元素代入y=2x1中求出y的值，确定出B，求出A与B的交集即可【解答】解：将x=0代入y=7x得：y=0；
8、将x=2代入y=7x得：y=14；将x=1代入y=7x得：y=7；将x=7代入y=7x得：y=49；将x=5代入y=2x1得：y=9，B=0，7，14，49，则AB=0，7故答案为：0.72已知复数z=（i为虚数单位），则z=【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由求解【解答】解：z=，故答案为：3一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10，5，7，6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为8【考点】频率分布表【分析】根据频率=求得第5组的频数，则即可求得第6组的频数【解答】解：第5组的频数为400.1=4；第6组的频数为40（10+5+7+
9、6+4）=8故答案为：84阅读下列程序，输出的结果为22【考点】伪代码【分析】分析程序语言，得出该程序运行后是计算并输出S的值，写出运算结果即可【解答】解：该程序运行后是计算并输出S=1+4+7+10=22故答案为：225某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为【考点】相互独立事件的概率乘法公式【分析】由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A、食堂B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得
10、到答案【解答】解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为： =；他们同时选中B食堂的概率也为： =；故们在同一个食堂用餐的概率P=+=故答案为：6已知函数，则f（x）的值域是1，2【考点】正弦函数的定义域和值域【分析】根据x的取值范围，利用余弦函数的图象与性质，求出f（x）的最大、最小值，得值域【解答】解：函数，时，x+，cos（x+），1；2cos（x+）1，2，即x=时，f（x）取得最小值1，x=时，f（x）取得最大值2，f（x）的值域是1，2故答案为：1，27已知函数y=ln（x4）的定义域为A，集合B=x|xa，若xA是xB的充分不必要条件，则实数a的
11、取值范围为（，4）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】求出集合A，集合充分不必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可【解答】解：要使函数有意义，则x40，即x4，即A=（4，+），若xA是xB的充分不必要条，则AB，即a4，故实数a的取值范围是（，4），故答案为：（，4）8已知实数x、y满足，则z=2x+y的最大值为4【考点】简单线性规划【分析】作出约束条件对应的区域，由目标函数的特征由线性规划规律求出z=2x+y的最大值【解答】解：不等式组，对应的可行域如图：目标函数是z=2x+y，由解得A（1，2）当目标函数对应直线过点A（1，2）时，z取到最大值为4故答案为：49在ABC中
12、，若tanAtanB=1，则=【考点】两角和与差的正弦函数【分析】利用两角和的正切公式求得tan（A+B）不存在，可得A+B等于，从而得到C=，从而求得要求式子的值【解答】解：ABC中，若tanAtanB=1，tan（A+B）= 不存在，故A+B=，C=AB=，则=sin（+）=cos=，故答案为：10若直线y=x与函数y=x24x+2（xm）的图象恰有一个公共点，则实数m的取值范围为（1，2【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】令f（x）=x24x+2+x=x23x+2，做出f（x）的函数图象，根据函数图象得出m的范围【解答】解：令f（x）=x24x+2+x=x23x+2令f（x）=0，得
13、：x1=1，x2=2作出f（x）的函数图象如图所示：直线y=x与函数y=x24x+2（xm）的图象恰有一个公共点，f（x）在m，+）上只有一个零点，1m2故答案为（1，211已知函数f（x）=x3+x，对于等差数列an满足：f（a21）=2，f（a20163）=2，Sn是其前n项和，则S2017=4034【考点】数列与函数的综合【分析】由函数f（x）=x3+x，f（x）为奇函数，f（x）=f（x），可得f（a21）=f（a20163），进一步求出a2+a2016，再根据等差数列的前n项和公式计算得答案【解答】解：函数f（x）=x3+x，f（x）为奇函数，f（x）=f（x），f（a21）=2，f
14、（a20163）=2，f（a21）+f（a20163）=0，f（a21）=f（a20163）a21=（a20163）a2+a2016=4则S2017=4034故答案为：403412在ABC中，已知AB=8，AC=6，点O为三角形的外心，则=14【考点】平面向量数量积的运算【分析】可分别取AB，AC的中点D，E，并连接OD，OE，据条件即可得出ODAB，OEAC，而，代入进行数量积的计算即可求出该数量积的值【解答】解：如图，取AB中点D，AC中点E，连接OD，OE，则：ODAB，OEAC；=3218=14故答案为：1413圆C：x2+y2=r2，点A（3，0），B（0，4），若点P为线段AB上的
15、任意点，在圆C上均存在两点M，N，使得=，则半径r的取值范围，）【考点】直线和圆的方程的应用【分析】设P（m，n），N（x，y），可得M的坐标，代入圆的方程，根据方程组有解得出m，n与r的关系，根据m的范围得出r的范围【解答】解：直线AB的方程为4x+3y12=0，设P（m，n），则0m3设N（x，y），=，M为PN的中点，M（，），M，N在圆C上，该方程组有解，r3r，即r2m2+n29r2，P在线段AB上，4m+3n12=0，即n=4，r29r2，即r29r2对一切m0，3上恒成立，设f（m）=，则f（m）在0，3上的最大值为f（0）=16，最小值为f（）=，解得r，又点P为线段AB上的任
16、意点，在圆C上均存在两点M，N，使得=，直线AB与圆C相离，r=r的范围是，）故答案为：，）14已知正实数a，b满足，则ab的最大值为2【考点】基本不等式【分析】根据题意，可以将ab转化可得ab=+，令=t，则ab又可以变形为ab=1+，再令u=t1，ab进一步可以变形为ab=1+，利用基本不等式，计算可得答案【解答】解：根据题意，由于，则ab=ab（）=+=+；令=t，则ab=+=+=1+，令u=t1，t=u+1；ab=1+=1+=1+1+=2；即ab的最大值2；故答案为：2二、解答题：本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.15在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴
17、为始边，作两个角，它们终边分别经过点P，Q，其中，Q（sin2，1），R，且（1）求cos2的值；（2）求tan（+）的值【考点】两角和与差的正切函数【分析】（1）由题意可得sin=，由此求得cos2、sin2的值，可得cos2的值（2）由（1）可得P、Q的坐标，可得tan和tan的值，利用两角和的正切公式求得tan（+）的值【解答】解：（1）由题意可得sin=得：cos2=sin2=，cos2=2cos21=（2）由（1）可得的终边上一点P（，），的终边上一点Q（，1），tan=，tan=3，tan（+）=本题主要考查任意角三角函数的定义；考查和角公式；考查学生的字母符号处理能力、运算能力、
18、书写表达能力，属于中档题16如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为矩形，ABBP，M为AC的中点，N为PD上一点（1）若MN平面ABP，求证：N为PD的中点；（2）若平面ABP平面APC，求证：PC平面ABP【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）连接BD，由四边形ABCD为矩形得：M为AC和BD的中点，证明MNBP，即可证明N为PD的中点；（2）若平面ABP平面APC，过点B作BEAP于E，则BE平面APC，证明：ABPC，BEPC，即可证明PC平面ABP【解答】证明：（1）连接BD，由四边形ABCD为矩形得：M为AC和BD的中点，MN平面ABP，MN平面BPD
19、，平面BPD平面ABP=BP，MNBP，M为AC的中点，N为PD的中点（2）在ABP中，过点B作BEAP于E，平面ABP平面APC，平面ABP平面APC=AP，BE平面ABP，BEAPBE平面APC，又PC平面APC，BEPCABCD为矩形，ABBC，又ABBP，BCBP=B，BC，BP平面BPC，AB平面BPC，ABPC，又BEPC，AB平面ABP，BE平面ABP，ABBE=B，PC平面ABP 17如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（ab0）的焦距为2，过右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，当l与x轴垂直时，AB长为 （1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上存在一点P，使得，求直线
20、l的斜率【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程【分析】（1）由c=1，丨AB丨=，a2=b2+c2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，及向量数量积的坐标运算，即可求得直线l的斜率【解答】解：（1）由题意可知2c=2，c=1，当l与x轴垂直时，丨AB丨=，由a2=b2+c2，则a=，b=，故椭圆的标准方程是：；（2）设直线l的斜率为k，则直线l的方程：y=k（x1），设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），由可得（3k2+2）x26k2x+3k26=0，则x1+x2=，x1x2=（*）因，则，代入椭圆方程+=1，又，化简得2x
21、1x2+3y1y2+3=0，即（3k2+2）x1x23k2（x1+x2）+3k2+3=0，将（*）代入得3k26+3k2+3=0，k2=2，即k=，故直线l的斜率为18某工厂要生产体积为定值V的漏斗，现选择半径为R的圆形马口铁皮，截取如图所示的扇形，焊制成漏斗（1）若漏斗的半径为R，求圆形铁皮的半径R；（2）这张圆形铁皮的半径R至少是多少？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）求出漏斗高，利用体积求圆形铁皮的半径R；（2）利用导数知识，即可得出结论【解答】解：（1）漏斗高h=R，则体积V=（R）2h，所以R=2 （2）设漏斗底面半径为r（r0），V=r2，R=，令f（r）=+r2（r0），
22、则f（r）=，所以f（r）在（0，）上单调减，（，+）单调增，所以当r=时，R取最小值为答：这张圆形铁皮的半径R至少为19已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=k（x1）（kR）（1）若两个实数a，b满足0ab，且f（a）=f（b），求4ab的取值范围；（2）证明：当k1时，存在x01，使得对任意的x（1，x0），恒有f（x）g（x）；（3）已知0ab，证明：存在x0（a，b），使得【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）由题意可得4ab=b，利用函数的单调性即可求出4ab的取值范围，（2）令g（x）=lnxk（x1），x（1，+），求导，利用导数和函数的单调性和最值得关系即可
23、求出，（3）问题转化为h（a）0且h（b）0，即证 再构造函数，利用单调性即可证明【解答】解：（1）由0ab，且f（a）=f（b）得a=，（b1），故有4ab=b，b1，易知函数y=b在（1，+）上单调递减，而b=1时y=3；b+时，y，所以，4ab的取值范围是（，3）；（2）证明：令g（x）=lnxk（x1），x（1，+），则有g（x）=k=，x（1，+），当k0或k1 时，g（x）0，故g（x） 在（1，+）上单调递增，故g（x）g（1）=0，x（1，+） 均满足题意；当0k1时，1，令g（x）0，得1x，令g（x）0，解得：x，故g（x）在（1，）递增，在（，+）递减，取x0=，对任意，
24、有g（x）0，从而g（x）在（1，+），上单调递增，所以 g（x）g（1）=0，即f（x）g（x） 综上，当k1时，存在x01，使得对任意的x（1，x0），恒有f（x）g（x）；（3）证明：记h（x）=，要证 存在x0（a，b），使得，即证 函数h（x）在（a，b）上存在零点因h（x）在（0，+）上单调递减，故只需证h（a）0且h（b）0，即证 ，下证：当0ab时，式成立记M（x）=lnxx+1，x0，由M（x）=1=，可得M（x）在（0，1）上单调增，（1，+）上单调减，由0ab，得1，01，从而有f（）f（1）且f（）f（1），即有ln+10且ln+10，化简得lnblna 又ba0，故有
25、证成立20设三个各项均为正整数的无穷数列an，bn，cn记数列bn，cn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的nN*，都有an=bn+cn，且SnTn，则称数列an为可拆分数列（1）若，且数列bn，cn均是公比不为1的等比数列，求证：数列an为可拆分数列；（2）若an=5n，且数列bn，cn均是公差不为0的等差数列，求所有满足条件的数列bn，cn的通项公式；（3）若数列an，bn，cn均是公比不为1的等比数列，且a13，求证：数列an为可拆分数列【考点】数列的应用【分析】（1）利用等比数列通项公式求得Sn=4n1，Tn=，则an=bn+cn，且SnTn，即可证明数列an为可拆分数列；（2）由等
26、差数列的通项公式转成，由SnTn，利用等差数前n项和公式即可求得d1d2且b1c1，且d1d2，即可求得d1，d2，及c1，b1求得数列bn，cn的通项公式；（3）q为无理数时，a2=a1q为无理数，与anN+，矛盾，q为有理数，可得，q=bN*，则qN+，q2，an=a1qn1=（a11）qn1+qn1，令bn=（a11）qn1，cn=qn1，且SnTn，数列an为可拆分数列【解答】解：（1）证明：由=44n1=34n1+34n1，bn=34n1，cn=34n1，则Sn=4n1，Tn=，对任意的nN*，都有an=bn+cn，且SnTn，数列an为可拆分数列； （2）设数列bn，cn的公差分别
27、为d1，d2，由an=5n，得b1+（n1）d1+c1+（n1）d2=（d1+d2）n+b1+c1d1d2=5n，对任意的nN*都成立，即由SnTn，得nb1+d1nc2+d2，则（）n2+（b1c1+）n0，由n0，得（）n+（b1c1+）0，对任意的nN*成立则0且（）n+（b1c1+）0，即d1d2且b1c1由数列数列bn，cn各项均为正整数，则b1，c1，d1，d2均为正整数当d1=d2时，由d1+d2=5，得d1=d2=N*不符；d1d2由，得或或或，或或或；（3）证明：设an=a1qn1，a1N+，q0，q1，下面证明：qN+，q2，当q为无理数时，a2=a1q为无理数，与anN+
28、，矛盾故q为有理数，设q=（a，b为正整数，且a，b互素）此时an=a1则对任意的nN*，an1均为a1的约数，则an1=1，即a=1，故q=bN*，则qN+，q2，an=a1qn1=（a11）qn1+qn1，令bn=（a11）qn1，cn=qn1，则bn，cn各项均为正整数由a13，则a121则SnTn，所以，数列an为可拆分数列【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修4-1：几何证明选讲21如图，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为O上一点，AE=AC，DE交AB于点F求
29、证：PDFPOC【考点】相似三角形的判定【分析】要证明PDFPOC，由于已知两个三角形有个公共角P，而题目中未给出与线段对应成比例的条件，故可根据判断定理一来证明三角形相似，故我们还需要再找到一个相等的角【解答】证明：AE=AC，CDE=AOC，又CDE=P+PDF，AOC=P+OCP，从而PDF=OCP在PDF与POC中，P=P，PDF=OCP，故PDFPOCB选修4-2：矩阵与变换22已知矩阵，求矩阵M的特征值及其相应的特征向量【考点】特征值与特征向量的计算【分析】先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量【解答】解：矩阵M的
30、特征多项式为，令f（）=0，解得1=1，2=2，将1=1代入二元一次方程组解得x=0，所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为；同理，矩阵M属于特征值2的一个特征向量为C选修4-4：坐标系与参数方程23已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值【考点】直线和圆的方程的应用；简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程【分析】首先把直线和圆的极坐标方程利用两角差的正弦函数的公式代入x=cos，y=sin和化简为平面直角坐标系中的直线方程，利用三角函数的基本关系及化简得到圆的一般式方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后即可求出曲线上
31、P到直线l的距离的最大值【解答】解：由得x2+y2=4圆心到直线l的距离所以，P到直线l的距离的最大值为d+r=5D选修4-5：不等式选讲24设a，b，c，d都是正数，且x=，y=求证：xy【考点】不等式的证明【分析】根据不等式的左边减去右边化简结果为 （adbc）20，可得不等式成立【解答】证明：（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2=（ a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）（a2c2+2abcd+b2d2） =（adbc）20，（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2 成立，又a，b，c，d都是正数，ac+bd0，同理ad+bc0，xy三.【必做题】第22题、第23题每题10
32、分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤25如图，在四棱锥SABCD中，已知SD底面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，DAB=ADC=，SD=DC=2，AD=AB=1，E为棱SB上的一点，且DESC（）求的值；（）求直线EC与平面ADE所成角【考点】异面直线及其所成的角【分析】（）以D为原点，DA，DC，DS为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，利用向量法能求出的值（）分别求出平面ADE的法向量和，利用向量法能求出直线EC与平面ADE所成角【解答】解：（）以D为原点，DA，DC，DS为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则各点的坐
33、标为A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），S（0，0，2） =（0，2，2），=（1，1，2），令，则=（，2），=（0，0，2）+（，2）=（，22），DESC，=0，即22（22）=0，故=2（）由（）知， =（），=（），设=（x，y，z）为平面ADE的法向量，则，令y=1，得=（0，1，1）为平面ADE的法向量，于是cos=，直线EC与平面ADE所成角为26已知实数数列an满足：a1=3，an=（an1+2），n2，证明：当n2时，an是单调减数列【考点】数列的函数特性【分析】利用作差法和数学归纳法即可证明【解答】证明：当n1时，有an+1an=1an+=（n+3nan），下面用数学归纳法证明：an1+（n2，nN*），（1）当n=2时，a2=（3+2）=1+，（2）假设n=k（k2）时，结论成立，即ak1+，那么ak+1=（ak+2）（1+2）=1+1+，故由（1）（2）可知，an1+，因此当n2，nN*，an+1an=（n+3nan）0，即当n2时，an是单调减数列2017年4月27日